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Cómo reducir una matriz a la forma escalonada

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Coescrito por Mario Banuelos, PhD

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Una matriz en su forma escalonada es una herramienta muy útil con muchas aplicaciones, por ejemplo, interpretar geométricamente diferentes vectores, resolver sistemas de ecuaciones lineales y encontrar diversas propiedades como el determinante de la matriz.

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1
Aprende qué es la forma escalonada. La forma escalonada es aquella en la cual el primer dato (que no sea cero) de cada fila tiene solo ceros debajo de él. Estas entradas se conocen como pivotes y un análisis de la relación entre los pivotes y sus ubicaciones en una matriz puede decir muchas cosas acerca de dicha matriz. A continuación verás un ejemplo de matriz en forma escalonada.
- ${\begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&3\\0&0&5\end{pmatrix}}$
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2
Aprende a realizar las principales operaciones con filas. Existen tres operaciones que puedes hacer con las filas de una matriz.
- intercambio de filas
- multiplicación escalar (puedes reemplazar una fila por cualquier múltiplo escalar de dicha fila que no sea cero)
- suma de filas (puedes reemplazar una fila por sí misma más el múltiplo de otra)
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3
Empieza por escribir la matriz que vas a reducir a la forma escalonada.
- ${\begin{pmatrix}1&1&2\\1&2&3\\3&4&5\end{pmatrix}}$
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4
Identifica el primer pivote de la matriz. Los pivotes son esenciales para comprender el proceso de reducción de filas. Cuando reduces una matriz a la forma escalonada, los datos que están debajo de los pivotes deben ser siempre ceros.
- En el caso de esta matriz, el primer pivote es simplemente el dato de la esquina superior izquierda. En general, esto será así salvo que ese dato sea cero. En ese caso, deberás intercambiar las filas hasta que el dato de la esquina superior izquierdo sea distinto de cero.
- Dada la naturaleza de estas matrices, solo puede haber un pivote por columna y por fila. Al seleccionar el dato de la esquina superior izquierda como primer pivote, ninguno de los otros datos de esa fila o columna puede convertirse en pivote.
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5
Realiza operaciones con las filas de la matriz hasta obtener ceros debajo del primer pivote.
- En la matriz, el objetivo es que los datos que están debajo del primer pivote sean ceros. Reemplaza la segunda fila por sí misma menos la primera fila. Reemplaza la tercera fila por sí misma menos la primera fila por tres. Estas reducciones de fila se pueden expresar en forma abreviada como $R_{{2}}\to R_{{2}}-R_{{1}}$ y $R_{{3}}\to R_{{3}}-3R_{{1}}.$
- ${\begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&1\\0&1&-1\end{pmatrix}}$
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El segundo pivote puede ser el dato del medio o el dato central inferior de la matriz, pero no el central superior porque esa fila ya contiene un pivote. En este caso se seleccionará el dato del medio como segundo pivote, pero recuerda que también podrías seleccionar el inferior central.
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7
Realiza operaciones con las filas de la matriz hasta obtener ceros debajo del segundo pivote.
- $R_{{3}}\to R_{{3}}-R_{{2}}$
- ${\begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&1\\0&0&-2\end{pmatrix}}$
- Esta matriz ahora está en la forma escalonada.
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En general, solo tienes que ir identificando los pivotes y reduciendo las filas de modo que los datos que están debajo de estos sean ceros.

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Consejos

Puedes reducir matrices de cualquier tamaño a la forma escalonada, independientemente de si son cuadradas o rectangulares.

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Acerca de este wikiHow

Coescrito por:

Mario Banuelos, PhD

Profesor asistente de matemáticas

Este artículo fue coescrito por Mario Banuelos, PhD . Mario Banuelos es un profesor asistente de matemáticas en la Universidad Estatal de California, Fresno. Con más de ocho años de experiencia en enseñanza, Mario se especializa en biología matemática, optimización, modelos estadísticos para la evolución del genoma y ciencia de datos. Tiene una licenciatura en matemáticas de la Universidad Estatal de California, Fresno, además de un doctorado en matemáticas aplicadas de la Universidad de California, Merced. Ha enseñado tanto a nivel secundario como universitario. Este artículo ha sido visto 23 218 veces.

Categorías: Matemáticas

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