Cómo encontrar asíntotas horizontales: reglas para funciones racionales

Coescrito por Grace Imson, MA

Si ves una línea de puntos horizontal en un gráfico, se trata de una asíntota horizontal (AH). En una función racional, una ecuación con una razón de 2 polinomios, una asíntota es una línea que se curva cerca de la AH. La AH te ayudará a observar el comportamiento final de una función racional. En este artículo, te enseñaremos a hallar la asíntota horizontal e interpretar los resultados de tus hallazgos.

Cosas que debes saber

Una asíntota horizontal es una línea punteada en un gráfico. La línea de la función representada puede acercarse o incluso cruzar la asíntota horizontal.
Para hallar una asíntota horizontal, compara los grados de los polinomios en el numerador y el denominador de la función racional.
El grado de diferencia entre los polinomios revela en qué punto del gráfico se encuentra la asíntota horizontal.

Método 1

Método 1 de 4:

¿Qué es una asíntota horizontal?

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Una asíntota horizontal (AH) es una línea que muestra el comportamiento final de una función racional. En un gráfico, la AH será la línea horizontal con puntos. Cuando representas la función, la línea graficada podría acercarse o cruzar la AH si se vuelve infinitamente grande o pequeña. ^{[1]
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Fuente de investigación}
- Las asíntotas horizontales pueden ocurrir en ambos lados del eje y, así que recuerda observar ambos lados del gráfico.
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Método 2

Método 2 de 4:

¿Cómo se halla una asíntota horizontal en una función racional?

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1
Elimina todos los términos, salvo los que tengan los exponentes de $x$ más elevados. Dado que no vas a resolver una ecuación, tan solo compara los términos principales en la función racional. ^{[2]
X
Fuente de investigación}
- Por ejemplo, si la ecuación es $f(x)={\frac {x^{2}+x+3}{3x^{2}+5}}$ , elimina todos los términos menos los principales, para así tener ${\frac {x^{2}}{3x^{2}}}$ .
- Este es otro ejemplo: la ecuación podría ser $f(x)={\frac {2+5x^{2}+4x^{3}}{x^{4}+6}}$ . Después de eliminar todos los términos menos los principales, tendrás ${\frac {4x^{3}}{x^{4}}}$ .
- Para darte otro ejemplo, si tienes la ecuación $f(x)={\frac {x^{3}-1}{4+x^{2}}}$ , ignora las constantes para tener $f(x)={\frac {x^{3}}{x^{2}}}$ .
2
Simplifica la razón para hallar la asíntota horizontal para la función. Recuerda que no vas a resolver la ecuación; simplificarás los términos principales para ver los límites de la función. ^{[3]
X
Fuente de investigación}
- Para seguir con el ejemplo anterior de la ecuación ${\frac {x^{2}}{3x^{2}}}$ , cancela ambos ${x^{2}}$ para tener ${\frac {1}{3}}$ , lo que te mostrará la asíntota horizontal.
- En el otro ejemplo de la ecuación ${\frac {4x^{3}}{x^{4}}}$ , cancela la parte superior ${x^{3}}$ y quita ${x^{3}}$ del denominador para tener ${\frac {4}{x}}$ , lo que se volverá $0$ .
- En el último ejemplo de la ecuación $f(x)={\frac {x^{3}}{x^{2}}}$ , elimina ${x^{2}}$ del numerador y el denominador para hallar $x$ .
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Método 3

Método 3 de 4:

¿Cuáles son las reglas y los resultados de la asíntota horizontal?

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1
Si el grado del numerador y el del denominador son el mismo, usa la razón del coeficiente. Si los polinomios en el numerador y el denominador se cancelan, tendrás los coeficientes. Usa la razón de los coeficientes para hallar la AH. ^{[4]
X
Fuente de investigación}
- Regresando al primer ejemplo de la ecuación $f(x)={\frac {x^{2}+x+3}{3x^{2}+5}}$ , el resultado fue ${\frac {1}{3}}$ . En este ejemplo, la AH es ${\frac {1}{3}}$ .
2
Si el numerador está en un grado menor, la AH se ubica en y=0. Puedes colocarlo de otra manera; N<D significa que $y=0$ ; o que el numerador es menor que el denominador, por lo que $y=0$ .
- En nuestro ejemplo anterior de la ecuación $f(x)={\frac {2+5x^{2}+4x^{3}}{x^{4}+6}}$ , el resultado fue $0$ . Por lo tanto, la asíntota horizontal es $0$ , lo que también se encuentra en el eje x.
3
Si el grado del numerador es más elevado, no habrá asíntota horizontal. Podría ser de utilidad que recuerdes esta regla, ya que N>D= no habrá AH. Si el numerador es mayor que el denominador, no habrá una asíntota horizontal. ^{[5]
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Fuente de investigación}
- En el ejemplo anterior que empezaba con $f(x)={\frac {x^{3}-1}{4+x^{2}}}$ , el resultado fue $x$ . Dado que $x$ es más elevado que un denominador no existente, en esta ecuación no se podrá tener una AH.
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Método 4

Método 4 de 4:

¿Las asíntotas horizontales son lo mismo que las asíntotas oblicuas?

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Para hallar una asíntota oblicua , realiza una división larga de polinomios. Ten en cuenta que, mientras halles la asíntota oblicua, también hallarás la vertical . ^{[6]
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Fuente de investigación}

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Cómo encontrar asíntotas horizontales: reglas para funciones racionales

Cosas que debes saber

Pasos

¿Qué es una asíntota horizontal?

¿Cómo se halla una asíntota horizontal en una función racional?

¿Cuáles son las reglas y los resultados de la asíntota horizontal?

¿Las asíntotas horizontales son lo mismo que las asíntotas oblicuas?

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