Comment obtenir la formule quadratique

Coécrit par David Jia

En algèbre, avec les fonctions du second degré, il est très utile de connaitre (et de savoir se servir) ce qu'on appelle, sous sa forme littérale, la formule quadratique : $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$ . Cette dernière donne les solutions théoriques des équations du second degré du type : $ax^{{2}}+bx+c=0$ . Si vous connaissez les vraies valeurs de $a,b$ et $c$ , il ne vous reste plus qu'à faire les calculs. Certes, vous pouvez vous contenter de l'appliquer bêtement, mais il est bien plus intéressant de comprendre comment on l'obtient. Elle provient en fait d'une méthode de factorisation des équations du second degré, celle qui consiste à compléter le carré , méthode bien utile par ailleurs.

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1
Mettez votre équation sous forme standard. Toute équation contenant $x^{{2}}$ est du second degré, mais peut s'écrire de différentes façons. Ici, nous avons besoin de la présenter comme étant égale à 0. Dans l'équation donnée en exemple ci-dessous, $a$ et $b$ sont des coefficients, et $c$ , une constante. Ces trois valeurs peuvent être des entiers, des fractions… Ici, nous garderons la forme littérale.
- $ax^{{2}}+bx+c=0$
- Pour précision, $a\neq 0$ , sans quoi vous n'auriez plus une équation du second degré, mais une équation du premier degré. Si $b=0$ ou $c=0$ , alors la résolution est d'une grande simplicité.
2
Ôtez $c$ de chaque côté. Le but est d'arriver à isoler $x$ d'un côté de l'équation. Pour commencer, il faut isoler la constante et ne garder que les termes en $x$ de l'autre côté.
- $ax^{{2}}+bx=-c$
3
Divisez de chaque côté par $a$ . Cette opération aurait pu être faite en premier, c'est-à-dire avant l'isolement de la constante, cela n'aurait rien changé au résultat final. Pour diviser un polynôme par une valeur, il faut diviser chaque terme de ce polynôme par la valeur en question. Cette deuxième opération va vous permettre de compléter le carré, une des méthodes pour trouver les racines d'une équation du second degré.
- ${\frac {a}{a}}x^{{2}}+{\frac {b}{a}}x={\frac {-c}{a}}$ , soit $x^{{2}}+{\frac {b}{a}}x={\frac {-c}{a}}$
4
Complétez le carré . Le but ici est de récrire l'expression $x^{{2}}+2\Box x+\Box ^{{2}}$ sous la forme d'un carré parfait de la forme : $(x+\Box )^{{2}}$ , $\Box$ étant une constante. En règle générale, vous ne trouverez jamais ce carré parfait au simple coup d'œil. Reprenons notre exemple : récrivez ${\frac {b}{a}}x$ sous la forme $2{\frac {b}{2a}}x$ . En multipliant l'expression par ${\frac {2}{2}}$ , vous changez la forme, mais pas la valeur de l'expression, car la multiplication par 1 est neutre. Vous voyez désormais le terme du milieu (en « x »), $\Box ={\frac {b}{2a}}$ , il ne manque à ce membre de gauche que $\Box ^{{2}}$ pour trouver le carré. C'est la raison pour laquelle vous allez ajouter de chaque côté l'expression $\left({\frac {b}{2a}}\right)^{{2}}$ , soit ${\frac {b^{{2}}}{4a^{{2}}}}$ . À présent, il vous est possible de factoriser sous la forme d'un carré parfait.
- ${\begin{aligned}x^{{2}}+2{\frac {b}{2a}}x+{\frac {b^{{2}}}{4a^{{2}}}}&={\frac {b^{{2}}}{4a^{{2}}}}-{\frac {c}{a}}\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{{2}}&={\frac {b^{{2}}}{4a^{{2}}}}-{\frac {c}{a}}\end{aligned}}$
- Vous pouvez en déduire que $a\neq 0$ , puisque $a$ est en dénominateur et que la division par 0 n'est pas possible.
- À titre de vérification, vous pouvez développer le carré trouvé, puis faire les calculs pour voir si vous retombez bien sur l'équation de départ.
5
Réduisez le membre de droite à un même dénominateur. Dans l'exemple, il faut tout réduire sur $4a^{{2}}$ , ce qui suppose de multiplier ${\frac {-c}{a}}$ par ${\frac {4a}{4a}}$ . Cette dernière expression valant 1, l'équation reste inchangée.
- ${\begin{aligned}\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{{2}}&={\frac {b^{{2}}}{4a^{{2}}}}-{\frac {4ac}{4a^{{2}}}}\\&={\frac {b^{{2}}-4ac}{4a^{{2}}}}\end{aligned}}$
6
Prenez la racine carrée de chaque membre. Quand vous extrayez la racine carrée d'une valeur (forcément positive), en l'occurrence $d^{{2}}$ , vous n'obtenez pas seulement $d$ , mais $|d|$ , ce qui sous-entend deux résultats, l'un positif, l'autre négatif. Rappelez-vous bien cette propriété, sans quoi vous risqueriez de ne trouver qu'une seule solution.
- $\left|x+{\frac {b}{2a}}\right|={\sqrt {{\frac {b^{{2}}-4ac}{4a^{{2}}}}}}$
- Récrivez l'équation en vous débarrassant du symbole de la valeur absolue, ce qui s'obtient en ajoutant, de l'autre côté, le signe $\pm$ . Si vous partez de deux valeurs opposées (par exemple 2 et -2), leurs valeurs absolues seront identiques. C'est la raison pour laquelle une équation du second degré, à moins qu'elle ne contienne un carré parfait, admet toujours deux solutions.
  - $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{{2}}-4ac}{4a^{{2}}}}}}$
- Simplifiez davantage l'expression obtenue. Comme la racine carrée d'un quotient est égale au quotient des racines carrées, vous pouvez écrire, à droite : ${\frac {\pm {\sqrt {b^{{2}}-4ac}}}{{\sqrt {4a^{{2}}}}}}$ . La racine carrée du dénominateur peut être simplifiée comme suit :
  - $x+{\frac {b}{2a}}={\frac {\pm {\sqrt {b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$
7
Isolez $x$ en soustrayant ${\frac {b}{2a}}$ de chaque côté de l'équation.
- $x={\frac {-b}{2a}}\pm {\frac {{\sqrt {b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$
8
Mettez le membre de droite sous un seul dénominateur. Vous obtenez ainsi la formule quadratique qui donne les deux racines d'une équation du second degré. Elle marche pour n'importe quelles valeurs $a,b,c$ . Quant à $x$ , ce sera un nombre réel ou complexe. Si cela vous amuse, vous pouvez partir de cette formule et refaire toutes les opérations, en sens inverse cette fois, et vous retomberez sur l'équation de départ.
- $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$
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Conseils

Cette formule fonctionne également avec des équations dont les coefficients sont des nombres complexes (du type 2i, 5i…). Cependant, les calculs sont un peu plus longs et… complexes. Jusqu'en lycée, et même après, les équations du second degré ont le plus souvent des coefficients réels.

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