Загрузить PDF
Загрузить PDF
В кубическом уравнении наивысшим показателем степени является 3, у такого уравнения 3 корня (решения) и оно имеет вид . Некоторые кубические уравнения не так просто решить, но если применить правильный метод (при хорошей теоретической подготовке), можно найти корни даже самого сложного кубического уравнения — для этого воспользуйтесь формулой для решения квадратного уравнения, найдите целые корни или вычислите дискриминант.
Шаги
-
Выясните, есть ли в кубическом уравнении свободный член . Кубическое уравнение имеет вид . Чтобы уравнение считалось кубическим, достаточно, чтобы в нем присутствовал только член (то есть других членов может вообще не быть). [1] X Источник информации
- Если в уравнении есть свободный член , воспользуйтесь другим методом.
- Если в уравнении , оно не является кубическим. [2] X Источник информации
-
Вынесите за скобки . Так как в уравнении нет свободного члена, каждый член уравнения включает переменную . Это означает, что один можно вынести за скобки, чтобы упростить уравнение. Таким образом, уравнение запишется так: . [3] X Источник информации
- Например, дано кубическое уравнение
- Вынесите за скобки и получите
-
Разложите на множители (на произведение двух биномов) квадратное уравнение (если возможно). Многие квадратные уравнения вида можно разложить на множители . Такое уравнение получится, если вынести за скобки. В нашем примере: [4] X Источник информации
- Вынесите за скобки :
- Разложите на множители квадратное уравнение:
- Каждый бином приравняйте к . Корнями данного уравнения являются .
-
Решите квадратное уравнение с помощью специальной формулы. Сделайте это, если квадратное уравнение нельзя разложить на множители. Чтобы найти два корня уравнения, значения коэффициентов , , подставьте в формулу . [5] X Источник информации
- В нашем примере подставьте значения коэффициентов
,
,
(
,
,
) в формулу:
-
- Первый корень:
-
- Второй корень:
-
- В нашем примере подставьте значения коэффициентов
,
,
(
,
,
) в формулу:
-
Используйте ноль и корни квадратного уравнения в качестве решений кубического уравнения. У квадратных уравнений два корня, а у кубических — три. Два решения вы уже нашли — это корни квадратного уравнения. Если же вы вынесли «х» за скобки, третьим решением будет . [6] X Источник информации
- Если вынести «х» за скобки, получится , то есть два множителя: и квадратное уравнение в скобках. Если любой из этих множителей равен , все уравнение также равно .
- Таким образом, два корня квадратного уравнения, являются решениями кубического уравнения. Третьим решением является .
Реклама
-
Удостоверьтесь, что в кубическом уравнении есть свободный член . Если в уравнении вида есть свободный член (который не равен нулю), вынести «х» за скобки не получится. В данном случае воспользуйтесь методом, изложенным в этом разделе. [7] X Источник информации
- Например, дано кубическое уравнение . Чтобы на правой стороне уравнения получить ноль, прибавьте к обеим сторонам уравнения.
- Получится уравнение . Так как , методом, который изложен в первом разделе, воспользоваться не получится.
-
Выпишите множители коэффициента и свободного члена . То есть найдите множители числа при и числа перед знаком равенства. Напомним, что множителями числа являются числа, при перемножении которых получается это число. [8] X Источник информации
- К примеру, чтобы получить число 6 , нужно перемножить и . Таким образом, числа 1 , 2 , 3 , 6 являются множителями числа 6 .
- В нашем уравнении и . Множителями 2 являются 1 и 2 . Множителями 6 являются числа 1 , 2 , 3 и 6 .
-
Разделите каждый множитель на каждый множитель . В итоге получится множество дробей и несколько целых чисел; корнями кубического уравнения будет одно из целых чисел или отрицательное значение одного из целых чисел. [9] X Источник информации
- В нашем примере разделите множители ( 1 и 2 ) на множители ( 1 , 2 , 3 и 6 ). Вы получите: , , , , и . Теперь в этот список добавьте отрицательные значения полученных дробей и чисел: , , , , , , , , , , и . Целыми корнями кубического уравнения являются какие-то числа из этого списка.
-
Подставьте целые числа в кубическое уравнение. Если при этом равенство соблюдается, подставленное число является корнем уравнения. Например, подставьте в уравнение : [10] X Источник информации
- = ≠ 0, то есть равенство не соблюдается. В данном случае подставьте следующее число.
- Подставьте : = 0. Таким образом, является целым корнем уравнения.
-
Воспользуйтесь методом деления многочленов по схеме Горнера , чтобы быстрее найти корни уравнения. Сделайте это, если не хотите вручную подставлять числа в уравнение. В схеме Горнера целые числа делятся на значения коэффициентов уравнения , , и . Если числа делятся нацело (то есть остаток равен ), целое число является корнем уравнения. [11] X Источник информации
- Схема Горнера заслуживает отдельной статьи, но далее приведен пример вычисления одного из корней нашего кубического уравнения с помощью этой схемы:
-
- -1 | 2 9 13 6
- __| -2-7-6
- __| 2 7 6 0
-
- Таким образом, остаток равен , а является одним из корней уравнения.
Реклама - Схема Горнера заслуживает отдельной статьи, но далее приведен пример вычисления одного из корней нашего кубического уравнения с помощью этой схемы:
-
Выпишите значения коэффициентов уравнения , , и . Рекомендуем заранее выписать значения указанных коэффициентов, чтобы в дальнейшем не запутаться. [12] X Источник информации
- Например, дано уравнение . Запишите , , и . Напомним, что если перед нет числа, соответствующий коэффициент все-таки существует и равен .
-
Вычислите нулевой дискриминант по специальной формуле. Чтобы решить кубическое уравнение с помощью дискриминанта, нужно произвести ряд непростых вычислений, но если правильно выполнять все действия, этот метод станет незаменимым для решения наиболее сложных кубических уравнений. Сначала вычислите (нулевой дискриминант) — это первая необходимая нам величина; для этого подставьте соответствующие значения в формулу . [13] X Источник информации
- Дискриминант — это число, которое характеризует корни полинома (например, дискриминант квадратного уравнения вычисляется по формуле ).
- В нашем уравнении:
-
-
Вычислите первый дискриминант по формуле . Первый дискриминант — это вторая важная величина; чтобы ее вычислить, подставьте соответствующие значения в указанную формулу. [14] X Источник информации
- В нашем уравнении:
-
- В нашем уравнении:
-
Вычислите: . То есть найдите дискриминант кубического уравнения через полученные значения и . Если дискриминант кубического уравнения положительный, у уравнения три корня; если дискриминант равен нулю, у уравнения один или два корня; если же дискриминант отрицательный, у уравнения один корень. [15] X Источник информации
- У кубического уравнения всегда есть хотя бы один корень, так как график этого уравнения пересекается с осью X как минимум в одной точке.
- В нашем уравнении
и
равны
, поэтому вы запросто вычислите
:
-
- . Таким образом у нашего уравнения один или два корня.
-
-
Вычислите: . — это последняя важная величина, которую нужно найти; с ее помощью вы вычислите корни уравнения. В указанную формулу подставьте значения и .
- В нашем уравнении:
-
- В нашем уравнении:
-
Найдите три корня уравнения. Сделайте это по формуле , где , а n равен 1 , 2 или 3 . Подставьте в эту формулу соответствующие значения — в итоге вы получите три корня уравнения.
- Вычислите значение по формуле при n = 1 , 2 или 3 , а затем проверьте ответ. Если при проверке ответа вы получили 0, данное значение является корнем уравнения.
- В нашем примере подставьте 1 в и получите 0 , то есть 1 — это один из корней уравнения.
Реклама
Источники
- ↑ http://www.mathcentre.ac.uk/resources/uploaded/mc-ty-cubicequations-2009-1.pdf
- ↑ https://sciencing.com/solve-cubic-equations-8136094.html
- ↑ https://sciencing.com/solve-cubic-equations-8136094.html
- ↑ http://www.mathcentre.ac.uk/resources/uploaded/mc-ty-cubicequations-2009-1.pdf
- ↑ https://www.purplemath.com/modules/quadform.htm
- ↑ https://math.vanderbilt.edu/schectex/courses/cubic/
- ↑ http://www.rasmus.is/uk/t/F/Su52k02.htm
- ↑ http://www.rasmus.is/uk/t/F/Su52k02.htm
- ↑ http://www.rasmus.is/uk/t/F/Su52k02.htm
- ↑ http://www.rasmus.is/uk/t/F/Su52k02.htm
- ↑ http://www.rasmus.is/uk/t/F/Su52k02.htm
- ↑ http://www2.trinity.unimelb.edu.au/~rbroekst/MathX/Cubic%20Formula.pdf
- ↑ http://www2.trinity.unimelb.edu.au/~rbroekst/MathX/Cubic%20Formula.pdf
- ↑ http://www2.trinity.unimelb.edu.au/~rbroekst/MathX/Cubic%20Formula.pdf
- ↑ http://www2.trinity.unimelb.edu.au/~rbroekst/MathX/Cubic%20Formula.pdf
Реклама