تنزيل المقال
تنزيل المقال
المسافة التي يرمز لها عادة بالرمز "d" هي طول الخط المستقيم بين نقطتين. [١] X مصدر بحثي يمكن أن تشير المسافة إلى البعد بين نقطتين ثابتتين (طول الشخص مثلًا هو المسافة من أسفل القدم إلى قمة الرأس) أو قد تشير للبعد بين الموضع الحالي لجسم متحرك ونقطة البداية. يمكن حل معظم مسائل المسافة بالمعادلة " d = s avg × t " حيث d تمثل المسافة وتمثل s avg السرعة المتوسطة وt الزمن، أو استخدام " d = √((x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2 )" حيث (x 2 , y 2 ) و(x 1 , y 1 ) هما الإحداثي السيني والصادي للنقطتين.
الخطوات
-
جد قيم السرعة المتوسطة والزمن. ثمة معلومتان ضروريتان عند حساب المسافة التي قطعها جسم متحرك وهما "السرعة" (أو معيار السرعة) و"الزمن" المستغرق في الحركة. [٢] X مصدر بحثي يمكن إيجاد المسافة التي قطعها الجسم عند معرفة هذه المعلومات باستخدام المعادلة d = s avg × t.
- لنحل مثالًا على هذا الجزء حتى نفهم عملية استخدام معادلة حساب المسافة بشكل أفضل. لنقل أننا نسير على الطريق بسرعة 120 ميلًا في الساعة (193 كم في الساعة) ونريد أن نعرف كم قطعنا في نصف ساعة. سنستخدم 120م/ساعة كقيمة للسرعة المتوسطة و0.5 ساعة كقيمة للزمن وسنحل هذه المسألة في الخطوة التالية.
-
اضرب السرعة المتوسطة في الزمن. يصبح إيجاد المسافة التي قطعها الجسم المتحرك سهلًا حين نعرف سرعته المتوسطة ومدة حركته. اضرب هاتين الكميتين لإيجاد الإجابة. [٣] X مصدر بحثي
- لكن لاحظ أن وحدات الزمن المستخدمة في السرعة المتوسطة تختلف عنها في الزمن لذا عليك تحويل إحداهما للأخرى لتكونا متوافقتين. سنقسم الزمن على 60 لنحوله لساعات إذا كانت السرعة المتوسطة مقاسة بالكم/ساعة والزمن بالدقائق.
- لنحل مثالنا. 120 miles/hour × 0.5 hours = 60 miles . لاحظ أن وحدة الزمن هي الساعة احذفها مع وحدات مقام السرعة المتوسطة (الساعة) لتتبقى وحدات المسافة فقط (وهي الميل).
-
غير المعادلة لإيجاد المتغيرات الأخرى. بساطة المعادلة الأساسية للمسافة (d = s avg × t) تجعل تطويعها لإيجاد قيم المتغيرات الأخرى سهلًا جدًا. افصل المتغير الذي تريد حساب قيمته وفقًا لقواعد الجبر الأساسية ثم عوض بقيم المتغيرين الآخرين لإيجاد قيمة الثالث. بعبارة أخرى استخدم المعادلة " s avg = d/t" لإيجاد السرعة المتوسطة للجسم والمعادلة " t = d/s avg " لإيجاد الزمن المستغرق في الحركة.
- لنقل مثلًا أن سيارة قطعت 60 ميلًا في 50 دقيقة لكن ليس لدينا السرعة المتوسطة للحركة، في هذه الحالة سنفصل المتغير s avg في المعادلة الأساسية للمسافة للحصول على s avg = d/t ثم نقسم 60 ميل/50 دقيقة لنحصل على الإجابة 1.2 ميل/دقيقة.
- لاحظ أن الإجابة في مثالنا تعطي السرعة بوحدة غير شائعة (ميل/دقيقة). اضرب في 60دقيقة/ساعة لنحصل على "72 ميل/ساعة" وهي صورة أكثر شيوعًا.
-
لاحظ أن المتغير " s avg " في معادلة المسافة يشير إلى السرعة المتوسطة. يجب أن تفهم أن معادلة المسافة الأساسية تعطي منظورًا مبسطًا لحركة الجسم إذ تفترض أنه تحرك "بسرعة ثابتة"، بعبارة أخرى تفترض أن الجسم يتحرك بمعدل واحد وغير متغير للسرعة. لا زال من الممكن وضع نموذج لحركة الجسم بناءً على هذا الافتراض في مسائل الرياضيات المجردة كالتي تعرض لها في الحالات الأكاديمية، أما في الحياة الواقعية لا يعكس هذا المنظور حركة الأجسام المتحركة في الغالب، والتي يمكن أن تزيد سرعتها وتبطئ وتتوقف وتعكس حركتها بمرور الوقت.
- وصلنا في المثال الموضح أعلاه أن علينا التحرك بسرعة 72 ميل/ساعة لكي نقطع 60 ميلًا في 50 دقيقة، لكن هذا ينطبق فقط إذا تحركنا بنفس السرعة طوال الرحلة. إذا تحركنا بسرعة 80 ميل/ساعة لنصف المسافة وبسرعة 64 ميل/ساعة في النصف الآخر مثلًا فلا زلنا نقطع 60 ميلًا في 50 دقيقة. 72 ميل/ساعة = 60ميل/50 دقيقة=؟؟؟
- عادة ما تكون الحلول المبنية على حساب التفاضل والتكامل والتي تستخدم المشتقات لتحديد سرعة الجسم في العالم الواقعي خيارًا أفضل من معادلة المسافة لأن حدوث تغيرات في السرعة مسألة محتملة.
-
جد إحداثيات النقطتين. ماذا لو احتجنا لإيجاد المسافة بين جسمين ثابتين وليس المسافة التي قطعها جسم متحرك؟ في مثل هذه الحالات لم تكون معادلة السرعة المعدلة والموضحة أعلاه ذات نفع. لحسن الحظ يمكن استخدام معادلة منفصلة للمسافة وهي [٤] X مصدر بحثي لإيجاد المسافة التي يحتلها الخط المستقيم بين النقطتين بسهولة، لكن عليك أن تعرف إحداثيات النقطتين لاستخدام هذه المعادلة. ستكون الإحداثيات مؤلفة من رقمين - x 1 وx 2 - إذا كانت المسافة في بعد واحد (كما في خط الأعداد)، أما إذا كانت في بعدين فستحتاج لقيم (x,y) للنقطتين (x 1 ,y 1 ) و(x 2 ,y 2 )، وأخيرًا ستحتاج إلى قيم (x 1 ,y 1 ,z 1 ) و(x 2 ,y 2 ,z 2 ) للأبعاد الثلاثية.
-
جد المسافة في بعد واحد بطرح قيم إحداثيات النقطتين. حساب المسافة في بعد واحد بين نقطتين بمعرفة قيمة كل منهما سهلٌ للغاية. استخدم المعادلة " d = |x 2 - x 1 |". سنطرح x 1 من x 2 في هذه المعادلة ثم نأخذ القيمة المطلقة للإجابة لإيجاد المسافة بين x 1 and x 2 . عليك استخدام المسافة في بعد واحد حين تقع النقطتان على محور إحداثي أو على خط الأعداد.
- لاحظ أن هذه المعادلة تستخدم القيم المطلقة (رمز "| |"). تعني القيم المطلقة أن ما بين الرموز يصبح موجبًا لو كان سالبًا.
- لنقل مثلًا أننا توقفنا على جانب الطريق السريع المستقيم بشكل مثالي، إذا كان ثمة بلدة صغيرة على بعد 5 أميال أمامنا وأخرى خلفنا بمسافة ميل، كم تبعد المدينتان عن بعضهما البعض؟ سنتمكن من إيجاد d -أي المسافة بين المدينتين- إذا وضعنها المدينة 1 بالنقطة x 1
= 5 والمدينة الثانية بالنقطة x 1
= -1 كما يلي:
- d = |x 2 - x 1 |
- = |-1 - 5|
- = |-6| = 6 miles
-
جد المسافة في بعدين بتطبيق نظرية فيثاغورث. [٥] X مصدر بحثي إن إيجاد المسافة بين نقطتين في فضاء ثنائي الأبعاد أعقد منها في بعد واحد لكنه ليس صعبًا. استخدم المعادلة " d = √((x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2 ". سنطرح إحداثيي x في هذه المعادلة ونحسب مربع الناتج ونطرح إحداثيي y ونحسب مربع الناتج ثم نجمع الناتجين ونأخذ الجذر التربيعي لإيجاد المسافة بين النقطتين. تنجح هذه المعادلة على المستوى ثنائي الأبعاد مثلًالرسوم البيانية x/y.
- تستغل معادلة المسافة في بعدين نظرية فيثاغورث التي تقضي بأن وتر المثلث القائم يساوي الجذر التربيعي لمربع الضلعين الآخرين.
- لنقل مثلًا أن لدينا نقطتان في المستوى x-y: (3,-10) و(11,7) اللتان تمثلان مركز دائرة ونقطة عليها بالترتيب. يمكننا إيجاد طول الخط المستقيم بين هاتين النقطتين كما يلي:
- d = √((x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2 )
- d = √((11 - 3) 2 + (7 - -10) 2 )
- d = √(64 + 289)
- d = √(353) = 18.79
-
جد المسافة في 3 أبعاد بتعديل معادلة البعدين. يوجد إحداثي z بالإضافة إلى x وy في الأبعاد الثلاثية. سنستخدم " d = √((x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2 + (z 2 - z 1 ) 2 )" لإيجاد المسافة بين نقطتين في فضاء ثلاثي الأبعاد. هذه صورة معدلة من معادلة المسافة في بعدين الموضحة أعلاه والتي تأخذ الإحداثي z في الحسبان. اطرح إحداثيي z واحسب المربع وتابع بقية المعادلةو كما شرحنا أعلاه لتمثل إجابتك النهائية المسافة بين نقطين في فضاء ثلاثي الأبعاد.
- لنقل مثلًا أنك رائد فضاء يطفو في الفضاء قرب كويكبين. أحدهما أمامك بمسافة 8 كم وعلى بعد 2 كم يمينًا ولأسفل بمقدار 5 كم والآخر خلفك بمسافة 3 كم وإلى اليسار 3 كم و4 كم لأعلى. إذا مثلنا موضع الكويكبين بالإحداثيات (8,2,-5) و(-3,-3,4) يمكننا إيجاد المسافة بينهما كما يلي:
- d = √((-3 - 8) 2 + (-3 - 2) 2 + (4 - -5) 2 )
- d = √((-11) 2 + (-5) 2 + (9) 2 )
- d = √(121 + 25 + 81)
- d = √(227) = 15.07 km
المصادر
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geometry-pythagorean-theorem/pythagorean-theorem-distance/v/distance-formula
- ↑ http://www.softschools.com/formulas/physics/distance_speed_time_formula/75/
- ↑ https://www.geeksforgeeks.org/time-speed-distance
- ↑ https://www.purplemath.com/modules/distform.htm
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geometry-pythagorean-theorem/pythagorean-theorem-distance/v/example-finding-distance-with-pythagorean-theorem
