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Das Volumen eines Körpers repräsentiert den dreidimensionalen Raum, der von diesem Körper eingenommen wird. [1] X Forschungsquelle Du kannst dir das Volumen eines Körpers auch so vorstellen, wie viel Wasser (oder Luft, Sand, usw.) der Körper aufnehmen könnte, bis er komplett gefüllt ist. Die meist verwendeten Einheiten für das Volumen sind Kubikzentimeter (cm 3 ), Kubikmeter (m 3 ), Kubikinches (in 3 ), und Kubikfuß (ft 3 ). [2] X Forschungsquelle Dieser Artikel zeigt dir, wie du das Volumen von sechs verschiedenen dreidimensionalen Körpern berechnen kannst, die häufig in Schulaufgaben und Tests abgefragt werden, inklusive Würfel, Kugeln und Kegel. Dir fällt vielleicht auf, dass viele der Formeln für die Volumen einige Gemeinsamkeiten haben, wodurch man sie sich leichter einprägen kann. Versuche darauf im Verlauf des Artikels zu achten!
Vorgehensweise
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Erkenne einen Würfel. Ein Würfel ist ein dreidimensionaler Körper, bestehend aus sechs identischen, quadratischen Seitenflächen. [3] X Forschungsquelle In anderen Worten, eine Box, bei der alle Seiten gleich sind.
- Ein typischer Spielwürfel ist ein gutes praktisches Beispiel. Zuckerwürfel und Buchstabenwürfel für Kinder sind meistens auch wirkliche Würfel.
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Lerne die Formel für das Volumen eines Würfels. Da alle Seiten eines Würfels gleich sind, ist die Formel für das Volumen eines Würfels wirklich einfach. Sie lautet V = s 3 , wobei V für das Volumen und s für die Seitenlängen des Würfels steht.
- Um 3 zu berechnen, musst du s einfach dreimal mit sich selbst multiplizieren: s 3 = s * s * s.
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Finde die Seitenlänge eines Würfels. Zur Erinnerung, da alle Seiten eines Würfels die gleiche Länge haben, macht es keinen Unterschied, welche davon du misst.
- Wenn du dir nicht zu 100% sicher bist, ob deine Form ein Würfel ist, miss jede der Seiten und finde heraus, ob sie auch wirklich gleich sind. Wenn nicht, musst du die Methode weiter unten für die Berechnung des Volumens eines Quaders verwenden.
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Setze die Seitenlänge in die Formel V = s 3 ein und berechne das Ergebnis. Wenn du z.B. eine Seitenlänge von 5 cm hast, musst du die Formel folgendermaßen aufschreiben und lösen: V = (5 cm) 3 . 5 cm * 5 cm * 5 cm = 125 cm 3 . Das Volumen deines Würfels ist also 125 cm 3 !
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Achte darauf, dass deine Lösung in Kubikeinheiten angegeben wird. In unserem Beispiel war die Seitenlänge in Zentimeter angegeben und unser Volumen ist deswegen in Kubikzentimeter. Wenn die Seitenlänge des Würfels stattdessen z.B. 3 Inch wäre, wäre das Volumen V = (3 in) 3 , or V = 27in 3 .Werbeanzeige
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Erkenne einen Quader. Ein Quader ist ein dreidimensionaler Körper, bestehend aus sechs rechteckigen Seitenflächen. [4] X Forschungsquelle In anderen Worten, ein Quader ist ein dreidimensionales Rechteck, oder eine Box.
- Ein Würfel ist eigentlich nur ein ganz bestimmter Quader, in dem alle Seitenflächen gleich sind.
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Lerne die Formel für die Berechnung des Volumens eines Quaders. Die Formel für die Berechnung des Volumen eines Quaders ist: Volumen = Länge * Breite * Höhe, oder V = l*b*h. [5] X Forschungsquelle
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Finde die Länge des Quaders. Die Länge ist die längere Seite der Fläche des Quaders, die parallel zum Boden oder der Oberfläche ist, auf der der Quader steht. Die Länge ist vielleicht in einer Zeichnung gegeben oder du musst sie mit einem Lineal oder einem Maßband abmessen.
- Beispiel: Die Länge dieses Quaders ist 4 cm, also l = 4 cm.
- Mach dir nicht unnötig Gedanken darüber, welche Seite die Länge, welche die Breite, usw. ist. Solange du am Ende drei verschiedene Maße hast, ist das Ergebnis das gleiche, egal wie du die Werte bezeichnest.
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Finde die Breite des Quaders. Die Breite ist die kürzere Seite der Fläche des Quaders, die parallel zum Boden oder der Oberfläche ist, auf der der Quader steht. Schaue dir auch hierfür die Beschriftung der Zeichnung an oder miss sie mit einem Lineal oder Maßband ab.
- Beispiel: Die Breite des Quaders ist 3 cm, also b = 3 cm.
- Wenn du den Quader mit einem Lineal oder Maßband abmisst, denke daran, alle Maße in der gleichen Einheit aufzunehmen. Miss nicht eine Seite in Zentimeter und eine in Inch. Alle Maßen müssen dieselbe Einheit haben.
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Finde die Höhe des Quaders. Die Höhe ist der Abstand zwischen dem Boden oder der Oberfläche, auf der der Quader steht, bis zum höchsten Punkt des Quaders. Suche nach dieser Information in deiner Zeichnung oder miss die Höhe mit einem Lineal oder einem Maßband.
- Beispiel: Die Höhe des Quaders ist 6 cm, also h = 6 cm.
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Setze die Maße des Quaders in die Volumenformel ein und löse sie. Denke daran, V = l*b*h.
- In unserem Beispiel, l = 4, b = 3, und h = 6. Also ist V = 4 * 3 * 6, oder 72.
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Achte darauf, dass du deine Lösung in Kubikeinheiten angibst. Da unser Beispielquader in Zentimeter gemessen wurde, ist das Volumen also 72 Kubikzentimeter, oder 72 cm 3 .
- Wenn die Maße unseres Quaders die folgenden wären: Länge = 2 in, Breite = 4 in, und Höhe = 8 in, wäre das Volumen: 2 in * 4 in * 8 in, oder 64in 3 .
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Erkenne einen Zylinder. Ein Zylinder ist ein dreidimensionaler Körper, bestehend aus zwei kreisförmigen Enden und einer einzelnen gekrümmten Seitenfläche, die die beiden verbindet. [6] X Forschungsquelle
- Eine Dose ist ein gutes Beispiel für einen Zylinder, oder eine AA oder AAA Batterie.
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Präge dir die Formel für das Volumen eines Zylinders ein. Um das Volumen eines Zylinders zu berechnen, musst du seine Höhe und den Radius (der Abstand zwischen Zentrum und Rand) der kreisförmigen Grundfläche kennen. Die Formel lautet: V = πr 2 h, wobei V das Volumen ist, r der Radius der Grundflächen, h die Höhe, und π die Konstante pi.
- In manchen geometrischen Aufgaben muss die Lösung in Abhängigkeit zu pi angegeben werden, aber in den meisten Fällen ist es ausreichend, wenn man pi auf 3,14 rundet. Frage deinen Lehrer, welche Methode er oder sie bevorzugt.
- Die Formel für die Berechnung des Volumen eines Zylinders ist eigentlich recht ähnlich zu der eines Quaders: du multiplizierst einfach die Höhe des Körpers mit dem Flächeninhalt der Grundfläche. In einem Quader ist die Grundfläche b*w, für den Zylinder ist sie πr 2 , die Fläche eines Kreises mit Radius r.
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Finde den Radius der Grundfläche. Wenn der Radius in einer Zeichnung gegeben ist, verwende einfach diese Zahl. Wenn statt des Radius der Durchmesser gegeben ist, musst du diesen Wert einfach durch 2 teilen, da d = 2r gilt.
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Miss das Objekt, wenn der Radius nicht gegeben ist. Denke daran, dass die präzise Ausmessung eines kreisförmigen Körpers ein wenig schwierig sein kann. Eine Möglichkeit ist es, die Basisfläche des Zylinders mit einem Lineal oder Maßband zu vermessen. Versuche die Breite des Zylinders so gut es geht an seiner breitesten Stelle zu messen und teile dieses Maß anschließend durch zwei, um den Radius zu bekommen.
- Eine andere Möglichkeit ist es, den Umfang des Zylinders mit einem Maßband oder einer Schnur abzumessen (also die Strecke einmal um ihn herum). Die Schnur kannst du anschließend an ein Lineal anlegen. Dann setze das Maß in diese Formel ein: U (Umfang) = 2πr. Teile den Umfang durch 2π (6.28) und du bekommst den Radius.
- Wenn dein Umfang z.B. 8 cm ist, wäre dein Radius also 1,27 cm.
- Wenn du wirklich präzise Maße benötigst, verwende am besten beide Methoden, um sicherzustellen, dass deine Maße übereinstimmen. Wenn sie es nicht tun, überprüfe sie noch einmal. Die Umfangsmethode führt meist zu den genaueren Ergebnissen.
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Berechne den Flächeninhalt der kreisförmigen Grundfläche. Setze den Radius der Basis in die Formel πr 2 ein. Dann multipliziere den Radius einmal mit sich selbst und das Produkt mit π. Zum Beispiel:
- Wenn der Radius des Kreises gleich 4 Zentimeter ist, ist der Flächeninhalt der Grundfläche: A = π4 2 .
- 4 2 = 4 * 4, oder 16. 16 * π (3,14) = 50,24 cm 2
- Wenn du statt des Radius den Durchmesser der Grundfläche hast, denke daran, dass d = 2r ist. Du musst den Durchmesser einfach nur durch 2 teilen und bekommst den Radius.
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Finde die Höhe des Zylinders. Das ist einfach der Abstand zwischen den beiden kreisförmigen Grundflächen, oder der Abstand des Bodens des Zylinders zu seinem höchsten Punkt. Finde die Beschriftung in deiner Zeichnung, die dir die Höhe des Zylinders angibt, oder miss die Höhe mit einem Lineal oder einem Maßband ab.
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Multipliziere den Flächeninhalt der Grundfläche mit der Höhe des Zylinders, um dein Volumen zu bekommen. Du kannst dir einen Schritt sparen und einfach alle Maße des Zylinders in die Formel V = πr 2 h einsetzen. In unserem Beispiel mit einem Radius von 4 cm und einer Höhe von 10 cm:
- V = π4 2 10
- π4 2 = 50,24
- 50,24 * 10 = 502,4
- V = 502,4
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Achte darauf, dass du deine Lösung in Kubikeinheiten angibst. Unser Beispielzylinder ist in Zentimeter gemessen, also muss das Volumen in Kubikzentimeter angegeben werden:V = 502,4 cm 3 . Wenn unsere Maße in Inch angegeben wären, müsste das Volumen in Kubikinch angegeben werden (in 3 ).Werbeanzeige
Methode 4
Methode 4 von 6:
Das Volumen einer regelmäßigen (reguläre) Pyramide berechnen
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Erkenne eine regelmäßige Pyramide. Eine Pyramide ist ein dreidimensionaler Körper, bestehend aus einem Polygon (Vieleck) als Grundfläche und Seitenflächen, die zu einem Scheitelpunkt zusammenlaufen (der Spitze der Pyramide). [7] X Forschungsquelle Eine regelmäßige Pyramide ist eine Pyramide, deren Grundfläche ein regelmäßiges Polygon ist. Das bedeutet, dass alle Seiten des Polygons gleichlang und alle Winkel gleichgroß sind. [8] X Forschungsquelle
- Wenn wir uns eine Pyramide vorstellen, denken wir an eine quadratische Grundfläche, deren Seitenflächen zu einer Spitze zusammenlaufen. Die Grundfläche einer Pyramide kann aber 5, 6 oder sogar 100 Seiten haben!
- Eine Pyramide mit einer kreisförmigen Grundfläche nennt man einen Kegel. Diesen besprechen wir im nächsten Abschnitt.
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Lerne die Formel für das Volumen einer regelmäßigen Pyramide. Die Formel für das Volumen einer regelmäßigen Pyramide ist V = 1/3Ah, wobei A der Inhalt der Grundfläche (das Polygon unten) ist und h die Höhe der Pyramide, oder der vertikale Abstand zwischen Grundfläche und Spitze.
- Diese Volumenformel gilt ebenfalls für gerade Pyramiden, in denen die Spitze genau über dem Zentrum der Grundfläche liegt, und für schiefe Pyramiden, in denen die Spitze nicht zentriert ist.
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Berechne den Inhalt der Grundfläche. Diese Formel hängt von der Anzahl der Seiten ab, die die Grundfläche der Pyramide hat. In unserer Zeichnung hat die Pyramide eine quadratische Grundfläche und die Seiten sind 6 cm (in) lang. Zur Erinnerung, die Formel für den Flächeninhalt einer quadratischen Fläche ist: A = s 2 ; mit s als die Seitenlängen. Also ist für diese Pyramide der Flächeninhalt der Grundfläche: (6 cm) 2 , oder 36cm 2 .
- Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks ist: A = 1/2bh, mit b als die Basis des Dreiecks und h als die Höhe.
- Man kann den Flächeninhalt eines beliebigen Polygons mit der Formel A = 1/2pa berechnen, wobei A die Fläche, p der Umfang der Form und a das Apothema, oder das Lot vom Zentrum des Kreises der Form, zu einem Mittelpunkt einer beliebigen seiner Seiten ist. Dabei handelt es sich um eine recht komplizierte Berechnung, die weit über den Umfang dieses Artikels hinausgeht, aber du kannst dir diesen Artikel dazu durchlesen, um mehr darüber zu erfahren. Oder du machst dir das Leben einfach und suchst online nach einem „regelmäßigen Polygon Rechner“. [9] X Forschungsquelle
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Finde die Höhe der Pyramide. In den meisten Fällen ist dieser Wert in der Zeichnung angegeben. In unserem Beispiel ist die Höhe der Pyramide 10 Zentimeter.
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Multipliziere den Flächeninhalt der Pyramide mit deren Höhe und teile das Ergebnis durch 3, um das Volumen zu erhalten. Zur Erinnerung, die Formel für die Berechnung des Volumens ist V = 1/3Ah. In unserer Beispielpyramide haben wir eine Grundfläche von 36 und eine Höhe von 10. Das Volumen ist also: 36 * 10 * 1/3, oder 120.
- Wenn wir eine andere Pyramide hätten, mit einer fünfeckigen Grundfläche und dem Flächeninhalt 26 und der Höhe 8, wäre das Volumen: 1/3 * 26 * 8 = 69,33.
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Achte darauf, dass du deine Lösung in Kubikeinheiten angibst. Die Maße unserer Beispielpyramide waren in Zentimeter angegeben, also muss das Volumen in Kubikzentimeter angegeben werden. Wenn unsere Maße in Inch angegeben wären, wäre unsere Volumen stattdessen in Kubikinch (in 3 ) .Werbeanzeige
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Erkenne die Eigenschaften eines Kegels. Ein Kegel ist ein dreidimensionaler Körper, bestehend aus einer kreisförmigen Grundfläche und einem einzelnen Scheitelpunkt (die Spitze des Kegels). Oder anders ausgedrückt, eine spezielle Pyramide mit einer kreisförmigen Grundfläche. [10] X Forschungsquelle
- Wenn der Scheitelpunkt des Kegels genau über dem Zentrum der kreisförmigen Grundfläche liegt, nennt man den Kegel einen „geraden Kegel“. Wenn er nicht genau über dem Zentrum liegt, wird der Kegel „schiefer Kegel“ genannt. Glücklicherweise ist die Formel zur Berechnung des Volumen eines Kegels dieselbe, ganz egal, ob es sich dabei um einen geraden oder einen schiefen Kegel handelt.
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Lerne die Formel für die Berechnung des Volumen eines Kegels. Die Formel lautet V = 1/3πr 2 h, wobei r der Radius der kreisförmigen Grundfläche, h die Höhe des Kegels und π die Konstante pi ist, welche zu 3,14 gerundet werden kann.
- Der πr 2 Teil der Formel bezieht sich auf den Flächeninhalt der kreisförmige Grundfläche des Kegels. Damit ist die Formel für das Volumen eines Kegels 1/3Ah, ganz wie die Formel für das Volumen einer Pyramide aus der vorhergehenden Methode!
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Berechne den Flächeninhalt der kreisförmigen Grundfläche des Kegels. Dazu musst du den Radius der Grundfläche kennen, welcher auf deiner Zeichnung aufgeführt sein sollte. Wenn du stattdessen den Durchmesser gegeben hast, teile diese Zahl einfach durch 2, da der Durchmesser einfach nur der doppelte Radius ist (d = 2r). Dann setze den Radius in die Formel A = πr 2 , um den Flächeninhalt zu berechnen.
- In unserem Beispiel ist der Radius der kreisförmigen Grundfläche 3 cm. Wenn wir diesen Wert in die Formel einsetzen, bekommen wir: A = π3 2 .
- 3 2 = 3 *3, oder 9, also A = 9π.
- A = 28,27cm 2
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Finde die Höhe des Kegels. Das ist der vertikale Abstand zwischen der Grundfläche des Kegels und dessen Spitze. In unserem Beispiel ist die Höhe des Kegels 5 cm.
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Multipliziere die Höhe des Kegels mit dem Flächeninhalt der Grundfläche. In unserem Beispiel ist der Flächeninhalt der Grundfläche gleich 28,27cm 2 und die Höhe ist 5cm, also A*h = 28,27 * 5 = 141,35.
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Jetzt multipliziere das Ergebnis mit 1/3 (oder teile einfach durch 3), um das Volumen des Kegels zu finden. Im vorhergehenden Schritt haben wir eigentlich das Volumen des Zylinders berechnet, wenn die Wände des Kegels direkt in einem weiteren Kreis enden würden, anstatt in einem einzelnen Punkt. Wenn wir nun durch 3 teilen, bekommen wir das Volumen von nur dem Kegel alleine.
- In unserem Beispiel ist 141,35 * 1/3 = 47,12 das Volumen des Kegels.
- Um es noch einmal deutlich zu machen, 1/3π3 2 5 = 47,12.
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Achte darauf, dass du deine Lösung in Kubikeinheiten angibst. Unser Kegel wurde in Zentimeter bemaßt, also muss sein Volumen in Kubikzentimeter angegeben werden: 47,12cm 3 .Werbeanzeige
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Erkenne eine Kugel. Eine Kugel ist ein perfekt runder, dreidimensionaler Körper, in dem jeder Punkt auf der Oberfläche genau den gleichen Abstand zum Zentrum der Kugel hat. In anderen Worten, eine Kugel ist ein ballförmiges Objekt. [11] X Forschungsquelle
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Lerne die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel. Die Formel für das Volumen einer Kugel ist: V = 4/3πr 3 (ausgesprochen: „Vierdrittel Mal pi r hoch drei“), wobei r der Radius der Kugel und π die Konstante pi (etwa 3,14) ist. [12] X Forschungsquelle
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Finde den Radius der Kugel. Wenn der Radius der Kugel in der Zeichnung angegeben ist, musst du ihn nur optisch finden. Wenn der Durchmesser gegeben ist, musst du die Zahl durch 2 teilen, um den Radius zu bekommen. In unserem Beispiel ist der Radius der Kugel 3 Zentimeter.
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Miss die Kugel, wenn der Radius nicht gegeben ist. Wenn du ein kugelförmiges Objekt (wie z.B. einen Tennisball) vermessen musst, um den Radius zu finden, suche dir zunächst eine Schnur, die lang genug ist, um das Objekt einmal zu umfassen. Wickel die Schnur an seinem weitesten Punkt einmal um das Objekt, und markiere die Punkte, an denen die Schnur sich selbst wieder berührt. Dann miss die Schnur mit einem Lineal ab, um den Umfang des Objekts zu bekommen. Teile diesen Wert durch 2π, oder 6,28, und du hast den Radius der Kugel.
- Wenn du z.B. einen Ball mit einem Umfang von 18 Zentimetern hast, teile diesen Wert durch 6,28 und du bekommst einen Radius von 2,87 Zentimeter.
- Ein kugelförmiges Objekt auszumessen kann ein wenig schwierig sein, also solltest du mindestens 3 verschiedene Messungen machen. Nimm aus deinen Messungen den Durchschnittswert (zähle alle zusammen und teile sie durch die Anzahl der Messungen), um einen möglichst genauen Wert zu bekommen.
- Wenn deine drei Messungen z.B. 18 Zentimeter, 17,75 Zentimeter und 18,2 Zentimeter waren, würdest du diese drei Werte zusammenzählen (18 + 17,5 + 18,2 = 53,95) und das Ergebnis durch 3 teilen (53,95/3 = 17,98). Verwende diesen Durchschnittswert für die Berechnung deines Volumens.
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Nimm den Radius hoch drei (berechne die dritte Potenz), um r 3 zu erhalten. Eine Zahl hoch drei zu nehmen bedeutet einfach, sie drei Mal mit sich selbst zu multiplizieren, also r 3 = r * r * r. In unserem Beispiel ist r = 3, also r 3 = 3 * 3 * 3, oder 27.
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Jetzt multipliziere deine Lösung mit 4/3. Du kannst hierfür den Taschenrechner verwenden oder die Multiplikation per Hand durchführen und den Bruch vereinfachen. In unserem Beispiel müssen wir 27 mit 4/3 multiplizieren und bekommen als Ergebnis 108/3, oder 36.
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Multipliziere das Ergebnis mit π, um das Volumen der Kugel zu erhalten. Der letzte Schritt für die Berechnung des Volumens ist einfach das bisherige Ergebnis mit π zu multiplizieren. Die Konstante π auf zwei Dezimalstellen zu runden ist normalerweise ausreichend für die meisten Mathe-Aufgaben (außer dein Lehrer gibt etwas anderes an), also multipliziere deine bisherige Lösung mit 3,14 und du hast deine Endlösung.
- In unserem Beispiel, 36 * 3,14 = 113,09.
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Drücke das Ergebnis in Kubikeinheiten aus. In unserem Beispiel sind die Maße in Zentimeter gegeben, also ist unsere Lösung eigentlich V = 113,09 Kubikzentimeter (113,09 cm 3 ).Werbeanzeige
Referenzen
- ↑ http://www.mathsisfun.com/definitions/volume.html
- ↑ http://www.mathsisfun.com/measure/us-standard-volume.html
- ↑ https://www.mathsisfun.com/definitions/cube.html
- ↑ http://www.algebralab.org/lessons/lesson.aspx?file=Geometry_3Dprisms.xml
- ↑ http://www.studyzone.org/mtestprep/math8/g/rectvolumel.cfm
- ↑ https://www.mathsisfun.com/definitions/cylinder.html
- ↑ http://www.mathwords.com/p/pyramid.htm
- ↑ http://www.mathwords.com/r/regular_pyramid.htm
- ↑ http://www.calculatorsoup.com/calculators/geometry-plane/polygon.php
Über dieses wikiHow
Zusammenfassung
X
Verwende, um das Volumen eines Würfels zu berechnen, die Formel v = s^3, wobei s die Länge der Seiten des Würfels ist. Um das Volumen eines Zylinders zu berechnen, verwende die Formel v = hπr^2, wobei r der Radius der Basis ist, h die Höhe und π ist Pi. Verwende, wenn du das Volumen eines Quaders berechnen möchtest, die Formel v = lbh, wobei l die Länge ist, b die Breite und h die Höhe.
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