Как разложить на множители многочлен второй степени (квадратное уравнение)

PDF download Загрузить PDF
Соавтор(ы): Grace Imson, MA

PDF download Загрузить PDF

Многочлен содержит переменную (х), возведенную в степень, и несколько членов и/или свободных членов. Разложение многочлена на множители – разбиение его на короткие и простые многочлены, которые перемножаются друг с другом. Умение раскладывать многочлен на множители требует достаточных математических знаний и навыков.

Метод 1
Метод 1 из 7:

Начальные шаги

PDF download Загрузить PDF
  1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/da\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-1-Version-3.jpg\/v4-460px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-1-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/da\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-1-Version-3.jpg\/v4-728px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-1-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Стандартная форма квадратного уравнения:

    ax 2 + bx + c = 0

    Расставьте члены, начиная с наивысшего порядка. Рассмотрим пример:

    6 + 6x 2 + 13x = 0

    Приведите данное уравнение к стандартной форме квадратного уравнения (просто поменяв местами члены):

    6x 2 + 13x + 6 = 0
  2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/b\/b8\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-2-Version-3.jpg\/v4-460px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-2-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/b\/b8\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-2-Version-3.jpg\/v4-728px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-2-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Разложение многочлена на множители – это разбиение его на короткие и простые многочлены, которые перемножаются друг с другом.

    6x 2 + 13x + 6 = (2x + 3)(3x + 2)

    В этом примере двучлены (2x +3) и (3x + 2) являются множителями исходного многочлена 6x 2 + 13x + 6.
  3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/4\/45\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-3-Version-3.jpg\/v4-460px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-3-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/4\/45\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-3-Version-3.jpg\/v4-728px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-3-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Проверьте работу путем перемножения членов и сложения одинаковых (подобных) членов.


    (2x + 3)(3x + 2)

    6x 2 + 4x + 9x + 6

    6x 2 + 13x + 6

    (где 4х и 9х – подобные члены). Таким образом, мы правильно разложили многочлен на множители, так как при их перемножении мы получили исходный многочлен.
    Реклама
Метод 2
Метод 2 из 7:

Решение путем проб и ошибок

PDF download Загрузить PDF

Если вам дан довольно простой многочлен, вы можете самостоятельно разложить его на множители. Например, опытные математики могут сходу определить, что многочлен 4x 2 + 4x + 1 имеет множители (2x + 1) и (2x + 1). (Заметьте, этот метод не будет таким простым при разложении более сложного многочлена.) Рассмотрим пример:

3x 2 + 2x - 8
  1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/8\/8a\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-4-Version-3.jpg\/v4-460px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-4-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/8\/8a\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-4-Version-3.jpg\/v4-728px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-4-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Используя выражение вида ax 2 + bx + c = 0 , определите коэффициенты a и c . В нашем примере

    a = 3 и множители: 1 * 3

    c = -8 и множители: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, -1 * 8.
  2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/4\/4c\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-5-Version-3.jpg\/v4-460px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-5-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/4\/4c\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-5-Version-3.jpg\/v4-728px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-5-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Напишите две пары скобок с пробелами, вместо которых поставите найденные свободные члены:

    (  x    )(  x    )
  3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/6\/65\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-6-Version-3.jpg\/v4-460px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-6-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/6\/65\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-6-Version-3.jpg\/v4-728px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-6-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    В нашем примере такая пара только одна:

    (3x   )(1x   )
  4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/f0\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-7-Version-3.jpg\/v4-460px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-7-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/f\/f0\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-7-Version-3.jpg\/v4-728px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-7-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Допустим, мы возьмем 8 и 1. Получим:

    (3x   8 )(x   1 )
  5. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/8\/88\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-8-Version-3.jpg\/v4-460px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-8-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/8\/88\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-8-Version-3.jpg\/v4-728px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-8-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    В зависимости от знаков в исходном уравнении можно определить знаки перед свободными членами. Обозначим свободные члены в наших двучленах-множителях через h и k :

    Если ax 2 + bx + c, то (x + h)(x + k)

    Если ax 2 - bx - c или ax 2 + bx – c, то (x - h)(x + k)

    Если ax 2 - bx + c, то (x - h)(x - k)

    В нашем примере 3x 2 + 2x – 8, поэтому (x - h)(x + k) и

    (3x + 8)(x - 1)
  6. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/b\/be\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-9-Version-3.jpg\/v4-460px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-9-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/b\/be\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-9-Version-3.jpg\/v4-728px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-9-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Если уже второй член (с переменной х) неправильный (неважно, отрицательный или положительный), вы выбрали не ту пару множителей c .

    (3x + 8)(x - 1)



    3x 2 - 3x + 8x - 8



    3x 2 - 3x + 8x - 8 = 3x 2 + 5x - 8
    ≠ 3x 2 + 2x - 8Таким образом, при перемножении множителей получаем выражение, которое не равно исходному; это значит, что мы выбрали не ту пару множителей.
  7. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/5\/58\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-10-Version-3.jpg\/v4-460px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-10-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/5\/58\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-10-Version-3.jpg\/v4-728px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-10-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    В нашем примере, возьмем 2 и 4 вместо 1 и 8.

    (3x + 2)(x - 4)

    Теперь c = -8. Однако (3x * -4) + (2 * x) = -12x+2x = -10х, то есть теперь b = -10х, а в исходном уравнении b = 2x (получили неверное значение b ).
  8. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/9\/9f\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-11-Version-3.jpg\/v4-460px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-11-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/9\/9f\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-11-Version-3.jpg\/v4-728px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-11-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Поменяем местами 2 и 4:

    (3x + 4)(x - 2)

    c такой, каким должен быть (4 * -2 = -8). -6x+4x дают нам правильную величину (2х), но неправильный знак перед ней (-2х вместо +2х).
  9. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/fe\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-12-Version-3.jpg\/v4-460px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-12-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/f\/fe\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-12-Version-3.jpg\/v4-728px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-12-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Порядок членов в скобках оставляем прежним, но меняем знаки:

    (3x - 4)(x + 2)

    c такой, каким должен быть (-8), а

    b = 6x - 4x = 2x

    2x = 2x
    что и требовалось. Таким образом, мы нашли правильные множители исходного уравнения.
    Реклама
Метод 3
Метод 3 из 7:

Решение путем декомпозиции

PDF download Загрузить PDF

Используя этот метод, можно определить все множители коэффициентов a и c и использовать их при нахождении множителей данного уравнения. Если числа большие или вам надоело угадывать, воспользуйтесь этим способом. Рассмотрим пример:

6x 2 + 13x + 6
  1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/d8\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-13-Version-3.jpg\/v4-460px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-13-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/d8\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-13-Version-3.jpg\/v4-728px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-13-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Умножьте коэффициент a (6 в нашем примере) на коэффициент c (тоже 6 в нашем примере).

    6 * 6 = 36
  2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/0\/0e\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-14-Version-3.jpg\/v4-460px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-14-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/0\/0e\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-14-Version-3.jpg\/v4-728px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-14-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Найдите коэффициент b разложением на множители и последующей проверкой. Мы ищем два числа, которые при перемножении дадут результат, равный результату умножения a * c (в нашем примере 36), а при сложении дадут результат, равный коэффициенту b (в нашем примере 13).

    4 * 9 = 36

    4 + 9 = 13
  3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/4\/4c\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-15-Version-3.jpg\/v4-460px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-15-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/4\/4c\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-15-Version-3.jpg\/v4-728px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-15-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Подставьте два найденных числа в исходное уравнение в качестве суммы (которая равна b ). Обозначим найденные числа через k и h (порядок не важен):

    ax 2 + kx + hx + c

    6x 2 + 4x + 9x + 6
  4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/b\/b5\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-16-Version-3.jpg\/v4-460px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-16-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/b\/b5\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-16-Version-3.jpg\/v4-728px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-16-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Сгруппируйте члены исходного уравнения так, чтобы вынести наибольшие общие множители из первых двух и последних двух членов. При этом выражения в обеих скобках должны быть одинаковыми. Общие множители организуйте в выражение и умножьте его на одинаковое выражение в скобках.

    6x 2 + 4x + 9x + 6

    2x(3x + 2) + 3(3x + 2)

    (2x + 3)(3x + 2)
    Реклама
Метод 4
Метод 4 из 7:

Тройной метод

PDF download Загрузить PDF

Очень похож на метод декомпозиции. Этот метод рассматривает возможные множители результата умножения a на c и использует их для нахождения значения b . Рассмотрим пример: 8x 2 + 10x + 2

  1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/3\/31\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-17-Version-3.jpg\/v4-460px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-17-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/3\/31\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-17-Version-3.jpg\/v4-728px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-17-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}


    8 * 2 = 16
  2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/f3\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-18-Version-3.jpg\/v4-460px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-18-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/f\/f3\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-18-Version-3.jpg\/v4-728px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-18-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Найдите два числа, которые при перемножении дадут 16, а результат сложения которых равен коэффициенту b (10 в примере).

    2 * 8 = 16

    8 + 2 = 10
  3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/27\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-19-Version-3.jpg\/v4-460px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-19-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/27\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-19-Version-3.jpg\/v4-728px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-19-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Найденные два числа (обозначим их через h и k ) подставьте в следующее уравнение (формулу «тройного метода»):

    ((ax + h)(ax + k))/ a




    ((8x + 8)(8x + 2)) / 8
  4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/5\/55\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-20-Version-3.jpg\/v4-460px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-20-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/5\/55\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-20-Version-3.jpg\/v4-728px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-20-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    В нашем примере таким выражением является (8x + 8). Разделите это выражение на a , а выражение второй скобки оставьте как есть.

    (8x + 8) = 8(x + 1)

    Разделите это выражение на 8 ( a ) и получите (x + 1)
  5. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/e1\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-21-Version-3.jpg\/v4-460px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-21-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/e\/e1\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-21-Version-3.jpg\/v4-728px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-21-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Вынесите наибольший общий делитель (НОД) из какой-либо или из обеих скобок (если он есть). В нашем примере НОД выражения из вторых скобок равен 2 (так как 8x + 2 = 2(4x + 1)). Таким образом, получим

    2(x + 1)(4x + 1)
    Реклама
Метод 5
Метод 5 из 7:

Разность квадратов

PDF download Загрузить PDF

Некоторые коэффициенты многочленов могут быть идентифицированы как «квадраты» (произведение двух одинаковых чисел). Нахождение «квадратов» позволяет ускорить разложение многочлена на множители. Рассмотрим пример:

27x 2 - 12 = 0
  1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/0\/0c\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-22-Version-3.jpg\/v4-460px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-22-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/0\/0c\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-22-Version-3.jpg\/v4-728px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-22-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    В нашем примере 27 и 12 делятся на 3.

    27x 2 - 12 = 3(9x 2 - 4)
  2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/b\/b9\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-23-Version-3.jpg\/v4-460px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-23-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/b\/b9\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-23-Version-3.jpg\/v4-728px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-23-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Уравнение должно иметь два члена, из которых можно извлечь квадратный корень.

    9x 2 = 3x * 3x и 4 = 2 * 2 (заметьте, что мы отбросили знак минус)
  3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/d3\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-24-Version-3.jpg\/v4-460px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-24-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/d3\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-24-Version-3.jpg\/v4-728px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-24-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}


    (√(a) + √(c))(√(a) - √(c))

    В нашем примере a = 9 и c = 4, √ a = 3 и √ c = 2. Таким образом,

    27x 2 - 12 = 3(9x 2 - 4) = 3(3x + 2)(3x - 2)

    Реклама
Метод 6
Метод 6 из 7:

Формула решения квадратного уравнения

PDF download Загрузить PDF

Если другие методы не работают и многочлен не разлагается на факторы, воспользуйтесь формулой решения квадратного уравнения. Рассмотрим пример:

x 2 + 4x + 1 = 0
  1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/0\/00\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-25-Version-3.jpg\/v4-460px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-25-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/0\/00\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-25-Version-3.jpg\/v4-728px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-25-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}


    x = -b ± √(b 2 - 4ac)

                    2a

    Получим выражение:

    x = -4 ± √(4 2 - 4•1•1) / 2
  2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/73\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-26-Version-3.jpg\/v4-460px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-26-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/73\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-26-Version-3.jpg\/v4-728px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-26-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Вы должны получить два значения x . Как показано выше, мы находим два решения:


    x = -2 + √(3) или x = -2 - √(3)
  3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/11\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-27-Version-3.jpg\/v4-460px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-27-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/11\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-27-Version-3.jpg\/v4-728px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-27-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}


    (x - h)(x - k)



    (x - (-2 + √(3))(x - (-2 - √(3)) = (x + 2 - √(3))(x + 2 + √(3))
    Реклама
Метод 7
Метод 7 из 7:

Калькулятор

PDF download Загрузить PDF

Если вы можете пользоваться графическим калькулятором, то это значительно упростит процесс разложения многочленов на множители. Ниже приведены инструкции для графического калькулятора TI. Рассмотрим пример:

y = x 2 − x − 2
  1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/c9\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-28-Version-2.jpg\/v4-460px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-28-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/c9\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-28-Version-2.jpg\/v4-728px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-28-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
  2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/8\/86\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-29-Version-2.jpg\/v4-460px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-29-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/8\/86\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-29-Version-2.jpg\/v4-728px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-29-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Вы увидите плавную кривую (в нашем случае параболу, так как это квадратное уравнение).
  3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/1f\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-30-Version-2.jpg\/v4-460px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-30-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/1f\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-30-Version-2.jpg\/v4-728px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-30-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Таким образом вы найдете значения x .

    (-1, 0), (2 , 0)

    x = -1, x = 2
    • Если не можете определить координаты визуально, нажмите [2nd], а затем [TRACE]. Нажмите [2] или выберите "нуль". Подведите курсор к левому пересечению и нажмите [ENTER]. Подведите курсор к правому пересечению и нажмите [ENTER]. Калькулятор сам определит значения x .
  4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/7e\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-31-Version-2.jpg\/v4-460px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-31-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/7e\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-31-Version-2.jpg\/v4-728px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-31-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}


    (x - h)(x - k) = 0



    (x - (-1))(x - 2) = (x + 1)(x - 2)
    Реклама

Советы

  • Если у Вас есть графический калькулятор TI-84, то для него существует программа SOLVER, которая решает квадратные уравнения (и вообще уравнения любой степени).
  • Если члена в многочлене нет, то коэффициент равен 0. Если у вас такой случай, полезно переписать уравнение в виде:

    x 2 + 6 = x 2 + 0x + 6
  • Если Вы разложили многочлен с помощью формулы для решения квадратного уравнения и получили ответ с корнями, преобразуйте значения x в дроби для его проверки.
  • Если при неизвестном (переменной) нет коэффициента, то он равен 1.

    x 2 = 1x 2
  • Со временем, вы научитесь проводить метод проб и ошибок в голове. А до тех пор записывайте его.
Реклама

Предупреждения

  • Если вы изучаете разложение многочленов на занятиях, применяйте тот метод, который советует преподаватель, а не тот, который вам нравится. Преподаватель на экзамене может потребовать использовать какой-либо определенный способ и может запретить пользоваться графическим калькулятором.
Реклама

Что вам понадобится

  • Карандаш
  • Бумага
  • Квадратное уравнение (многочлен второй степени)
  • Графический калькулятор (по желанию)

Связанные wikiHows

Дополнительные статьи

Как
найти квадратный корень числа вручную
Как
переводить из двоичной системы в десятичную
Как
проводить действия с дробями
Как
найти множество значений функции
Как
найти среднее значение, моду и медиану
Как
найти область определения и область значений функции
Как
складывать и вычитать квадратные корни
Как
вычесть дробь из целого числа
Как
разделить целое число на десятичную дробь
Как
умножить в столбик
Как
решать кубические уравнения
Как
извлечь квадратный корень без калькулятора
Как
привести к развернутой форме
Как
умножать корни
Реклама

Об этой статье

На других языках
Эту страницу просматривали 40 238 раз.

Была ли эта статья полезной?

Реклама