تنزيل المقال
تنزيل المقال
يجب عند جمع وطرح الجذور التربيعية أن تجمع ذوات الحدود الجذرية المتماثلة منهم؛ بمعنى أنك يمكن أن تجمع أو تطرح 2√3 و4√3، لكن لا يمكن إجراء هذه العمليات على 2√3 و2√5. توجد كذلك العديد من الحالات حيث يمكن تبسيط العدد الذي بداخل الجذر حتى يصبح من الممكن إجراء عمليات الجمع والطرح على الحدود المتشابهة الناتجة عن هذا التبسيط.
الخطوات
-
بسط ما بداخل الجذر متى ما أمكن . جرب تحليل الأعداد التي بداخل الإشارة الجذرية لتجد من بينهم مربعًا كاملًا واحدًا على الأقل، مثل 25 (5 × 5) أو 9 (3 × 3). حالما تعثر على مربع كامل تستطيع أن تخرجه من علامة الجذر وتترك العامل المتبقي تحت الجذر. المسألة التي سنستعملها مثالًا هنا هي: 6√50 - 2√8 + 5√12 . الأعداد التي بخارج العلامة الجذرية هي "معامِلات" والأعداد التي بداخل العلامة الجذرية هي التي نحللها إلى عوامل. إليك طريقة تبسيط كل حد: [١] X مصدر بحثي
- ' 6√50 = 6√(25 × 2) = (6 × 5)√2 = 30√2 . حللنا هنا "50" إلى "25 × 2" ثم استخرجنا "5" من المربع الكامل "25" ووضعناها خارج علامة الجذر وتركنا العدد المتبقي "2" بداخل الجذر. بعد ذلك ضربنا "5" في "6" وهو العدد الموجود خارج الجذر منذ البداية، وأصبح المُعامل الجديد - ناتج الضرب - هو 30 (بدلًا من 6 سابقًا).
- 2√8 = 2√(4 × 2) = (2 × 2)√2 = 4√2 . حللنا "8" إلى "4 × 2" ثم استخرجنا "2" من المربع الكامل "4" ووضعناها خارج علامة الجذر، وتركنا "2" بداخل الجذر. بعد ذلك ضربنا العددين الموجودين خارج الجذر، أي "2" في "2" والنتيجة هي المعامل الجديد الذي يساوي 4.
- 5√12 = 5√(4 × 3) = (5 × 2)√3 = 10√3 . حللنا هنا "12" إلى "4 × 3" واستخرجنا "2" من المربع الكامل "4" ووضعناها خارج الجذر، وتركنا العامل "3" بالداخل. بعد ذلك ضربنا "2" في "5" وهو العدد الذي بخارج الجذر والنتيجة هي 10 كمعامل جديد.
-
ضع دائرة حول كل الحدود الجذرية المتطابقة. بعد تبسيط الجذور المعطاة في المسألة، تصبح المسألة على الصورة: 30√2 - 4√2 + 10√3". الآن أحط الجذور التي تتشابه الأعداد التي بداخلها لأنه لا يمكن إجراء الجمع والطرح في عمليات الجذور سوى مع الأعداد المتطابقة، وهذه الحدود المتماثلة في مثالنا هنا هي 30√2 و 4√2 . يمكنك التفكير في هذه المسائل كما لو كانت جمع أو طرح كسور، حيث لا يمكن إجراء عمليات كهذه عليها إلا إذا تطابقت المقامات.
-
إذا كانت المسألة طويلة ويوجد الكثير من الجذور المتماثلة، يمكنك حينها أن تضع دائرتين حول جذرين ورسم خط تحت الاثنين الآخرين ووضع نجمة على جذرين غيرهما.. وهكذا. كذلك قد تجد ترتيب الجذور في صف فكرة تُسهّل عليك تصور الحل.
-
اجمع أو اطرح معاملات الحدود التي يتطابق ما بداخل جذورها. الخطوة الوحيدة المتبقية هي أن تجمع أو تطرح معاملات الحدود التي تتطابق أعداد جذورها وتترك أي حدود غير متطابقة كجزء ثابت من المسألة. لا تجمع ما بداخل الجذور؛ فالفكرة أنك تستنتج بهذا الجمع أو الطرح إجمالي عدد هذا النوع من الجذور في هذه المسألة، وبالتالي تظل أي جذور وحيدة من نوعها كما هي. إليك مثالًا كتطبيق لهذه الفكرة:
- 30√2 - 4√2 + 10√3 =
- (30 - 4)√2 + 10√3 =
- 26√2 + 10√3
-
حل المثال 1. سوف تجمع في هذا المثال ما يلي من الجذور: √(45) + 4√5 . إليك الطريقة التي ينبغي حل المسألة بها:
- بسّط √(45) . يمكنك أولًا أن تحللها إلى عوامل لتصبح √(9 × 5) .
- استخرج "3" من المربع الكامل "9" واجعل منها معاملًا للجذر. إذًا: √(45) = 3√5 .
- اجمع الآن معاملات الحدين بما أن الجذور أصبحت متطابقة: 3√5 + 4√5 = 7√5 .
-
حل المثال 2. هذا المثال هو المسألة التالية: 6√(40) - 3√(10) + √5 . إليك الطريقة التي ينبغي اتباعها لحل هذه المسألة:
- بسّط 6√(40) . يمكنك في البداية أن تحلل العدد "40" إلى عوامل، فتجعل منها "4 × 10" وهو ما يعني أن 6√(40) = 6√(4 × 10) .
- تستطيع بعدها أن تستخرج "2" من المربع الكامل "4" ثم تضربها في المُعامل الحالي. أصبحت المسألة الآن على الصورة 6√(4 × 10) = (6 × 2)√10 .
- اضرب المعامليْن لكي تحصل على الناتج 12√10 .
- يصبح شكل المسألة الآن كالتالي: 12√10 - 3√(10) + √5 . تجد بالنظر للمسألة أن الجذرين الأولين حدودهما متطابقة، لذا قم بطرح الحد الثاني من الأول واترك الثالث كما هو.
- تصبح المسألة هنا (12-3)√10 + √5 والتي يمكن تبسيطها إلى 9√10 + √5 .
-
حل المثال 3. هو المسألة 9√5 -2√3 - 4√5 . لا يوجد بين أي من الحدود الظاهرة أسفل الجذور ما هو مربع كامل، بالتالي من غير الممكن تبسيط أي جذر. الجذر الأول والثالث متطابقان، بالتالي يمكن إجراء عمليات على معاملاتهما (9 - 4)، وبالطبع من غير تغيير ما بداخل الجذر كما تعلمنا. الحدان المتبقيان من نتيجة هذه العملية غير متطابقان، بالتالي تكون الصورة النهائية المبسطة للناتج هي 5√5 - 2√3 .
-
حل المثال 4. لنقل أنك تحل المسألة التالية: √9 + √4 - 3√2 ، إليك طريقة إيجاد ناتجها:
- بما أن √9 يساوي √(3 × 3) ، فإن من الممكن تبسيط √9 إلى 3 .
- بما أن √4 يساوي √(2 × 2) ، فإن من الممكن تبسيط √4 إلى 2 .
- تستطيع أن تجمع الآن ببساطة 3 + 2 وتحصل على الناتج 5.
- بما أن 5 و 3√2 هي حدود غير متطابقة، فلا يمكنك عمل شيء آخر مع هذه المسألة. الناتج النهائي هو 5 - 3√2 .
-
حل المثال 5. لنجرب الآن أن نجمع ونطرح جذورًا تربيعية تشكّل جزءًا من كسور. كما نعرف في أي كسور عادية أن الجمع والطرح ممكن بينهم شريطة أن تتماثل مقاماتهم، وهكذا الحال بالطبع في الكسور التي تضم جذورًا. لنختر مثالًا كالمسألة: (√2)/4 + (√2)/2 ، إليك طريقة حلها:
- اعمل على توحيد مقامي هذين الكسرين. المقام المشترك الأصغر (أو العدد الذي يقبل القسمة على المقامين "4" و"2") هو "4".
- اجعل مقام الحد الثاني من المسألة (√2)/2 يساوي 4، يجب أن تضرب بسطه ومقامه في 2/2. (√2)/2 × 2/2 = (2√2)/4 .
- اجمع بسطي الكسرين واترك المقام كما هو، أي اتبع الطريقة التي كنت ستتبعها لو كنت تحل مسألة كسور عادية. (√2)/4 + (2√2)/4 = 3√2)/4 .
أفكار مفيدة
- بسط دومًا أي أعداد داخل الجذور يوجد بين عواملها مربعات كاملة قبل أن تبدأ بتمييز المتشابه من الحدود الجذرية وجمعها أو طرحها.
تحذيرات
- إياك وجمع الجذور غير المتماثلة.
- لا تجمع عددًا صحيحًا مع جذر، أي أن: 3 + (2س) 1/2
من غير
الممكن تبسيطها.
- ملاحظة: قول "نصف قوة (2س)" = (2س) 1/2 هي طريقة ثانية للتعبير عن "الجذر التربيعي لـ (2س) " .
