Unduh PDF
Unduh PDF
Kecepatan didefinisikan sebagai laju suatu benda dalam arah tertentu. [1] X Teliti sumber Dalam banyak situasi, untuk mencari kecepatan, kita bisa menggunakan persamaan v = s/t, di mana v sama dengan kecepatan, s sama dengan jarak total perpindahan benda dari posisi awalnya, dan t sama dengan waktu. Tetapi, cara ini hanya memberikan nilai kecapatan "rata-rata" dari benda tersebut sepanjang perpindahannya. Dengan menggunakan kalkulus, Anda bisa menghitung kecepatan benda pada titik manapun sepanjang perpindahannya. Nilai ini disebut dengan "kecepatan sesaat" dan dapat dihitung dengan persamaan v = (ds)/(dt) , atau, dengan kata lain, adalah turunan dari persamaan kecepatan rata-rata benda. [2] X Teliti sumber
Langkah
-
Mulai dengan persamaan kecepatan perpindahan benda. Untuk mendapatkan nilai kecepatan sesaat suatu benda, pertama-tama kita harus memiliki persamaan yang menjelaskan posisinya (dalam hal perpindahannya) pada titik waktu tertentu. Hal ini berarti persamaan itu harus memiliki variabel s (yang berdiri sendiri) di salah satu sisinya, dan t di sisi lainnya (namun tidak harus berdiri sendiri), seperti ini:
s = -1.5t 2 + 10t + 4
- Dalam persamaan tersebut, variabelnya adalah:
-
- Perpindahan = s . Yaitu jarak yang ditempuh benda dari titik awalnya. Sebagai contohnya, jika suatu objek menempuh jarak 10 meter ke depan dan 7 meter ke belakang, maka jarak tempuh totalnya adalah 10 - 7 = 3 meter (bukan 10 + 7 = 17 meter).
- Waktu = t . Variabel ini sudah cukup jelas. Biasanya dinyatakan dalam satuan detik. #Ambil turunan persamaan tersebur. Turunan suatu persamaan adalah persamaan lain yang dapat memberikan nilai slope dari titik tertentu. Untuk mencari turunan rumus perpindahan benda, turunkan fungsinya dengan aturan umum berikut ini: Jika y = a*x n , Turunan = a*n*x n-1 . Aturan ini berlaku untuk setiap komponen yang berada dalam sisi "t" dalam persamaan.
-
- Dengan kata lain, mulailah dengan menurunkan sisi "t" dalam persamaan dari kiri ke kanan. Setiap kali Anda mencapai nilai "t", kurangi 1 dari nilai eksponen dan kalikan seluruhnya dengan eksponen awal. Konstanta apapun (variabel yang tidak mengandung "t") akan hilang karena dikalikan dengan 0. Proses ini tidak sesulit yang dibayangkan, ayo turunkan persamaan dalam langkah di atas seperti contoh:
s = -1.5t 2 + 10t + 4
(2)-1.5t (2-1) + (1)10t 1 - 1 + (0)4t 0
-3t 1 + 10t 0
-3t + 10
- Dalam persamaan tersebut, variabelnya adalah:
-
Ganti variabel "s" dengan "ds/dt." Untuk menunjukkan bahwa persamaan baru Anda adalah turunan persamaan sebelumnya, ganti "s" menjadi "ds/dt". Secara teknis, notasi ini berarti "turunan s terhadap t." Cara yang lebih sederhana untuk memahaminya adalah bahwa ds/dt adalah nilai kemiringan (slope) pada titik manapun dalam persamaan pertama. Sebagai contohnya, untuk menentukan slope dari garis yang dibuat dari persamaan s = -1.5t 2 + 10t + 4 at t = 5, kita dapat memasukkan nilai "5" ke dalam persamaan turunannya.
- Dalam contoh yang digunakan, persamaan turunan pertama akan tampak seperti ini sekarang:
ds/dt = -3t + 10
- Dalam contoh yang digunakan, persamaan turunan pertama akan tampak seperti ini sekarang:
-
Masukkan nilai t ke dalam persamaan yang baru untuk mendapatkan nilai kecepatan sesaat. Sekarang setelah Anda memiliki persamaan turunan, mencari kecepatan sesaat pada titik manapun akan mudah dilakukan. Yang perlu Anda lakukan adaah memilih nilai t dan memasukkannya ke dalam persamaan turunan Anda. Sebagai contohnya, jika Anda ingin mencari kecepatan sesaat pada t = 5, Anda bisa mengganti nilai t dengan "5" dalam persamaan turunan ds/dt = -3 + 10. Kemudian menyelesaikan persamaannya seperti ini:
ds/dt = -3t + 10
ds/dt = -3(5) + 10
ds/dt = -15 + 10 = -5 meter/second- Perhatikan bahwa satuan yang digunakan di atas adalah "meter/second". Karena yang kita menghitung perpindahan dalam meter dan waktu dalam detik (second) dan kecepatan secara umum adalah perpindahan dalam waktu tertentu, maka satuan ini sudah tepat untuk digunakan.
Iklan
-
Gambarkan grafik perpindahan benda sepanjang waktu. Dalam bagian di atas, turunan disebutkan sebagai rumus yang untuk mencari slope pada titik tertentu untuk persamaan yang Anda turunkan. Faktanya, jika Anda menyajikan perpindahan benda dengan garis dalam sebuah grafik, "kemiringan (slope) garis pada semua titik sama dengan nilai kecepatan sesaatnya pada titik tersebut."
- Untuk menggambarkan perpindahan benda, gunakan x untuk menggambarkan waktu dan y untuk menggambarkan perpindahan. Kemudian gambarkan titik-titiknya, dengan memasukkan nilai t ke dalam persamaan Anda, sehingga mendapatkan nilai s untuk grafik Anda, tandai t,s dalam grafik sebagai (x,y).
- Perhatikan bahwa grafik Anda bisa menjangkau bagian di bawah sumbu x. Jika garis yang mewakili pergerakan benda Anda mencapai bagian di bawah sumbu x, maka hal ini berarti benda tersebut telah bergerak membelakangi posisi awalnya. Secara umum, grafik Anda tidak akan mencapai bagian di belakang sumbu y - karena kita tidak mengukur kecepatan benda yang bergerak ke masa lalu!
-
Pilih satu titik P dan Q yang berdekatan di dalam garis. Untuk mendapatkan kemiringan garis pada satu titik P, kita bisa menggunakan trik yang disebut "mengambil limit." Mengambil limit melibatkan dua titik (P dan Q, suatu titik di dekatnya) pada garis lengkung dan mencari kemiringan garis dengan menghubungkannya berkali-kali hingga jarak P dan Q menjadi semakin dekat.
- Katakanlah garis perpindahan benda mengandung nilai (1,3) dan (4,7). Dalam kasus ini, jika kita ingin menemukan kemiringannya pada titik (1,3), kita bisa menentukan (1,3) = P dan (4,7) = Q .
-
Cari kemiringan di antara P dan Q. Kemiringan antara P dan Q adalah selisih nilai y untuk P dan Q sepanjang perpedaan nilai sumbu x untuk P dan Q. Dengan kata lain, H = (y Q - y P )/(x Q - x P ) , di mana H adalah kemiringan di antara kedua titik. Dalam contoh kami, nilai kemiringan antara P dan Q adalah
H = (y Q - y P )/(x Q - x P )
H = (7 - 3)/(4 - 1)
H = (4)/(3) = 1.33 -
Ulangi beberapa kali, gerakkan Q mendekati P. Tujuan Anda adalah untuk memperkecil jarak antara P dan Q hingga menyerupai sebuah titik. Semakin dekat jarak antara P dan Q, maka akan semakin dekat juga kemiringan garis pada titik P. Lakukan cara ini beberapa kali dengan persamaan yang digunakan sebagai contoh, gunakan titik (2,4.8), (1.5,3.95), dan (1.25,3.49) sebagai Q dan titik awal (1,3) sebagai P:
Q = (2,4.8): H = (4.8 - 3)/(2 - 1)
H = (1.8)/(1) = 1.8
Q = (1.5,3.95): H = (3.95 - 3)/(1.5 - 1)
H = (.95)/(.5) = 1.9
Q = (1.25,3.49): H = (3.49 - 3)/(1.25 - 1)
H = (.49)/(.25) = 1.96 -
Perkirakan kemiringan garis untuk jarak yang sangat kecil. Saat Q semakin dekat dengan P, H akan semakin mendekati nilai kemiringan titik P. Pada akhirnya, saat mencapai nilai yang sangat kecil, H sama dengan kemiringan pada P. Karena kita tidak dapat mengukur atau mengitung jarak yang sangat kecil, kita hanya dapat memperkirakan kemiringan pada P setelah jelas dari titik yang kita coba.
- Dalam contoh, saat menggerakkan Q mendekati P, kita mendapatkan nilai 1.8, 1.9, dan 1.96 untuk H. Karena angka ini mendekati 2, kita dapat mengatakan bahwa 2 adalah perkiraan kemiringan P.
- Ingatlah bahwa kemiringan pada titik tertentu di dalam garis sama dengan turunan persamaan garis tersebut. Karena garis yang digunakan menunjukkan perpindahan benda sepanjang waktu, dan karena sebagaimana yang telah kita lihat di bagian sebelumnya, kecepatan sesaat benda adalah turunan perpindahannya pada titik ternetu, kita juga bisa menyatakan bahwa "2 meter/second" adalah nilai perkiraan kecepatan sesaat pada t = 1.
Iklan
-
Carilah nilai kecepatan sesaat pada t = 4, dari persamaan perpindahan s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9. Soal ini sama seperti contoh di bagian pertama, hanya saja, persamaan kali ini adalah persamaan pangkat tiga, bukan persamaan pangkat dua, jadi kita bisa menyelesaikan soal ini dengan cara yang sama.
- Pertama, kita ambil turunan persamaannya:
s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9
s = (3)5t (3 - 1) - (2)3t (2 - 1) + (1)2t (1 - 1) + (0)9t 0 - 1
15t (2) - 6t (1) + 2t (0)
15t (2) - 6t + 2 - Kemudian, masukkan nilai t (4):
s = 15t (2) - 6t + 2
15(4) (2) - 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 meter/second
- Pertama, kita ambil turunan persamaannya:
-
Gunakan perkiraan secara grafis untuk mencari kecepatan sesaat pada (1,3) untuk persamaan perpindahan s = 4t 2 - t. Untuk soal ini, kita akan menggunakan (1,3) sebagai titik P, tetapi kita harus menentukan titik lain yang berdekatan dengan titik tersebut sebagai titik Q. Kemudian hanya perlu menentukan nilai H dan membuat perkiraan.
- Pertama, temukan nilai Q terlebih dahulu pada t = 2, 1.5, 1.1 dan 1.01.
s = 4t 2 - t
t = 2: s = 4(2) 2 - (2)
4(4) - 2 = 16 - 2 = 14, so Q = (2,14)
t = 1.5: s = 4(1.5) 2 - (1.5)
4(2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5, so Q = (1.5,7.5)
t = 1.1: s = 4(1.1) 2 - (1.1)
4(1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, so Q = (1.1,3.74)
t = 1.01: s = 4(1.01) 2 - (1.01)
4(1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, jadi Q = (1.01,3.0704) - Kemudian, tentukan nilai H:
Q = (2,14): H = (14 - 3)/(2 - 1)
H = (11)/(1) = 11
Q = (1.5,7.5): H = (7.5 - 3)/(1.5 - 1)
H = (4.5)/(.5) = 9
Q = (1.1,3.74): H = (3.74 - 3)/(1.1 - 1)
H = (.74)/(.1) = 7.3
Q = (1.01,3.0704): H = (3.0704 - 3)/(1.01 - 1)
H = (.0704)/(.01) = 7.04 - Karena nilai H dekat sekali dengan 7 maka kita bisa menyatakan bahwa 7 meter/second adalah perkiraan kecepatan sesaat pada (1,3).
Iklan - Pertama, temukan nilai Q terlebih dahulu pada t = 2, 1.5, 1.1 dan 1.01.
Tips
- Untuk mencari nilai percepatan (perubahan kecepatan sepanjang waktu), gunakan cara di bagian pertama untuk mendapatkan persamaan turunan fungsi perpindahan. Kemudian buat persamaan turunan lagi, kali ini dari persamaan turunan Anda. Hal ini akan memberikan Anda persamaan untuk mencari percepatan pada waktu tertentu, yang perlu Anda lakukan hanyalah memasukkan nilai waktu Anda.
- Persamaan yang mengubungkan nilai Y (perpindahan) dengan X (waktu) mungkin saja sangat sederhanya, misalnya Y= 6x + 3. Dalam kasus ini, nilai kemiringannya konstan, dan tidak perlu mencari turunannya untuk menghitungnya, di mana sesuai persamaan garis lurus, Y = mx + b akan sama dengan 6.
- Perpindahan mirip dengan jarak, tetapi memiliki arah, sehingga perpindahan adalah besaran vektor, sedangkan jarak adalah besaran skalar. Nilai perpindahan bisa saja negatif, tetapi jarak akan selalu positif.
