تنزيل المقال
تنزيل المقال
حساب التفاضل والتكامل هو فرع من الرياضيات يدرس الحدود والدوال والاشتقاق والتكامل والمتسلسلات اللانهائية. يشكّل التفاضل والتكامل جزءًا كبيرًا من الرياضيات، كما يمثّل أساسًا للعديد من المعادلات التي تصور الفيزياء والميكانيكا. ستحتاج على الأرجح لدورة دراسية بمستوى جامعي كي تفهم التفاضل والتكامل جيدًا، لكن هذا المقال مناسب لوضعك على طريق البداية ومساعدتك في الانتباه للمفاهيم المهمة وكذلك يزودك برؤى اختصاصية مفيدة.
الخطوات
-
اعرف أن التفاضل والتكامل هو دراسة طريقة تغيُّر الأشياء؛ التفاضل والتكامل هو فرع من الرياضيات ينظر في نقاط وخطوط، عادةً من العالم الحقيقي ويرسم كيفية تغيرها. قد لا يبدو هذا مفيدًا في البداية، إلا أن التفاضل والتكامل أحد أكثر فروع الرياضيات استخدامًا في العالم. تخيّل أن تتاح لك الوسيلة لاختبار مدى سرعة نموّ مشروعك في أي وقت، أو التخطيط لمسار مركبة فضائية ومعرفة سرعتها في حرق الوقود. التفاضل والتكامل أداة مهمة للهندسة والاقتصاد والإحصاء والكيمياء والفيزياء، وقد ساعد في الكثير من اختراعات واكتشافات العالم.
-
تذكر أن الدوال هي علاقات بين رقمين وأنها تُستَخدَم للرسم علاقات من العالم المادي. الدوال هي القواعد التي تحدد كيفية ارتباط الأعداد ببعضها، وتستخدمها الرياضيات لعمل رسوم بيانية. يقابل كل معلومة مُدخَلة في الدوال بالضبط معلومة مُخرجة. على سبيل المثال: في ، كل قيمة مختلفة للمتغير ينتج عنها قيمة جديدة من . إذا كانت فإن إذا كانت فإن [١] X مصدر بحثي علم التفاضل والتكامل كله مخصص لدراسة المعادلات كي يرى كيف تتغير، حتى يستعمل هذه المعادلات ليصوّر تغير علاقات من العالم الحقيقي.
- تُكتَب الدوال عادةً على الصورة يعني هذا أن الدالة تزيد 3 لكل عدد تُدخله كقيمة للمتغير إذا أردت إدخال 2، اكتب ، أو
- يمكن للدوال أن ترسم حركة معقدة أيضًا. ناسا على سبيل المثال لديها معادلات تصور السرعة التي سينطلق بها صاروخ على حسب معدل حرقه للوقود ومقاومة الرياح ووزن الصاروخ نفسه.
-
فكر في مفهوم اللانهائية. اللانهائية هي تكرار عملية ما مرارًا وتكرارًا دون توقف. ليست مكانًا محددًا (فلا يمكنك الذهاب إلى اللانهائية) لكنها سلوكًا لعدد أو معادلة في حال تكرره للأبد. هذا مهم لدراسة التغيُّر: قد تود معرفة السرعة التي تتحرك بها سيارتك في أي وقت من الأوقات، لكن هل يعرّفك هذا بالسرعة التي كنت تتحرك بها في ثانية بعينها؟ أو في ميللي ثانية؟ أو نانو ثانية؟ يمكنك إيجاد عدد لا حصر له من أرقام أصغر تجد فيها دقة مضاعفة؛ هذا هو التفاضل والتكامل.
-
افهم معنى الحدود. يعرّفك الحد بما يحدث عندما يقارب شيء اللانهائية. خذ العدد 1 واقسمه على 2 ثم استمر بقسمته على 2 مرارًا وتكرارًا. سيصبح الواحد ½ ثم ¼، ⅛، 1/16، 1/32.. وهكذا. كل مرة يصير الرقم أصغر فأصغر، "مقتربًا" للصفر. لكن أين سينتهي هذا؟ كم مرة يجب أن تقسم 1 على 2 حتى يصل للصفر؟ في التفاضل والتكامل، بدلًا من إجابة هذا السؤال، تضع "حدًا". في هذه الحالة يكون الحد هو 0.
- يسهل رؤية الحدود في الرسوم البيانية حيث تكون هي النقاط التي يكاد الرسم يلامسها، لكنه لا يصل بالفعل لها.
- قد تكون الحدود عبارة عن أرقام أو لانهائية، أو لا توجد أصلًا. على سبيل المثال: إذا جمعت 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + … للأبد، سيكون عددك النهائي كبيرًا إلى مالا نهاية. هنا يكون الحد هو اللانهائية.
-
راجع مفاهيم رياضية أساسية من الجبر وعلم المثلثات ورياضيات ما قبل التفاضل والتكامل. يعتمد حساب التفاضل والتكامل على العديد من أشكال الرياضيات التي كنت تتعلمها لفترة طويلة، ومعرفة هذه الموضوعات جيدًا سيجعل تعلم التفاضل والتكامل وفهمه أسهل بكثير. من المواضيع التي يجب تذكُّرها:
- الجبر . افهم العمليات الحسابية المختلفة وتمكّن من حل المعادلات وأنظمة المعادلات المكونة من متغيرات متعددة. افهم أساسيات المجموعات واعرف كيفية التمثيل البياني للمعادلات.
- الهندسة. الهندسة هي علم دراسة الأشكال. تعلم المفاهيم الأساسية للمثلثات والمربعات والدوائر وكيف تحسب أشياء مثل المساحة والمحيط. افهم الزوايا والخطوط ونظُم الإحداثيات.
- علم المثلثات. علم المثلثات فرع من الرياضيات يتعامل مع خصائص الدوائر والزوايا القائمة. تعلم كيف تستخدم المطابقات المثلثية والرسوم البيانية والدوال والدوال المثلثية العكسية.
-
اشترِ آلة حاسبة بيانية. ليس من السهل فهم التفاضل والتكامل دون أن ترى ما تحسبه. تأخذ الحواسب البيانية الدوال وتعرضها لك لتراها، فتتيح لك استيعاب المعادلات التي تكتبها وتعالجها. يمكنك في كثير من الأحيان رؤية حدود على الشاشة وحساب مشتقات ودوال تلقائيًا.
- يتوفر الآن في العديد من الهواتف الذكية والأجهزة اللوحية تطبيقات تمثيل بياني رخيصة لكن فعالة، حملها إذا لم تود شراء آلة حاسبة كاملة.
-
اعرف أن التفاضل والتكامل يستخدم لدراسة "التغيُّر اللحظي". معرفة السبب من تغيُّر شيء في لحظة معينة هو جوهر التفاضل والتكامل. على سبيل المثال: يعرفك التفاضل والتكامل لا بسرعة السيارة فحسب، لكن بمقدار تغيُّر هذه السرعة عند أي لحظة. هذا أحد أبسط استخدامات التفاضل والتكامل، لكنه مهم للغاية. تخيل مدى أهمية هذه المعرفة لمركبة فضائية تحاول الوصول للقمر! [٢] X مصدر بحثي
- معرفة التغيّر اللحظي هو ما يسمى "تفاضل"، وهو القسم الأول بين الجزأْين الرئيسيين لهذا العلم.
-
استخدم الاشتقاقات لفهم كيفية تغير الأشياء لحظيًا. كلمة "اشتقاق" أنيقة الوقع تثير القلق، لكن المفهوم ذات نفسه ليس صعب الفهم كما يبدو، فكل ما يعنيه ببساطة هو "سرعة تغيّر شيء ما". أكثر المشتقات انتشارًا في الحياة اليومية لها علاقة بالسرعة. الأغلب أننا لا ندعوها "مشتق السرعة"، لكننا نطلق عليها "تسارع".
- التسارع مشتق، فهو يخبرك بمعدل سرعة أو إبطاء شيء ما، أو التغير عمومًا في السرعة.
-
اعرف أن معدل التغيير هو الميل بين نقطتين. هذه إحدى النتائج الرئيسية لعلم التفاضل والتكامل. فكر في خط بسيط مثل المعادلة ميل الخط هو 3، أي أن كل قيمة جديدة لـ تتغير بمعدل 3. الميل هو نفسه معدل التغيير: ميل قيمته 3 يعني أن الخط يتغير بمقدار 3 كل مرة تتغير قيمة . عندما تكون وعندما تكون
- معدل خط هو "التغير في y مقسومًا على التغير في x".
- كلما كبُر الميل زاد انحدار الخط. الخطوط المنحدرة معروفة بسرعة تغيرها.
- راجع كيفية حساب ميل خط مستقيم إذا كانت ذاكرتك مشوشة.
-
اعرف أن بإمكانك إيجاد ميل الخطوط المنحنية. إيجاد ميل خط مستقيم أمر مباشر نسبيًا: كم مقدار تغيّر مقابل كل قيمة لـ ؟ أما المعادلات المعقدة للخطوط المنحنية مثل فإيجادها أصعب بكثير. مع ذلك لا يزال بإمكانك إيجاد معدل التغيير بين أي نقطتين، من خلال رسم خط بينهما ببساطة وحساب الانحدار.
- على سبيل المثال: في المعادلة يمكنك أخذ أي نقطتين وإيجاد الميل. خذ و سيساوي الميل بينهما يعني هذا أن معدل التغير بين و هو 3.
-
قرّب نقاطك من بعضها لإيجاد نتيجة أدق لمعدل التغيّر. كلما ازداد قرب النقطتين، زادت دقة نتيجتك. لنقل أإنك تود معرفة مقدار تسارع سيارتك حالما تضع الوقود. أنت لا تود هنا قياس التغير في السرعة بين منزلك ومحل البقالة؛ لكنك تود أن تقيس التغير في السرعة في الثانية التي تلي دخول الوقود للخزان. كلما اقترب وقت قياسك لتلك اللحظة الفورية، كان حسابك أكثر دقة.
- على سبيل المثال: يدرس العلماء مقدار السرعة التي تنقرض بها بعض الأنواع حتى يحاولوا إنقاذهم. مع ذلك فإن الكثير من الحيوانات تموت غالبًا في الشتاء أكثر من الصيف، بالتالي فإن دراسة معدل التغير على مدار السنة بأكملها ليس مفيدًا كما لو درسوا معدل التغير بين نقطتين قريبتين، مثل بين أول يوليو إلى أول أغسطس.
-
استخدم خطوطًا متناهية في الصغر لإيجاد "معدل التغير اللحظي" أو المشتقّ. هنا هو الجزء الذي يبدأ عنده علم التفاضل والتكامل بأن يصبح صعبًا، لكن يمكنك استيعاب أن السبب يعود لحقيقتين بسيطتين: الأولى: تعرف أن ميل خط يساوي مقدار سرعة تغيره. الثانية: تعرف أن نقاط الخط كلما اقتربت من بعضها أكثر، زادت دقة النتيجة. لكن كيف يمكنك إيجاد معدل التغير عند نقطة إذا كان الميل هو علاقة بين نقطتين؟ الإجابة: تختار نقطتين متناهيتي القرب من بعضهما.
- فكر في المثال الذي ذكرناه عندما ظللنا نقسم 1 على 2 مرارًا وتكرارًا، وكانت النتائج الأولى ½ ثم ¼ ثم ⅛.. إلخ. تقترب في النهاية للغاية للصفر، فتكون الإجابة "عمليًا صفر". تقترب نقاطك في هذا المثال من بعضها للغاية، فتصبح "عمليًا لحظية". هذه هي طبيعة المشتقات.
-
تعلم كيفية أخذ مشتقات مختلفة . هناك العديد من الطرق المختلفة لإيجاد مشتقة على حسب المعادلة، لكن معظم الطرق منطقية ويمكن استيعابها إذا تذكرت المبادئ الأساسية للمشتقات المُدرجة بصورة عامة فيما سبق. كل المشتقات هي طريقة لإيجاد ميل لخط "متناهي الصغر". الآن وبما أنك تعرف نظرية المشتقات، يمكنك استعمال هذا لإكمال الجزء الأكبر من العمل، وهو إيجاد النتائج.
-
أوجد معادلات اشتقاق للتنبؤ بمعدل التغير في أي نقطة. من المفيد استعمل المشتقات لإيجاد معدل التغير عند نقطة، لكن جمال التفاضل والتكامل يكمن في أنه يمكنك من إنشاء نموذج جديد لكل دالة. الاشتقاق من على سبيل المثال هو هذا يعني أن بإمكانك إيجاد المشتقة لكل نقطة على الرسم البياني من خلال إدخاله ببساطة في المشتقة. عند النقطة حيث ، المشتقة هي 4، بما أن
- هناك ترميزات مختلفة للمشتقات. في الخطوة السابقة، استُخدِم رمز أوّلي للإشارة للاشتقاق، للاشتقاق استعملنا الرمز يسمى هذا ترميز لاجرانچ.
- هناك طريقة أخرى مشهورة لكتابة الاشتقاقات. بدلًا من استخدام رموز أولية، نكتب تذكر أن الدالة تعتمد على المتغير بعدها نكتب الاشتقاق على الصورة - اشتقاق بالنsبة إلى يسمى هذا ترميز لايبنز.
-
تذكر أمثلة من الحياة الواقعية للاشتقاقات إذا كنت لا تزال تجد صعوبة في الفهم. المثال الأسهل مبني على السرعة، وهو ما يوفر الكثير من الاشتقاقات المختلفة التي نراها يوميًا. تذكر أن الاشتقاق هو مقياس لمدى سرعة تغير شيء. فكر في تجربة بسيطة؛ حيث تُدحرِج مثلًا كرة بليْ على طاولة، وتقيس المسافة التي تقطعها كل مرة وكذلك السرعة التي تتحرك بها. تخيل الآن أن البلية وهي تتحرك تسير على خط على رسم بياني - الاشتقاقات تُستَخدَم لقياس التغيرات اللحظية في أي نقطة على ذلك الخط.
- ما مقدار سرعة تغيير كرة البليْ لموقعها؟ ما هو معدل التغيّر – أو الاشتقاق – لحركة الكرة؟ هذا الاشتقاق هو ما نسميه "السرعة".
- دحرِج البلية على انحدار ولاحظ مقدار اكتسابها للسرعة فيما تتحرك. ما هو معدل التغير – أو المشتق – لسرعة البلية؟ هذا الاشتقاق هو ما ندعوه "تسارعًا".
- دحرِج البلية على مسار صاعد وهابط شبيه بالأفعوانية. ما مقدار السرعة التي تكتسبها البلية وهي تنحدر، وما مدى تباطؤ السرعة فيما تصعد؟ ما هي سرعة تحرّك البلية تحديدًا عند منتصف المسار الصاعد الأول؟ سيكون هذا هو معدل التغير اللحظي، أو المشتق، لهذه البلية عند نقطتها هذه تحديدًا.
-
اعرف أنك تستخدم التفاضل والتكامل لإيجاد مساحات وأحجام معقدة. يمكنك التفاضل والتكامل من قياس أشكال معقدة يصعب في العادة قياسها للغاية. فكر مثلًا في محاولة إيجاد كمّ الماء الذي بداخل بحيرة طويلة غريبة الشكل - سيستحيل عليك قياس كل لتر ماء على حدة أو استعمال مسطرة لقياس شكل البحيرة. يمكّنك التفاضل والتكامل من دراسة كيفية تغير حواف البحيرة، واستعمال هذه المعلومة لتعرف مقدار الماء بداخلها.
- عند صنع نماذج جغرافية ودراسة الحجم، فنحن نستخدم التكامل. التكامل هو الفرع الثاني الأساسي من علم التفاضل والتكامل.
-
اعرف أن التكامل يوجد المساحة أسفل الرسم البياني. يُستَخدَم التكامل لقياس الحيّز أسفل أي خط، ما يتيح لك إيجاد مساحة الأشكال غير المنتظمة أو الغريبة. خذ المعادلة مثلًا، والتي تأخذ شكل حرف "U" مقلوب، قد تود أن توجد مقدار المساحة أسفل هذا الحرف، فتستخدم التكامل لإيجادها. قد يبدو هذا أمرٌ عديم الجدوى، لكن ليس إن فكرت في استخدامه في الصناعة؛ يمكنك مثلًا إنشاء معادلة تمثل جزءًا جديد الصنع وتستخدم التكامل لإيجاد مساحة هذا الجزء، وبالتالي تطلب الكمية الصحيحة من الأدوات.
-
اعرف أنك ينبغي أن تختار مساحة لإيجاد تكاملها. لا يمكنك ببساطة أن توجد تكامل دالة كاملة. على سبيل المثال هو خط قطري ممتد للأبد، ولا يمكنك إيجاد تكامله كله لأنه لا ينتهي أبدًا. عند حساب تكامل الدوال، لابد أن تختار مساحة، مثل أن تختار جميع النقاط بين و
-
تذكر كيفية إيجاد مساحة مستطيل. تخيل أن لديك خط مستقيم على تمثيل بياني، مثل عند حساب المساحة التي تحته، سيكون ما توجده هو مستطيل يقع بين و هذا سهل القياس، لكنه لن ينفع مع الخطوط المنحنية التي لا يمكن تحويلها إلى مستطيلات بسهولة.
-
اعرف أن التكامل يجمع الكثير من المستطيلات الصغيرة لإيجاد المساحة. إذا كبرت صورة منحنى ونظرت له عن كثب شديد ستجد أنه يبدو مستقيمًا. يحدث هذا كل يوم، فلا يمكنك رؤية انحناء الأرض لأننا شديدو القرب من سطحها. يصنع التكامل عددًا لانهائيًا من المستطيلات الصغيرة أسفل منحنى، تكون صغيرة للغاية حتى أنها تصنع منه في النهاية خطًا منبسطًا فتتيح لك قياسهم. اجمع كل هذه المساحات مع بعضها لتجد المساحة أسفل المنحنى.
- تخيل أنك تجمع الكثير من الشرائح الصغيرة أسفل التمثيل البياني، وعرض كل منها "تقريبًا" صفر.
-
اعرف كيف تقرأ التكامل وتكتبه. يتكون التكامل من 4 أجزاء. شكل التكامل النموذجي كالتالي:
- الرمز الأول هو رمز التكامل (شكله بالأساس مأخوذ من شدّ حرف S).
- الجزء الثاني هو الدالة. عندما تكون داخل التكامل، تسمى التابع الأصلي للدالة.
- أخيرًا، يخبرك الجزء في النهاية بالمتغير الذي تُكامِل بالنسبة له. بما أن الدالة تعتمد على فهذا هو المتغير الذي يجب أن توجد التكامل بالنسبة له.
- تذكر أن المتغير الذي توجد تكامله لا يشترط أن يكون دائمًا، لذا انتبه لما تكتبه.
-
تعلم كيف توجد التكامل. يأتي التكامل بأشكال عدة، وستحتاج إلى تعلُّم الكثير من الصياغات حتى توجد تكامل كل دالة. مع ذلك فإنهم جميعًا يتبعون نفس المبادئ المذكورة بشكل عام فيما سبق: التكامل هو جمع عدد لانهائي من الأشياء. من القواعد الأساسية:
- التكامل بالتعويض
- حساب تكامل غير محدود
- التكامل بالتجزئة.
-
اعرف أن التكامل يعكس التفاضل، والعكس صحيح. هذا قانون مُحكَم وشديد الأهمية في التفاضل والتكامل، حتى أن اسمه النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل . بما أن التفاضل والتكامل مترابطيْن للغاية، يمكن من خلال استعمالهما معًا إيجاد معدل التغيرّ والتسارع والسرعة والمكان والحركة وغير ذلك من المعلومات، أيًا كانت المعلومات المتاحة لديك.
- على سبيل المثال: تذكر أن مشتق السرعة هو التسارع، بالتالي يمكنك استخدام السرعة لإيجاد التسارع. ماذا إذا كنت لا تعرف سوى تسارع شيء ما (مثل سقوط أجسام بتأثير الجاذبية)؟ يمكنك حساب تكامله لإيجاد السرعة!
-
اعرف أن التكامل من الممكن أيضًا أن يحسب حجم أجسام ثلاثية الأبعاد. تدوير أشكل مسطحة في الفضاء من طرق إيجاد أجسام ثلاثية الأبعاد. تخيل مثلًا لفّ عملة معدنية على الطاولة التي أمامك، لاحظ كيف يبدو وكأنها تكوّن شكلًا كرويًا بينما تدور. يمكنك استخدام هذه الفكرة لإيجاد الحجم باستخدام عملية تُعرَف "الحجم الناشئ عن الدوران".
- يمكنك هذا من معرفة حجم أي جسم صلب في العالم، طالما أن هناك ما يعكسه من المعادلات. على سبيل المثال: يمكنك عمل دالة تتبع قاع بحيرة، ثم تستخدمها لإيجاد حجم البحيرة أو مقدار ما تحمله من ماء.
أفكار مفيدة
- التدرّب مفتاح التعلُّم، لذا تدرب على حل المسائل في كتاب الأسئلة المدرسي – حتى المسائل التي لم تُكلَّف بحلها في الصف – وتحقق من صحة إجاباتك ليسهُل عليك استيعاب هذه المفاهيم.
- استوضح صعوباتك من خلال سؤال معلمك.
المصادر
- ↑ https://www.mathsisfun.com/sets/function.html
- ↑ http://www-math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter01/section02.html
- Calculus Made Easy by Silvanus P. Thompson and Martin Gardner
المزيد حول هذا المقال
تم عرض هذه الصفحة ٤٧٬٤٤٧ مرة.
