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Una matriz es una forma muy útil de representar números en un formato de bloque, [1] X Fuente de investigación el cual puedes utilizar para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Si únicamente tienes dos variables, probablemente deberás utilizar un método distinto. Consulta el artículo Cómo resolver sistemas de ecuaciones para tener ejemplos de otros métodos de resolución. Al utilizar combinaciones repetidas de multiplicación y adición, podrás llegar sistemáticamente a una solución.
Pasos
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Asegúrate de tener datos suficientes. Si quieres conseguir una solución única para cada variable en un sistema lineal utilizando una matriz, deberás tener tantas ecuaciones como la cantidad de variables que deseas resolver. Por ejemplo, con las variables x, y, z, necesitarías tres ecuaciones. Si por el contrario tienes cuatro variables, entonces necesitarías cuatro ecuaciones.
- Si tienes menos ecuaciones que variables, podrás aprender información limitante sobre las variables (tales como x = 3y y y = 2z), pero no conseguir una solución precisa. Para propósitos de este artículo, se buscará conseguir una única solución.
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Escribe las ecuaciones en forma estándar. Antes de que puedas transferir información de las ecuaciones en forma de matriz, primero escribe cada una en forma estándar. La forma estándar de una ecuación lineal es Ax+By+Cz=D, donde las letras mayúsculas son los coeficientes (números), y el último número (en este ejemplo, D) se encuentra a la derecha del signo igual.
- Si tienes más variables, simplemente continuarás la línea el tiempo necesario. Por ejemplo, si quieres resolver un sistema con seis variables, la forma estándar se vería de la siguiente forma: Au+Bv+Cw+Dx+Ey+Fz =G. Para propósitos de este artículo, nos enfocaremos en sistemas con solo tres variables. Resolver un sistema más grande es exactamente lo mismo, pero requiere más tiempo y pasos.
- Ten en cuenta que, en la forma estándar, las operaciones entre los términos siempre son sumas. Si la ecuación tiene una resta en lugar de una suma, deberás enfocarte en ella más adelante haciendo que su coeficiente sea negativo. Si te sirve como recordatorio, puedes reescribir la ecuación, y convertir la operación de suma y el coeficiente en negativos. Por ejemplo, puedes reescribir la ecuación de la siguiente manera: 3x-2y+4z=1 as 3x+(-2y)+4z=1.
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Transfiere los números del sistema de ecuaciones a una matriz. Una matriz es un grupo de números organizados en un formato de bloque, el cual nos ayudará a resolver el sistema. [2] X Fuente de investigación En realidad, incluye los mismos datos que las ecuaciones mismas, pero los presenta en un formato más sencillo. Si quieres crear una matriz a partir de tus ecuaciones en la forma estándar, simplemente copia los coeficientes y el resultado de cada una de ellas en una sola fila, apilando estas una encima de la otra.
- Por ejemplo, supongamos que tienes un sistema que se compone de tres ecuaciones: 3x+y-z=9, 2x-2y+z=-3 y x+y+z=7. La fila superior de la matriz se compondrá de los números 3,1,-1,9, ya que estos son los coeficientes y la solución de la primera ecuación. Ten en cuenta que se asume que cualquier variable que no tenga un coeficiente específico tendrá un coeficiente de 1. La segunda fila de la matriz será 2,-2,1,-3 mientras que la tercera, 1,1,1,7.
- Asegúrate de alinear los coeficientes “x” en la primera columna, los coeficientes “y” en la segunda y los coeficientes “z” en la tercera, así como los términos de solución en la cuarta. AL terminar de trabajar con la matriz, estas columnas serán importantes para escribir la solución.
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Dibuja un corchete grande alrededor de toda la matriz. Por costumbre, una matriz está designada con un par de corchetes, [ ], colocados alrededor de todo el bloque de números. Los corchetes no están considerados de ninguna forma dentro de la solución, pero sí indican que trabajas con matrices. Una matriz puede componerse de cualquier cantidad de filas y columnas. En este artículo, utilizaremos los corchetes alrededor de los términos en una fila para ayudar a unirlos.
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Emplea un simbolismo común. Al trabajar con matrices, es habitual referirse a las filas con la abreviatura F y a las columnas con la abreviatura C. Puedes utilizar números junto con estas letras para indicar una fila o columna en específico. Por ejemplo, para indicar la fila 1 de una matriz, puedes escribir F1. La fila 2 sería F2.
- Puedes indicar cualquier posición específica en una matriz utilizando una combinación de F y C. Por ejemplo, para señalar el término en la segunda fila, tercera columna, podrías nombrarlo F2C3.
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Parte 2
Parte 2 de 4:
Aprender las operaciones para resolver un sistema con una matriz
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Reconoce la forma de la matriz de solución. Antes de comenzar a resolver el sistema de ecuaciones, debes reconocer lo que harás con la matriz. En este momento, la matriz se verá de la siguiente forma:
- 3 1 -1 9
- 2 -2 1 -3
- 1 1 1 7
- Deberás trabajar con algunas operaciones básicas para crear la “matriz de solución”. Esta se verá de la siguiente forma [3] X Fuente de investigación :
- 1 0 0 x
- 0 1 0 y
- 0 0 1 z
- Ten en cuenta que la matriz se compone de unos en una línea diagonal con ceros en los demás espacios, salvo en la cuarta columna. Los números en dicha columna será la solución para las variables x, y, z.
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Utiliza la multiplicación escalar. La primera herramienta con la que cuentas para resolver un sistema empleando una matriz es la multiplicación escalar. Esta es simplemente un término que significa que multiplicarás los elementos en una fila de la matriz por un número constante (no una variable). Al utilizar la multiplicación escalar, recuerda multiplicar cada término de toda la fila por cualquier número que elijas. Si lo olvidas y solo multiplicas el primer término, arruinarás toda la solución. No obstante, no es necesario que multipliques toda la matriz al mismo tiempo. Solo trabaja en una fila a la vez utilizando la multiplicación escalar. [4] X Fuente de investigación
- Es habitual utilizar fracciones en una multiplicación escalar, porque a menudo quieres crear es fila diagonal de unos. Acostúmbrate a trabajar con fracciones. Para la mayoría de los pasos en la resolución de la matriz, te será más sencillo poder escribir las fracciones en forma incorrecta y luego convertirlas a números mixtos para la solución final. Por lo tanto, te será más fácil trabajar con el número 1 2/3 si lo escribes como 5/3.
- Por ejemplo, la primera fila (F1) de nuestro ejemplo comienza con los términos [3,1,-1,9]. La matriz de solución debe tener un 1 en la primera posición de la primera fila. Para “cambiar” el 3 en un 1, podemos multiplicar toda la fila por 1/3. Esto creará la nueva F1 de [1,1/3,-1/3,3].
- Ten cuidado de mantener los signos negativos donde pertenecen.
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Utiliza sumas o restas de filas. La segunda herramienta que puedes utilizar es sumar o restar dos filas de la matriz. Para crear los términos de 0 en la matriz de solución, necesitarás sumar o restar números que te den como resultado 0. Por ejemplo, si F1 de una matriz es [1,4,3,2] y F2 es [1,3,5,8], puedes restar la primera fila de la segunda y crear la nueva fila de [0,-1,2,6], debido a que 1-1=0 (primera columna), 3-4=-1 (segunda columna), 5-3=2 (tercera columna) y 8-2=6 (cuarta columna). Al sumar o restar filas, reescribe el resultado nuevo en el lugar de la fila con la que comenzaste. En este caso, extraeríamos la fila 2 e insertaríamos la nueva fila [0,-1,2,6].
- Puedes utilizar algunas abreviaturas e indicar esta operación como F2-F1=[0,-1,2,6].
- Reconoce que las sumas y restas son simplemente formas opuestas de la misma operación. Puedes verlo como sumar dos números o restar los opuestos. Por ejemplo, si comienzas con la ecuación simple 3-3=0, puedes considerar esto en lugar de como una suma de 3+(-3)=0. El resultado será el mismo. Parece una operación básica, pero a veces resulta más fácil pensar en un problema de una forma o de otra. Solo realiza un seguimiento de los signos negativos.
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Combina la suma de filas con la multiplicación escalar en un solo paso. No puedes esperar que los términos siempre coincidan, por lo que puedes utilizar una suma o resta simple para crear ceros en la matriz. Con frecuencia, necesitarás sumar (o restar) un múltiplo de otra fila. Para hacerlo, efectúa la multiplicación escalar primero y luego suma ese resultado a la fila de destino que quieres cambiar.
- Supongamos que tienes una fila 1 de [1,1,2,6] y una fila 2 de [2,3,1,1]. Quieres crear un término 0 en la primera columna de F2, es decir, quieres cambiar el 2 en un 0. Para hacerlo, necesitas restar un 2. Puede salir un 2 multiplicando primero la Fila 1 por la multiplicación escalar 2 y luego restarla de la segunda fila. En resumen, considéralo como una operación F2-2*F1. Primero multiplica F1 por 2 para que salga [2,2,4,12] y luego resta esto de F2 para que salga [(2-2),(3-2),(1-4),(1-12)]. Simplifica el resultado y la nueva F2 será [0,1,-3,-11].
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Copia las filas que no has cambiado mientras realizas las operaciones. A medida que trabajas con la matriz, cambiarás una sola fila a la vez, ya sea mediante la multiplicación escalar, la suma y resta de filas, o una combinación. Al cambiar una fila de la matriz, asegúrate de copiar las otras en su forma original.
- Un error común se produce al realizar una multiplicación combinada y una suma en un movimiento. Por ejemplo, supongamos que necesitas restar el doble de F1 de F2. Al multiplicar F1 por 2 para hacer este paso, recuerda que no cambiarás F1 en la matriz. Solo realizarás la multiplicación para cambiar F2. Primero copia F1 en su forma original y luego haz el cambio a F2.
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Efectúa las operaciones desde arriba hacia abajo primero. Para resolver el sistema, deberás trabajar en un patrón muy organizado, básicamente “resolviendo” un término de la matriz a la vez. El orden para una matriz de tres variables comenzará de la siguiente manera:
- 1. Crea un 1 en la primera fila, primera columna (F1C1).
- 2. Crea un 0 en la segunda fila, primera columna (F2C1).
- 3. Crea un 1 en la segunda fila, segunda columna (F2C2).
- 4. Crea un 0 en la tercera fila, primera columna (F3C1).
- 5. Crea un 0 en la tercera fila, segunda columna (F3C2).
- 6. Crea un 1 en la tercera fila, tercera columna (F3C3).
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Ahora vuelve a efectuar las operaciones desde abajo hacia arriba. En este punto, si has realizado los pasos correctamente, estás a medio camino de conseguir la solución. Debes tener la línea diagonal de unos, con ceros debajo. Los números en la cuarta columna son realmente irrelevantes en este punto. Ahora deberás trabajar de abajo hacia arriba de la siguiente manera:
- Crea un 0 en la segunda fila, tercera columna (F2C3).
- Crea un 0 en la primera fila, tercera columna (F1C3).
- Crea un 0 en la primera fila, segunda columna (F1C2).
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Verifica que has creado la matriz de solución. Si hiciste las operaciones correctamente, habrás creado la matriz de solución con unos en una línea diagonal de F1C1, F2C2, F3C3 y ceros en las otras posiciones de las primeras tres columnas. Los números en la cuarta columna son las soluciones del sistema lineal.Anuncio
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Comienza con un sistema de muestra de ecuaciones lineales. Para practicar estos pasos, comienza con la muestra empleada previamente: 3x+y-z=9, 2x-2y+z=-3, y x+y+z=7. Al escribir esto en una matriz, tendrás F1= [3,1,-1,9], F2=[2,-2,1,-3] y F3=[1,1,1,7].
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Crea un uno en la primera posición F1C1. Ten en cuenta que F1 actualmente comienza con un 3. Necesitas convertirla en un 1. Para hacerlo, utiliza la multiplicación escalar multiplicando los cuatro términos de F1 por 1/3. En resumen, puedes anotar esto como F1*1/3. Te dará un nuevo resultado para F1 como F1=[1,1/3,-1/3,3]. Copia F2 y F2, sin cambios, como F2=[2,-2,1,-3] y F3=[1,1,1,7].
- Ten en cuenta que la multiplicación y la división son simplemente funciones inversas entre sí. Podemos decir que multiplicamos por 1/3 o dividimos entre 3, y el resultado será el mismo.
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Crea un 0 en la segunda fila, primera columna (F2C1). Actualmente, F2=[2,-2,1,-3]. Para acercarte a la matriz de solución, deberás cambiar el primer término de un 2 a un 0. Puedes hacer esto restando el doble del valor de F1, ya que F1 comienza con un 1. En resumen, la operación será F2-2*F1. Recuerda que no deberás cambiar F1, sino más bien trabajar simplemente con esa fila. Por consiguiente, copia F1 como F1=[1,1/3,-1/3,3]. Luego, cuando dupliques cada término de F1, te dará 2*F1=[2,2/3,-2/3,6]. Por último, resta este resultado de la fila F original para que te dé la nueva F2. Efectuando término por término, esta resta será (2-2), (-2-2/3), (1-(-2/3)), (-3-6). Simplifícalos para que te dé la nueva F2=[0,-8/3,5/3,-9]. Ten en cuenta que el primer término es 0, el cual era tu objetivo.
- Copia la fila 3 no modificada como F3=[1,1,1,7].
- Ten mucho cuidado al restar números negativos para asegurarte de mantener los signos correctos.
- Por ahora, deja las fracciones en sus formas incorrectas. Esto hará que los pasos posteriores de la solución sean más sencillos. Podrás simplificar las fracciones en el paso final del problema.
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Crea un 1 en la segunda fila, segunda columna (F2C2). Para seguir formando la línea diagonal de unos, necesitarás transformar el segundo término -8/3 en un 1. Para ello, multiplica toda la fila por el recíproco de dicho número, el cual es -3/8. Simbólicamente, este paso es F2*(-3/8). La segunda fila resultante es F2=[0,1,-5/8,27/8].
- Ten en cuenta que, a medida que la mitad izquierda de la fila comienza a parecerse a la solución con el 0 y el 1, la mitad derecha podría comenzar a verse mal, con fracciones incorrectas. Mantenlas así por el momento.
- No olvides seguir copiando las filas no modificadas, de modo que F1=[1,1/3,-1/3,3] y F3=[1,1,1,7].
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Crea un 0 en la tercera fila, primera columna (F3C1). Ahora deberás enfocarte en la tercera fila, F3=[1,1,1,7]. Para crear un 0 en la primera posición, necesitarás restar un 1 del 1 que se encuentra actualmente en esa posición. Si miras hacia arriba, verás un 1 en la primera posición de F1. Por lo tanto, simplemente necesitas restar F3-F1 para que salga el resultado que necesitas. Al efectuar las operaciones término por término, el resultado será (1-1), (1-1/3), (1-(-1/3)), (7-3). Estos cuatro miniproblemas se simplifican para que te dé la nueva F3=[0,2/3,4/3,4].
- Sigue copiando F1=[1,1/3,-1/3,3] y F2=[0,1,-5/8,27/8]. Recuerda que solo debes modificar una fila a la vez.
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Crea un 0 en la tercera fila, segunda columna (F3C2). Actualmente, este valor es 2/3, pero es necesario transformarlo en un 0. A primera vista, parece que podrías restar el doble de los valores de F1, ya que la columna correspondiente de F1 contiene un 1/3. No obstante, si duplicas todos los valores de F1 y los restas, afectarás al 0 en la primera columna de F3, lo cual no debes hacer. Eso te haría retroceder un paso en la solución. Por consiguiente, necesitas trabajar con una combinación de F2. Si restas 2/3 de F2, crearás un 0 en la segunda columna sin afectar a la primera. En una notación abreviada, eso es F3- 2/3*F2. El término individual se convierte en (0-0), (2/3-2/3), (4/3-(-5/3*2/3)), (4-27/8*2/3). Al simplificar eso, te da como resultado F3=[0,0,42/24,42/24].
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Crea un 1 en la tercera fila, tercera columna (F3C3). Este es un paso simple de la multiplicación por el recíproco del número que se encuentra allí. El valor actual es 42/24, por lo que puedes multiplicar este número por 24/42 para crear el valor deseado de 1. Ten en cuenta que los dos primeros términos son ceros, por lo que cualquier multiplicación seguirá siendo 0. El nuevo valor de F3=[0,0,1,1].
- Ten en cuenta que las fracciones, las cuales parecían bastante complicadas en el paso anterior, ya han comenzado a resolverse por sí solas.
- Sigue copiando F1=[1,1/3,-1/3,3] y F2=[0,1,-5/8,27/8].
- Ten en cuenta que, en este punto, tienes la diagonal de unos para la matriz de solución. Simplemente necesitas transformar tres elementos más de la matriz en ceros para hallar la solución.
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Crea un cero en la segunda fila, tercera columna. F2 actualmente es [0,1,-5/8,27/8], con un valor de -5/8 en la tercera columna. Necesitas transformarlo en un 0. Esto significa efectuar una operación que implique a F3 y que consista en sumar 5/8. Debido a que la tercera columna correspondiente de F3 es un 1, necesitas multiplicar todos los números de F3 por 5/8 y sumar el resultado a F2. En resumen, esto es F2+5/8*F3. Al efectuar las operaciones término por término, te da como resultado F2=(0+0), (1+0), (-5/8+5/8), (27/8+5/8). Esto se simplifica a F2=[0,1,0,4].
- Copia F1=[1,1/3,-1/3,3] y F3=[0,0,1,1].
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Crea un 0 en la primera fila, tercera columna (F1C3). Actualmente, la primera fila es F1=[1,1/3,-1/3,3]. Necesitas convertir el -1/3 en la tercera columna F3 en un 0 utilizando una combinación de F3. Evita usar F2, porque el 1 en la segunda columna afectaría a la F1 de la manera incorrecta. Por consiguiente, deberás multiplicar F3*1/3 y luego sumar el resultado a F1. La notación para esta ecuación es F1+1/3*F3. Al efectuar las operaciones término por término, te da como resultado F1=(1+0), (1/3+0), (-1/3+1/3), (3+1/3). Esto se simplifica para que te dé un nuevo valor F1=[1,1/3,0,10/3].
- Copia las filas no modificadas: F2=[0,1,0,4] y f3=[0,0,1,1].
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Crea un 0 en la primera fila, segunda columna (F1C2). Si has hecho todo correctamente, este debe ser el paso final. Debes convertir el 1/3 en la segunda columna en un 0. Para que te dé este resultado, multiplica F2*1/3 y resta. En resumen, efectúa esta operación: F1-1/3*F2. El resultado será F1=(1-0), (1/3-1/3), (0-0), (10/3-4/3). Simplifica para que te dé un resultado de F1=[1,0,0,2].
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Busca la matriz de solución. En este punto, si has hecho todo bien, debes tener tres filas F1=[1,0,0,2], F2=[0,1,0,4] y F3=[0,0,1,1]. Ten en cuenta que, si escribes esto en forma de matriz de bloques con las filas una encima de la otra, tendrás la diagonal de unos, con ceros en todas partes y las soluciones en la cuarta columna. La matriz de solución debe verse de la siguiente manera:
- 1 0 0 2
- 0 1 0 4
- 0 0 1 1
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Dale sentido a la solución. Cuando convertiste las ecuaciones lineales en una matriz, colocaste los coeficientes “x” en la primera columna, los coeficientes “y” en la segunda y los coeficientes “z” en la tercera. Ahora, si quieres volver a escribirla en forma de ecuación, estas tres líneas de la matriz en realidad significan las tres ecuaciones 1x+0y+0z=2, 0x+1y+0z=4 y 0x+0y+1z=1. Debido a que podemos eliminar los términos 0 y no es necesario escribir los coeficientes 1, estas tres ecuaciones se simplifican para darte la solución, x=2, y=4 y z=1. Esta es la solución al sistema de ecuaciones lineales. [5] X Fuente de investigaciónAnuncio
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Reemplaza los valores de la solución en cada variable de cada ecuación. Siempre es buena idea verificar que la solución sea correcta. Para hacerlo, prueba los resultados colocándolos en las ecuaciones originales.
- Recuerda que las ecuaciones originales para este problema eran 3x+y-z=9, 2x-2y+z=-3, y x+y+z=7. Al reemplazar las variables con los valores resueltos, te dará 3*2+4-1=9, 2*2-2*4+1=-3, y 2+4+1=7.
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Simplifica la ecuación. Efectúa las operaciones en cada ecuación según las reglas básicas de operaciones. La primera ecuación se simplifica a 6+4-1=9, o 9=9. La segunda ecuación se simplifica a 4-8+1=-3, o -3=-3. La ecuación final se simplifica a 7=7.
- Debido a que cada ecuación se simplifica a un enunciado matemático verdadero, las soluciones son correctas. Si alguna de ellas no se resolvió de manera correcta, tendrías que volver a revisar las operaciones y buscar algún error. Algunos de los errores más comunes se producen al dejar signos negativos o confundir la multiplicación y suma de fracciones.
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Escribe las soluciones finales. Para este problema determinado, la solución final es x=2, y=4, y z=1.Anuncio
Consejos
- Si el sistema de ecuaciones es muy complicado, con muchas variables, podrías utilizar una calculadora gráfica en lugar de efectuar las operaciones a mano. Si quieres más información, lee algún artículo que te ayude a resolver un sistema de ecuaciones con una calculadora gráfica.
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Referencias
- ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/matrix-introduction.html
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-matrices/representing-systems-with-matrices/a/representing-systems-with-matrices
- ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/systems-linear-equations-matrices.html
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-matrices/multiplying-matrices-by-scalars/a/multiplying-matrices-by-scalars
- ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/systems-linear-equations-matrices.html
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