步骤
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在一个方程上写另一个方程。 如果两个方程整理成:两个方程的一个变量系数相同,符号相同,则最好用相减法来解。比如两个方程都有2x,则相减消掉这个2x,从而解出其他变量。
- 让x、y位置对应,一个方程式减去另一个,在第二个方程组外标上负号。
- 比如两个方程2x + 4y = 8 ,2x + 2y = 2,第一个写第二个上面作为被减数,减号标在第二个方程外:
- 2x + 4y = 8
- -(2x + 2y = 2)
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消去相同的项。 两式相减得(可以分别减各项):
- 2x - 2x = 0
- 4y - 2y = 2y
- 8 - 2 = 6
- 2x + 4y = 8 -(2x + 2y = 2) = 0 + 2y = 6
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解出剩下的变量。 把x消掉后,可以解y了。把0移掉不影响等式。
- 2y = 6
- 把 2y、6 除以 2,y = 3
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把解得的y代入回去,解出x。 现在y=3,代回去就可以解得x,选那个先解不重要,答案是一样的。如果一个比较复杂,则先消掉,解出简单的。
- y = 3 代入2x + 2y = 2 得到x
- 2x + 2(3) = 2
- 2x + 6 = 2
- 2x = -4
- x = - 2
- 于是得到解: (x, y) = (-2, 3)
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检查答案。 可以将两解代回去,看看是否都符合。以下是步骤:
- (-2, 3) 作为(x, y) ,代入2x + 4y = 8.
- 2(-2) + 4(3) = 8
- -4 + 12 = 8
- 8 = 8
- (-2, 3) 作为(x, y),代入2x + 2y = 2.
- 2(-2) + 2(3) = 2
- -4 + 6 = 2
- 2 = 2
广告 - (-2, 3) 作为(x, y) ,代入2x + 4y = 8.
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在一个方程上写另一个方程。 如果两个方程整理成:两个方程的一个变量系数相同,符号相反,则最好用相加法来解。比如两个方程一个有-3x,一个有3x,则相加消掉x,从而解出其他变量。
- 在一个方程上写另一个方程,让x、y位置对应,一个方程式加上另一个,在第二个方程组外标上加号。
- 比如3x + 6y = 8 和 x - 6y = 4,第一个写第二个上面,加号标在第二个方程外,把两式相加:
- 3x + 6y = 8
- +(x - 6y = 4)
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消去相同的项。 两式相加得(可以分别加各项):
- 3x + x = 4x
- 6y + -6y = 0
- 8 + 4 = 12
- 合并得到一次方程:
- 3x + 6y = 8
- +(x - 6y = 4)
- = 4x + 0 = 12
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解出剩下的变量。 把y消掉后,可以解x了。把0移掉不影响等式。
- 4x + 0 = 12
- 4x = 12
- 把 4x和12除以3 得到x = 3
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将刚才得到的解代入,得到另一个变量。 这里x = 3,代回去得到y。先解哪一个不重要,因为答案一致。不过如果一项比较复杂,则先消掉,解简单的。
- x = 3 代入x - 6y = 4 解出y
- 3 - 6y = 4
- -6y = 1
- 把 -6y和1 除以 -6 得到y = -1/6
- 这样你解出方程组的解了: (x, y) = (3, -1/6)
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检查答案。 可以将两解代回去,看看是否都符合。以下是步骤:
- (3, -1/6)作为(x, y) 代入3x + 6y = 8
- 3(3) + 6(-1/6) = 8
- 9 - 1 = 8
- 8 = 8
- (3, -1/6) 作为(x, y) 代入x - 6y = 4.
- 3 - (6 * -1/6) =4
- 3 - - 1 = 4
- 3 + 1 = 4
- 4 = 4
广告 - (3, -1/6)作为(x, y) 代入3x + 6y = 8
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把一个方程写在另一个方程上。 让x、y位置对应,系数化为整数。用这个方法时,两方程的所有变量系数都还不一样。
- 3x + 2y = 10
- 2x - y = 2
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把一个方程两边同乘一数,使得其中一个变量和另一个方程的同变量系数一致。 现在我们让整个第二个方程乘以2,-y 变为 -2y 和第一个方程的y系数一致:
- 2 (2x - y = 2)
- 4x - 2y = 4
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相加或相减两式。 现在根据两式对应变量的符号是否相同,选择加法或减法来解。本例子中因为是2y和-2y对应,所以用加法方法,将y项消为0。 如果两个变量都是正数(负数)则用减法方法。以下是解的步骤:
- 3x + 2y = 10
- + 4x - 2y = 4
- 7x + 0 = 14
- 7x = 14
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解出剩余变量。 7x = 14, 得到 x = 2.
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将解出的变量代回方程,找出之前的变量值,尽量解更容易解的变量,这样解的过程比较轻松一点。
- x = 2 ---> 2x - y = 2
- 4 - y = 2
- -y = -2
- y = 2
- 得到解 (x, y) = (2, 2)
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检查答案。 把两个解代入回原方程,验证是否正确。
- (2, 2)作为(x, y) 代入3x + 2y = 10
- 3(2) + 2(2) = 10
- 6 + 4 = 10
- 10 = 10
- (2, 2) 作为(x, y) 代入2x - y = 2
- 2(2) - 2 = 2
- 4 - 2 = 2
- 2 = 2
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分离一个变量。 本方法适用于一个方程中,一个变量的系数为1的情况,这时只要分离此变量,代入另一个方程即可。
- 例如2x + 3y = 9和 x + 4y = 2,在第二个方程式分离出x。
- x + 4y = 2
- x = 2 - 4y
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把这个等式代入另一个方程。 把分离的变量用另一个变量替换,这样可以代入方程来解得另一个变量。如下:
- x = 2 - 4y --> 2x + 3y = 9
- 2(2 - 4y) + 3y = 9
- 4 - 8y + 3y = 9
- 4 - 5y = 9
- -5y = 9 - 4
- -5y = 5
- -y = 1
- y = - 1
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解出剩余的变量。 用y = - 1代回解出x:
- y = -1 --> x = 2 - 4y
- x = 2 - 4(-1)
- x = 2 - -4
- x = 2 + 4
- x = 6
- 这样你就解出解了: (x, y) = (6, -1)
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验证解,要确保解都正确,只要把解代回原方程,看看是否都符合方程组:
- (6, -1)作为(x, y)代入2x + 3y = 9
- 2(6) + 3(-1) = 9
- 12 - 3 = 9
- 9 = 9
- (6, -1)作为(x, y) 代入x + 4y = 2
- 6 + 4(-1) = 2
- 6 - 4 = 2
- 2 = 2
广告 - (6, -1)作为(x, y)代入2x + 3y = 9
小提示
- 用以上四种方法,你可以解出任何线性方程组。不过用什么方法最快,取决于你的方程组如何。
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