Как найти обратную матрицу 3х3

PDF download Загрузить PDF
PDF download Загрузить PDF

Как правило, обратные операции используются для упрощения сложных алгебраических выражений. Например, если в задаче присутствует операция деления на дробь, можно заменить ее операцией умножения на обратную дробь, что является обратной операцией. Более того, матрицы делить нельзя, поэтому нужно умножать на обратную матрицу. Вычислять матрицу, обратную матрице размером 3х3, довольно утомительно, но нужно уметь делать это вручную. Также обратную величину можно найти с помощью хорошего графического калькулятора.

Метод 1
Метод 1 из 3:

С помощью присоединенной матрицы

PDF download Загрузить PDF
  1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/9\/97\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-1-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-1-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/9\/97\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-1-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-1-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Сначала вычислите определитель матрицы. Если определитель равен 0, то обратную матрицу вычислить нельзя. Определитель матрицы М обозначается как det(М). [1]
  2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/2c\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-2-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-2-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/2c\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-2-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-2-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Транспонирование – это замена строк на столбцы относительно главной диагонали матрицы, то есть нужно поменять местами элементы (i,j) и (j,i). При этом элементы главной диагонали (начинается в верхнем левом углу и заканчивается в нижнем правом углу) не меняются. [2]
    • Чтобы поменять строки на столбцы, запишите элементы первой строки в первом столбце, элементы второй строки во втором столбце, а элементы третьей строки в третьем столбце. Порядок изменения положения элементов показан на рисунке, на котором соответствующие элементы обведены цветными кружками.
  3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/ea\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-3-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-3-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/e\/ea\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-3-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-3-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Каждый элемент любой матрицы, включая транспонированную, связан с соответствующей матрицей 2х2. Чтобы найти матрицу 2х2, которая соответствует определенному элементу, зачеркните строку и столбец, в которых находится данный элемент, то есть нужно зачеркнуть пять элементов исходной матрицы 3х3. Незачеркнутыми останутся четыре элемента, которые являются элементами соответствующей матрицы 2х2. [3]
    • Например, чтобы найти матрицу 2х2 для элемента, который расположен на пересечении второй строки и первого столбца, зачеркните пять элементов, которые находятся во второй строке и первом столбце. Оставшиеся четыре элемента являются элементами соответствующей матрицы 2х2.
    • Найдите определитель каждой матрицы 2х2. Для этого произведение элементов второстепенной диагонали вычтите из произведения элементов главной диагонали (смотрите рисунок).
    • Подробную информацию о матрицах 2х2, соответствующих определенным элементам матрицы 3х3, можно найти в интернете.
  4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a2\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-4-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-4-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/a2\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-4-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-4-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Результаты, полученные ранее, запишите в виде новой матрицы кофакторов. Для этого найденный определитель каждой матрицы 2х2 напишите там, где располагался соответствующий элемент матрицы 3х3. Например, если рассматривается матрица 2х2 для элемента (1,1), ее определитель запишите в позиции (1,1). Затем поменяйте знаки соответствующих элементов согласно определенной схеме, которая показана на рисунке. [4]
    • Схема изменения знаков: знак первого элемента первой строки не меняется; знак второго элемента первой строки меняется на противоположный; знак третьего элемента первой строки не меняется и так далее построчно. Обратите внимание, что знаки «+» и «-», которые показаны на схеме (смотрите рисунок), не свидетельствуют о том, что соответствующий элемент будет положительным или отрицательным. В данном случае знак «+» говорит о том, что знак элемента не меняется, а знак «-» свидетельствует об изменении знака элемента.
    • Подробную информацию о матрицах кофакторов можно найти в интернете.
    • Так вы найдете присоединенную матрицу исходной матрицы. Иногда ее называют комплексно-сопряженной матрицей. Такая матрица обозначается как adj(M).
  5. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/7b\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-5-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-5-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/7b\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-5-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-5-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Определитель матрицы М был вычислен в самом начале, чтобы проверить, что обратная матрица существует. Теперь разделите каждый элемент присоединенной матрицы на этот определитель. Результат каждой операции деления запишите там, где находится соответствующий элемент. Так вы найдете матрицу, обратную исходной. [5]
    • Определитель матрицы, которая показана на рисунке, равен 1. Таким образом, здесь присоединенная матрица является обратной матрицей (потому что при делении любого числа на 1 оно не меняется).
    • В некоторых источниках операция деления заменяется операцией умножения на 1/det(М). При этом конечный результат не меняется.
    Реклама
Метод 2
Метод 2 из 3:

С помощью элементарных преобразований

PDF download Загрузить PDF
  1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/74\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-6-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-6-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/74\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-6-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-6-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Запишите исходную матрицу М, справа от нее нарисуйте вертикальную черту, а затем справа от черты запишите единичную матрицу. Получится матрица с тремя строками и шестью столбцами (большая матрица). [6]
    • Напомним, что единичной матрицей является матрица, где элементами главной диагонали являются единицы, а остальными элементами являются нули. Подробную информацию о единичных матрицах можно найти в интернете.
  2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/aa\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-7-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-7-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/aa\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-7-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-7-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Выполните элементарные преобразования, чтобы из исходной матрицы получить единичную. Наша цель заключается в том, чтобы создать единичную матрицу на левой половине большой матрицы. Элементарные преобразования, выполняемые на левой половине большой матрицы, нужно выполнять и на ее правой половине (напомним, что правой половиной большой матрицы является единичная матрица). [7]
    • Помните, что элементарные преобразования включают в себя операции скалярного умножения, а также сложения и вычитания строк, чтобы обособить определенные элементы. Подробную информацию об элементарных преобразованиях матриц можно найти в интернете.
  3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/6\/61\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-8-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-8-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/6\/61\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-8-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-8-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Продолжайте преобразовывать большую матрицу до тех пор, пока ее левая половина (то есть исходная матрица) не превратится в единичную матрицу. Напомним, что единичной матрицей является матрица, где элементами главной диагонали являются единицы, а остальными элементами являются нули. Когда исходная матрица станет единичной, на правой половине большой матрицы вы получите матрицу, обратную исходной. [8]
  4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/da\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-9.jpg\/v4-460px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-9.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/da\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-9.jpg\/v4-728px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-9.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Запишите элементы, расположенные на правой половине большой матрицы, в виде отдельной матрицы, которая является обратной матрицей. [9]
    Реклама
Метод 3
Метод 3 из 3:

С помощью калькулятора

PDF download Загрузить PDF
  1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/0\/02\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-10.jpg\/v4-460px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-10.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/0\/02\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-10.jpg\/v4-728px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-10.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    С помощью простых калькуляторов нельзя найти обратную матрицу, но это можно сделать на хорошем графическом калькуляторе, таком как Texas Instruments TI-83 или TI-86. [10]
  2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/0\/08\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-11.jpg\/v4-460px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-11.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/0\/08\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-11.jpg\/v4-728px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-11.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Для этого нажмите кнопку Matrix (Матрица), если она есть. В случае калькулятора Texas Instruments, возможно, понадобится нажать кнопки 2 nd и Matrix.
  3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a6\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-12.jpg\/v4-460px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-12.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/a6\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-12.jpg\/v4-728px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-12.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Сделайте это с помощью кнопок со стрелками или соответствующей функциональной кнопки, которая находится в верхней части клавиатуры калькулятора (расположение кнопки зависит от модели калькулятора). [11]
  4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/25\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-13.jpg\/v4-460px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-13.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/25\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-13.jpg\/v4-728px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-13.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Большинство графических калькуляторов умеет работать с 3-10 матрицами, которые можно обозначить буквами А-J. Как правило, просто выберите [A], чтобы обозначить исходную матрицу. Затем нажмите кнопку Enter (Ввод). [12]
  5. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/71\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-14.jpg\/v4-460px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-14.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/71\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-14.jpg\/v4-728px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-14.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    В данной статье говорится о матрицах 3х3. Но графические калькуляторы умеют работать с матрицами больших размеров. Введите количество строк, нажмите кнопку Enter, затем введите количество столбцов и еще раз нажмите кнопку Enter. [13]
  6. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/2a\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-15.jpg\/v4-460px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-15.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/2a\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-15.jpg\/v4-728px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-15.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    На экране калькулятора отобразится матрица. Если ранее в калькулятор уже вводилась матрица, она появится на экране. Курсор выделит первый элемент матрицы. Введите значение первого элемента и нажмите Enter. Курсор автоматически переместится к следующему элементу матрицы. [14]
    • Чтобы ввести отрицательное значение элемента, нажмите специальную кнопку со знаком «минус», а не кнопку операции вычитания; в противном случае калькулятор не сможет правильно обработать это число.
    • Чтобы перейти к определенному элементу матрицы, воспользуйтесь кнопками со стрелками.
  7. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/de\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-16.jpg\/v4-460px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-16.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/de\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-16.jpg\/v4-728px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-16.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Введя значения всех элементов матрицы, нажмите кнопку Quit (Выход). (Или, если необходимо, нажмите кнопки 2 nd и Quit.) Так вы выйдете из режима введения матрицы и перейдете на основной экран калькулятора. [15]
  8. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/fd\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-17.jpg\/v4-460px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-17.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/f\/fd\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-17.jpg\/v4-728px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-17.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Во-первых, войдите в режим ввода матрицы (нажмите кнопку Matrix) и нажмите кнопку Names (Обозначения), чтобы выбрать обозначение матрицы, которое вы указали ранее (скорее всего, [A]). Затем нажмите кнопку выполнения обратной операции, которая помечена как (возможно, сначала придется нажать кнопку 2 nd ). На экране отобразится . Нажмите Enter, чтобы вывести на экран обратную матрицу. [16]
    • Не пользуйтесь кнопкой ^ (кнопка для возведения в степень), чтобы ввести A^-1 посредством нажатия нескольких клавиш. Калькулятор не поймет эту операцию.
    • Если после нажатия на кнопку обратной операции на экране отобразилось сообщение об ошибке, скорее всего, обратная матрица не существует. Чтобы убедиться в этом, вычислите определить матрицы.
  9. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/cf\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-18-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-18-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/cf\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-18-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-18-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Преобразуйте значения элементов обратной матрицы в обыкновенные дроби. По умолчанию калькулятор отображает значения элементов обратной матрицы в виде десятичных дробей; в большинстве случаев такую матрицу нельзя записать в ответе. Поэтому десятичные значения элементов обратной матрицы необходимо преобразовать в обыкновенные дроби (в редчайших случаях все элементы обратной матрицы будут целыми числами). [17]
    • Во многих графических калькуляторах есть кнопка, позволяющая преобразовывать десятичные дроби в обыкновенные. Например, на калькуляторе TI-86 нажмите Math (Математика), выберите Misc (Другое), затем выберите Frac (Дробь) и нажмите Enter. Десятичные дроби будут автоматически преобразованы в обыкновенные.
    Реклама

Советы

  • Описанные методы можно применять к матрицам, элементами которых являются не только числа, но и переменные, неизвестные и даже алгебраические выражения.
  • Вычисления записывайте на бумаге, так как найти обратную матрицу в уме крайне сложно.
  • Существуют компьютерные программы, которые умеют работать с любыми матрицами [18] , включая матрицы 30х30.
  • Проверьте ответ, полученный с помощью любого из описанных в этой статье методов. Для этого перемножьте исходную (М) и обратную (М 1 ) матрицы. Помните, что М*М 1 = М 1 *М = 1. Единичная матрица – это матрица, где элементами главной диагонали являются единицы, а остальными элементами являются нули. Если результат перемножения не равен 1, проверьте ваши вычисления.
Реклама

Предупреждения

  • Не все матрицы 3x3 обратимы. Если определитель матрицы равен 0, обратная матрица не существует. (Обратите внимание, что в вычислениях присутствует деление на определитель, а на 0 делить нельзя.)
Реклама

Дополнительные статьи

Как
найти квадратный корень числа вручную
Как
переводить из двоичной системы в десятичную
Как
проводить действия с дробями
Как
найти множество значений функции
Как
найти область определения и область значений функции
Как
найти среднее значение, моду и медиану
Как
вычесть дробь из целого числа
Как
складывать и вычитать квадратные корни
Как
разделить целое число на десятичную дробь
Как
умножить в столбик
Как
решать кубические уравнения
Как
извлечь квадратный корень без калькулятора
Как
умножать корни
Как
привести к развернутой форме
Реклама

Источники

  1. ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/matrix-inverse-minors-cofactors-adjugate.html
  2. ↑ http://www.mathcentre.ac.uk/resources/uploaded/sigma-matrices11-2009-1.pdf
  3. ↑ http://www.mathwords.com/c/cofactor_matrix.htm
  4. ↑ http://www.mathwords.com/c/cofactor_matrix.htm
  5. ↑ http://mathworld.wolfram.com/MatrixInverse.html
  6. ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
  7. ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
  8. ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
  9. ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
  1. ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
  2. ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
  3. ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
  4. ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
  5. ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
  6. ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
  7. ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
  8. ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
  9. ↑ http://www.bluebit.gr/matrix-calculator/

Об этой статье

На других языках
Эту страницу просматривали 107 780 раз.

Была ли эта статья полезной?

Реклама