تنزيل المقال
تنزيل المقال
إن مسألة تبسيط الجذور التربيعية ليست بالتعقيد الذي تبدو عليه، فكل ما تتطلبه هو تعلم خطوات محددة والقليل من الوقت للتعود والممارسة، وسوف يتبين لك مدى سهولتها. تتلخص هذه الخطوات في تحليل العدد إلى عوامل ومن ثم استخراج الجذر التربيعي لأي مربعات كاملة تجدها تحت علامة الجذر. بعد أن تحفظ بعض المربعات الكاملة المعروفة من خلال الممارسة وتعرف كيف تحلل الأعداد، سيكون لديك كل ما يتطلبه تبسيط أي جذر تربيعي موجود.
الخطوات
-
افهم التحليل. الهدف من تبسيط الجذور التربيعية هو إعادة كتابتها بصورة يسهُل فهمها واستخدامها في مسائل الرياضيات. أي أن تحليل عدد كبير يؤدي إلى تقسيمه لعددين أو أكثر من "العوامل"، مثل تحويل 9 إلى 3 × 3. ما إن نتوصل إلى هذه العوامل، يمكننا كتابة الجذر التربيعي بصورة أبسط، لدرجة تحويله أحيانًا إلى عدد صحيح تمامًا، مثل: √9 = √(3x3) = 3. اتبع الخطوات أدناه لتتعلم طريقة تطبيق ذلك على جذور تربيعية أكثر تعقيدًا.
-
اقسم على أصغر عدد أولي ممكن. إذا كان العدد تحت علامة الجذر عدد زوجي، اقسمه على 2. إذا كان فرديًا، جرب أن تقسمه على 3. إذا لم ينتج عن القسمة على أيهما عدد صحيح، انتقل لتجربة القسمة على الأعداد التالية في قائمة الأعداد الأولية أدناه مختبرًا الأعداد كل على حدة حتى تصل لقسمة ناتجها عدد صحيح. لست بحاجة لتجربة القسمة على أعداد غير أولية بما أن جميع الأعداد غير الأولية لها عوامل أولية. لن تحتاج مثلًا أن تقسم على 4، لأن أي عدد يقبل القسمة على 4 يقبل كذلك القسمة على 2، التي حاولت بالفعل أن تقسم عليها ولم تحصل على النتيجة المطلوبة.
- 2
- 3
- 5
- 7
- 11
- 13
- 17
-
أعد كتابة الجذر التربيعي كمسألة ضرب. اترك كل شيء تحت العلامة الجذرية ولا تنسَ أن تكتب كلا العاملين. على سبيل المثال: إذا كان الجذر الذي نحاول تبسيطه هو √98، اتبع الخطوات أعلاه لتصل إلى أن 98 ÷ 2 = 49، بالتالي 98 = 2 × 49. اكتب "98" الأصلية التابعة للجذر التربيعي الأول كما يلي: √98 = √(2 × 49).
-
كرر العملية على أحد العددين المتبقيين. يجب أن نستمر بتحليل العدد إلى العوامل إلى أن نجد بين عوامله عددين متماثلين قبل أن نتمكن من تبسيطه. هذا الأمر منطقي إذا وضعت في اعتبارك معنى الجذر التربيعي: الحد √(2 × 2) يعني "العدد الذي إذا ضربته في نفسه نتج عنه 2 × 2"، هذا العدد كما هو واضح هو 2! فلتتذكر أثناء الحل أن هذا هو الهدف، ثم استمر بتكرار الخطوات أعلاه على المثال √(2 × 49):
- 2 محللة بالفعل لأبسط ما يمكن (فهي أحد الأعداد الأولية المدرجة في القائمة أعلاه)، بالتالي سنتغاضى عنها مؤقتًا ونحاول تحليل 49.
- لا يمكن قسمة 49 من غير باقٍ على 2 أو على 3 أو 5، ويمكنك التحقق من صحة هذا بنفسك باستخدام آلة حاسبة أو عن طريق القسمة المطولة. بما أن هذه الأعداد الأولية لا تعطينا نتائج صحيحة كما ننتظر من القسمة، سوف نتجاوزهم ونتابع المحاولة.
- يمكن قسمة 49 على من غير باق على سبعة. 49 ÷ 7 = 7، بالتالي 49 = 7 × 7
- أعد كتابة المسألة: √(2 × 49) = √(2 × 7 × 7).
-
أنهِ التبسيط من خلال "استخراج" عدد صحيح. بعد أن يصبح بين العوامل المحللة عددين متماثلين، يمكنك أن تحولهما إلى عدد صحيح عادي خارج علامة الجذر التربيعي، واترك باقي العوامل تحت العلامة، مثال على ذلك: √(2 × 7 × 7) = √(2)√(7 × 7) = √(2) × 7 = 7√(2).
- حتى لو أمكن الاستمرار بالتحليل، لست بحاجة له طالما أنك قد وجدت بالفعل عاملين متماثلين. مثال: √(16) = √(4 × 4) = 4. لو أننا ظللنا نحلل العدد الذي تحت الجذر إلى عوامل أصغر، سنصل في نهاية الأمر لنفس النتيجة لكن بعد المرور على خطوات أكثر: √(16) = √(4 × 4) = √(2 × 2 × 2 × 2) = √(2 × 2)√(2 × 2) = 2 × 2 = 4.
-
اضرب الأعداد الصحيحة ببعضها إذا كنت قد استخرجت من الجذر أكثر من عدد واحد. يمكنك تبسيط بعض الجذور التربيعية أكثر من مرة إذا كانت الأعداد بداخلها كبيرة، إذا بسطت مسألة من هذا النوع، اضرب الأعداد الصحيحة التي أخرجتها من الجذر كي تصل لنتيجتك النهائية. إليك مثالًا:
- √180 = √(2 × 90)
- √180 = √(2 × 2 × 45)
- √180 = 2√45، لكن هذه النتيجة يمكن تبسيطها أكثر
- √180 = 2√(3 × 15)
- √180 = 2√(3 × 3 × 5)
- √180 = (2)(3√5)
- √180 = 6√5
-
اكتب "لا يمكن تبسيطه" إذا لم تجد عاملين متطابقين. بعض الجذور التربيعية تكون بالفعل في أبسط صورها، وتعرف أنها كذلك إذا ظللت تحللها حتى تصبح كل الأعداد داخل العلامة الجذرية أعداد أولية (كالأعداد المدرجة في القائمة في إحدى الخطوات أعلاه) وليس بينهما اثنين متماثلين، وبالتالي ليس هناك ما بوسعك فعله مع هذا الجذر. ربما كان السؤال يخدعك! مثلًا: لنحاول تبسيط √70:
- 70 = 35 × 2، بالتالي √70 = √(35 × 2)
- 35 = 7 × 5، بالتالي √(35 × 2) = √(7 × 5 × 2)
- كل من هذه الأعداد الثلاث هي أعداد أولية، بالتالي لا يمكن تبسيطها أكثر من ذلك. كلها أعداد مختلفة ولذلك ما من طريقة ممكن "لإخراج" عددين منهما كعدد صحيح غير جذري. من هنا نستنتج أن √70 لا يمكن تبسيطه.
-
احفظ بعض المربعات الكاملة. ينتج عن تربيع أي عدد (أو ضربه بنفسه) مربعًا كاملًا، مثلًا: 25 هي مربع كامل لأنها حاصل ضرب 5 × 5 أو 5 2 ، تساوي 25. يسهُل عليك تمييز الجذور التربيعية الكاملة وتبسيطها إذا حفظت أول عشر مربعات كاملة على الأقل. إليك قائمة بالعشر مربعات الكاملة الأولى:
- 1 2 = 1
- 2 2 = 4
- 3 2 = 9
- 4 2 = 16
- 5 2 = 25
- 6 2 = 36
- 7 2 = 49
- 8 2 = 64
- 9 2 = 81
- 10 2 = 100
-
جد الجذر التربيعي لمربع كامل. إذا ميزت العدد الذي بداخل علامة الجذر كمربع كامل، حوله إلى جذره التربيعي وألغِ العلامة (√). مثال: إذا رأيت العدد 25 تحت علامة الجذر التربيعي، ستعرف في الحال أن الإجابة هي 5 لأن 25 مربع كامل. إليك نفس القائمة التي أدرجناها أعلاه لكن بالتحويل بالعكس من جذر تربيعي إلى حله:
- √1 = 1
- √4 = 2
- √9 = 3
- √16 = 4
- √25 = 5
- √36 = 6
- √49 = 7
- √64 = 8
- √81 = 9
- √100 = 10
-
حلل الأعداد إلى مربعات كاملة. استخدم المربعات الكاملة بطريقة تفيدك عند اتباع طريقة التحليل إلى عوامل لتبسيط الجذور التربيعية. إذا لاحظت عددًا يمكن تحليل مربع كامل منه، يمكنك عمل ذلك لاختصار الوقت والمجهود. إليك بعض النصائح بهذا الشأن:
- √50 = √(25 × 2) = 5√2. إذا انتهى أي عدد بخانتين يشكلان أحد الأرقام 25 أو 50 أو 75، يمكنك أن تحلل العدد 25 منه.
- √1700 = √(100 × 17) = 10√17. إذا كانت آخر خانتين 00، يمكنك دائمًا أن تستخرج 100 من بين عوامل العدد.
- √72 = √(9 × 8) = 3√8. من المفيد غالبًا التعرُّف على مضاعفات التسعة، وهناك حيلة تساعدك بهذا الشأن: إذا كان مجموع كل الخانات يساوي تسعة عند جمعها، فلابد أن التسعة من عوامل هذا العدد.
- √12 = √(4 × 3) = 2√3. لا توجد قاعدة عامة هنا، لكن من السهل عادةً أن تجرب قابلية أي رقم صغير للقسمة على 4، تذكر هذا وأنت تبحث عن عوامل.
-
حلل الأعداد التي بها أكثر من مربع كامل. إذا احتوت عوامل الأعداد على أكثر من مربع كامل واحد، أخرج كلًا منهم من علامة الجذر. ببساطة انقل أي مربع كامل تعثر عليه أثناء خطوات التبسيط إلى خارج علامة الجذر واضرب ما استخرجته من أعداد ببعضها البعض في النهاية. فلنبسط √72 كمثال على هذه الحالة:
- √72 = √(9 × 8)
- √72 = √(9 × 4 × 2)
- √72 = √(9) × √(4) × √(2)
- √72 = 3 × 2 × √2
- √72 = 6√2
-
علامة الجذر التربيعي (√). في المسألة √25 على سبيل المثال، "√" هي علامة الجذر التربيعي.
-
العدد الذي بداخل علامة الجذر. هذا هو العدد الذي تحتاج أن توجد جذره التربيعي، مثال: في المسألة √25، 25 هو العدد المطلوب إيجاد جذره.
-
المعامِل، وهو العدد الذي يوجد خارج علامة الجذر. هذا العدد مضروب في الجذر التربيعي، ويوجد على الجهة الخارجية من العلامة (بجانب الشرطة الصغيرة). مثلًا: في المسألة 7√2، "7" هي المعامل.
-
العامل هو عدد صحيح ينتج عن قسمة عددين. مثال: 2 هي عامل للعدد 8 وكذلك 4 لأن 8 ÷ 4 = 2، لكن 3 ليست من عوامل 8 لأن قسمة 8 ÷ 3 لا ينتج عنها عدد صحيح. مثال آخر: 5 هي عامل لـ 25 لأن 5 × 5 = 25.
-
افهم معنى تبسيط جذر تربيعي. يقصد بتبسيط جذر تربيعي تحليله إلى أي عدد يمكن إخراجه من الجذر على صورة مربع كامل، ونقله إلى خارج الجذر وترك العوامل التي لا يمكن إخراجها داخل العلامة. إذا كان العدد كله عبارة عن مربع كامل، فسوف تحذف علامة الجذر بعد أن تكتب جذر هذا العدد. مثال: يمكن تبسيط √98 إلى 7√2.
أفكار مفيدة
- من طرق إيجاد مربعات كاملة يمكن استخراجها من تحليل عدد ما، هي أن تنظر في قائمة المربعات الكاملة وتبدأ من الأرقام الأصغر من العدد المعني بدءًا بأكبرهم (أقربهم له). مثال: عندما تبحث عن مربع كامل يمكن استخراجه من 27، ابدأ بالنظر لـ 25 وانتقل لأسفل القائمة مرورًا بـ 16 ثم توقف عند 9 لأنك وجدت ما يمكن قسمة 27 عليه.
تحذيرات
- صحيح أن الآلات الحاسبة مفيدة مع الأعداد الكبيرة، لكنك كلما تدربت على حل هذه المسائل بنفسك، زادت سهولتها وتمكنك منها مع الوقت.
- تبسيط الجذور التربيعية هي عملية مختلفة عن تقديرها، حيث تختفي العلامة الجذرية تمامًا وينتج عدد عشري ما لم يكن الجذر مربع كامل، أما في التبسيط يستحيل الوصول لنتيجة تحتوي على فاصلة عشرية.
