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En mathématiques, calculer une valeur absolue est tout ce qu'il y a de simple. Sur une ligne qui serait graduée négativement (à gauche) et positivement (à droite) depuis 0, la valeur absolue d'une des unités serait sa distance à 0, ce qui fait que deux nombres opposés ont la même valeur absolue : 4 = -4.
Étapes
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Retenez qu’une valeur absolue est une distance. Sur une droite graduée, c'est celle qui sépare le nombre de la valeur absolue du 0. Chercher à résoudre revient à trouver la distance qui sépare cette valeur de 0. Comme une distance est par nature toujours positive, une valeur absolue est… toujours positive !
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Mettez le signe « + » devant le nombre de la valeur absolue. Par définition, une valeur absolue transforme n'importe quel nombre, positif ou négatif, en un même nombre positif. Elles sont utilisées bien sûr en mathématiques, mais aussi en finance (soldes intermédiaires de gestion), en économie [1] X Source de recherche …
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Utilisez deux traits verticaux pour signifier une valeur absolue. Ils seront de part et d'autre de la valeur. Sur votre clavier, pour faire un seul trait, vous ferez Alt Gr + 6 (Windows, Linux) ou Alt + Maj + L (Mac). et sont trois valeurs absolues.
- se lit : « valeur absolue de 2 [2] X Source de recherche ».
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Enlevez le signe « - » d'un nombre négatif en valeur absolue. C'est ainsi que est la même chose que .
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Supprimez les traits verticaux. Vous obtenez ainsi la valeur… de la valeur absolue. Dans notre exemple, a la même valeur que , soit 5. Avec l'habitude, vous irez plus vite [3] X Source de recherche .
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Simplifiez toute expression à l'intérieur des traits verticaux. Si, à l'intérieur d'une valeur absolue, la quantité est négative, vous pouvez lui retirer son signe négatif ( ), mais si la quantité est une somme ou un produit, vous devez d'abord faire le calcul avant de trouver sa valeur absolue. Ainsi,
doit être préalablement calculée. L'ordre des opérations se doit d'être respecté.- Calculez cette expression : .
- Calculez ce qu'il y a entre parenthèses : .
- Additionnez et soustrayez : .
- Enlevez tout signe négatif à l'intérieur d'une valeur absolue : .
- La réponse est : [4] X Source de recherche .
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Respectez l'ordre des opérations. Ce qui est valable pour les nombres l'est aussi pour les valeurs absolues. Quand ce qui est entre les traits d'une valeur absolue ne se présente pas sous la forme d'une valeur numérique, positive ou négative, peu importe, il faut commencer par faire toutes les opérations dans l'ordre. Le contenu des parenthèses est toujours prioritaire. Rien ne vaut un exemple concret.
- Calculez cette expression : .
- En respectant l'ordre des opérations, simplifiez ainsi : .
- Calculez les valeurs absolues : .
- Poursuivez normalement les calculs : .
- Simplifiez votre résultat : [5] X Source de recherche .
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Entrainez-vous régulièrement. Certes, le concept et le calcul de la valeur absolue sont simples, mais de temps à autre, il est bon de faire quelques petits exercices pour ne pas perdre la main.
- =
- =
- =
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Observez votre nombre complexe. Il contient la valeur , affectée ou non d'un coefficient ( ). Le module d'un nombre complexe ne s'obtient pas tout à fait comme la valeur absolue d'un rationnel. En fait, le module est la distance dans le plan et la valeur absolue, celle sur une droite. Il faut recourir à la formule de la distance d'un point (x,y) au point origine (0,0) d'un repère. Prenons comme exemple le nombre complexe .
- Calculons le module de .
- Nota bene : si, ce qui est rare, vous avez une expression contenant , remplacez cette racine par , nombre imaginaire. Par définition, , donc . Toujours par définition, [6] X Source de recherche .
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Repérez les parties du nombre complexe. Pour le complexe , est la partie réelle et la partie imaginaire. De plus, peut être considéré comme l'équation d'une droite, 3 étant l'abscisse et 4 l'ordonnée. Si la valeur absolue d'un nombre est sa distance à 0, avec notre nombre complexe concret, la distance à chercher est celle du point (3, -4) au point origine (0,0). Pour le calcul du module, il faut donc trouver les coordonnées du point [7] X Source de recherche .
- (1, 6)
- (2, -1)
- (-8, 6)
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Supprimez les traits du module. Pour démarrer, vous devez identifier les parties, ce qui est chose simple, puis écrivez-les sous la forme des coordonnées d'un point. Il n'y a pas d'égalité entre le module et les coordonnées, simplement une correspondance.
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Élevez les parties au carré. La distance d'un complexe au point origine (aussi appelé « taille ») s'obtient à l'aide la formule : . Votre premier soin sera donc d'élever les parties au carré. Reprenons notre exemple concret, à savoir .
- Les parties sont : (3, -4).
- Appliquez la formule de la distance : .
- Élevez les parties au carré : .
- Nota bene : si nécessaire, lisez cet article pour vous rafraichir la mémoire. Toute valeur élevée au carré est positive. On retrouve là la notion de valeur absolue [8] X Source de recherche .
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Faites la somme des carrés sous la racine. Ne touchez pas à la racine, faites simplement la somme des carrés, prélude obligatoire au calcul de la racine.
- Les parties sont : (3, -4).
- Appliquez la formule de la distance : .
- Élevez les parties au carré : .
- Faites la somme des carrés : .
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Calculez la racine carrée du résultat. Le résultat obtenu est le module du nombre complexe, sa distance au point origine. Simplifiez la racine si votre somme est un carré parfait, sinon laissez la racine telle qu'elle est. Le module d'un nombre complexe est toujours positif, comme la valeur absolue d'un réel.
- Les parties sont : (3, -4).
- Appliquez la formule de la distance : .
- Élevez les parties au carré : .
- Faites la somme des carrés : .
- Calculez la racine carrée du résultat : 5.
- La solution est : [9] X Source de recherche .
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Entrainez-vous. Essayez de calculer les valeurs absolues ci-dessous. La réponse est cachée à côté du signe : mettez cet espace en surbrillance avec votre souris et vous verrez apparaitre la solution.
- = √37
- = √5
- = 10
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Conseils
- En cas de valeur absolue d'une variable (par exemple, ), vous devrez être très prudent(e), car vous ne pouvez pas, sans étude préalable, savoir le signe de la quantité en valeur absolue. C’est toujours le même refrain, si la quantité est négative, la valeur absolue sera, elle, positive.
- En cas de somme ou de produit à l'intérieur des traits de la valeur absolue, vous devez en priorité faire ses calculs.
- La valeur absolue d'un nombre positif est ce même nombre… toujours ! Et l'on ne marque jamais le signe d'une valeur absolue !
- La valeur d'une expression contenant une inconnue ( ) s'obtient sur les mêmes principes, mais il faut envisager les deux cas de figure en fonction de la valeur que pourrait prendre .
- Une valeur absolue ne peut jamais être par définition négative. Aussi, si un jour vous rencontrez une expression du type , inutile de faire de calculs : l'équation n'a pas de racine !
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Références
- ↑ http://mathforum.org/library/drmath/view/57177.html
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/absolute.htm
- ↑ http://www.virtualnerd.com/tutorials/?id=Alg1_02_01_0001
- ↑ http://www.coolmath.com/prealgebra/08-signed-numbers-integers/04-signed-numbers-integers-absolute-values-01
- ↑ http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/COURSE_TEXT2_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final.html
- ↑ http://mathcentral.uregina.ca/QQ/database/QQ.09.98/bagley2.html
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/absolute.htm
- ↑ https://fr.khanacademy.org/math/precalculus/imaginary-and-complex-numbers/absolute-value-and-angle-of-complex-numbers/e/absolute_value_of_complex_numbers
- ↑ http://mathcentral.uregina.ca/QQ/database/QQ.09.06/keith1.html
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