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Este es un artículo acerca de cómo factorizar un polinomio de tercer grado. Vamos a explorar cómo factorizar utilizando la agrupación, así como el uso de los factores de la expresión libre.
Pasos
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Agrupa el polinomio en dos secciones. Agrupar el polinomio en dos secciones te permitirá atacar cada sección por separado. [1] X Fuente de investigación
- Digamos que estamos trabajando con el polinomio x 3 + 3x 2 - 6x - 18 = 0. Agrupémoslo en (x 3 + 3x 2 ) y (- 6x - 18).
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Encuentra lo que es común en cada sección.
- En cuanto a (x 3 + 3x 2 ), podemos ver que x 2 es común.
- En cuanto a (- 6x - 18), podemos ver que -6 es común.
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Factoriza los puntos en común de los dos términos.
- Al factorizar x 2 de la primera sección , obtenemos x 2 (x + 3).
- Al factorizar -6 de la segunda sección, obtenemos -6 (x + 3).
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Si cada uno de los dos términos contiene el mismo factor, se pueden combinar los factores en conjunto. [2] X Fuente de investigación
- Esto nos da (x + 3)(x 2 - 6).
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Encuentra la solución mirando las raíces. Si tienes una x 2 en tus raíces , recuerda que ambos números negativo y positivo cumplen esa ecuación. [3] X Fuente de investigación
- Las soluciones es 3 y √ 6.
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Vuelve a ordenar la expresión de manera que esté en forma de aX 3 +bX 2 +cX +d. [4] X Fuente de investigación
- Supongamos que tenemos la ecuación: x 3 - 4x 2 - 7x + 10 = 0.
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Encuentra la totalidad de los factores de "d". La constante "d" va a ser el número que no tiene variables, como la "x", al lado de ella.
- Los factores son los números que pueden multiplicarse en conjunto para obtener otro número. En nuestro caso, los factores de 10, o "d", son: 1, 2, 5, y 10.
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Encuentra un factor que haga que el polinomio sea igual a cero. Queremos determinar qué factor hace que el polinomio sea igual a cero cuando sustituimos el factor para cada "x" en la ecuación.
- Vamos a empezar con nuestro primer factor, 1. Vamos a sustituir el "1" para cada "x" en la ecuación:
(1) 3 - 4(1) 2 - 7(1) + 10 = 0. - Esto nos da: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.
- Debido a que 0 = 0 es una declaración verdadera, sabemos que x = 1 es una solución.
- Vamos a empezar con nuestro primer factor, 1. Vamos a sustituir el "1" para cada "x" en la ecuación:
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Reorganiza un poco. Si x = 1, podemos reorganizar el estado para verse un poco diferente sin cambiar su significado.
- "X = 1" es lo mismo que "x - 1 = 0" o "(x - 1)". Hemos restado un "1" de cada lado de la ecuación.
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Factoriza la raíz fuera del resto de la ecuación. "(X - 1)" es nuestra raíz. Vamos a ver si podemos factorizarlo del resto de la ecuación. Vamos a tomar un polinomio a la vez.
- ¿Podemos factorizar (x - 1) y x 3 ? No, no se puede. Sabemos que puede pedir prestado un -x 2 de la segunda variable, entonces lo podemos factorizar: x 2 (x - 1) = x 3 - x 2 .
- ¿Podemos factorizar (x - 1) con lo que queda de nuestra segunda variable? No, otra vez no podemos. Tenemos que pedir prestado otro poco de la tercera variable. Tenemos que pedir prestado un 3x de -7x. Esto nos da -3x(x - 1) = -3x 2 + 3x.
- Como tomamos un 3x de -7x, nuestra tercera variable es ahora -10x y nuestra constante es 10. ¿Podemos factorizar esto? ¡Podemos! -10(x - 1) = -10x + 10.
- Lo que hicimos fue reorganizar las variables para que pudiéramos factorizar (x - 1) de la ecuación completa. Nuestra ecuación reordenada se parece a esto: x 3 - x 2 - 3x 2 + 3x - 10x + 10 = 0, pero sigue siendo lo mismo que x 3 - 4x 2 - 7x + 10 = 0.
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A continuación, sustituye por los factores de la expresión libre. Mira los números que factorizamos utilizando el (x - 1) en el paso 5:
- x 2 (x - 1) - 3x(x - 1) - 10(x - 1) = 0. Podemos arreglar esto para que sea mucho más fácil de factorizar una vez más: (x - 1)(x 2 - 3x - 10) = 0.
- Solo estamos tratando de factorizar (x 2 - 3x - 10) aquí. Esto se factoriza en (x + 2)(x - 5).
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Tus soluciones serán las raíces factorizadas. Puedes comprobar si las soluciones funcionan realmente conectando cada una, individualmente, en la ecuación original.
- (x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0. Esto nos da soluciones de 1, -2 y 5.
- Conecta -2 en la ecuación: (-2) 3 - 4(-2) 2 - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
- Conecta 5 en la ecuación: (5) 3 - 4(5) 2 - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.
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Consejos
- El polinomio cúbico es un producto de un polinomio de primer grado o el producto de un polinomio de primer grado y de otro polinomio de segundo grado sin factorizar. En este último caso utilizamos la división larga después de encontrar el polinomio de primer grado para obtener el polinomio de segundo grado.
- No hay polinomios cúbicos sin factorizar sobre los números reales porque cada cubo debe tener una raíz real. Los cubos como x^3 + x + 1 que tienen una raíz real irracional no se pueden factorizar en polinomios con coeficientes enteros o racionales. Mientras que puede ser factorizado con la fórmula cúbica, es irreducible como un polinomio entero . [5] X Fuente de investigación
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Referencias
- ↑ http://web.math.ucsb.edu/~vtkala/2016/S/4B/FactoringCubicPolynomials.pdf
- ↑ https://sciencing.com/solve-cubic-polynomials-2409.html
- ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/polynomials-solving.html
- ↑ https://www.dummies.com/education/math/pre-calculus/factoring-four-or-more-terms-by-grouping/
- ↑ https://kipkis.com/Factor_a_Cubic_Polynomial
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