Pdf downloaden
Pdf downloaden
Een rekenkundige rij is elke reeks getallen die, opeenvolgend, met een constante waarde van elkaar verschillen. Bijvoorbeeld, de reeks even getallen, … is een rekenkundige rij, omdat het verschil van het ene getal uit de reeks ten opzichte van de volgende altijd gelijk is aan twee. Weet je dat je te maken hebt met een rekenkundige rij, dan kan gevraagd worden om het volgende getal in de reeks te bepalen. Je kunt ook gevraagd worden om een ontbrekend getal in de reeks in te vullen. En uiteindelijk wil je wellicht weten hoe je het 100e getal kunt bepalen, zonder alle honderd getallen ook daadwerkelijk op de te schrijven. Een paar eenvoudige stappen kunnen je bij elk van deze opgaven helpen.
Stappen
-
Zoek de verschilfactor van de reeks. Wanneer je een verzameling getallen krijgt voorgeschoteld, dan wordt er wellicht bij vermeld dat het gaat om een rekenkundige rij, of zal je dit zelf moeten uitvinden. De eerste stap is in ieder geval dezelfde. Selecteer de eerste twee opeenvolgende getallen in de verzameling. Trek het eerste getal af van het tweede getal. Het resultaat is de verschilfactor van je reeks. [1] X Bron
- Bijvoorbeeld, stel je hebt de verzameling .... Doe dan om de verschilfactor 3 te krijgen.
- Stel dat je een verzameling aflopende getallen hebt, zoals …. Dan trek je nog steeds het eerste getal af van het tweede om het verschil te bepalen. In dit geval geeft dit . Het negatieve resultaat betekent dat je verzameling afneemt van links naar rechts. Let er altijd op dat het teken van het verschil overeenkomt met de richting waarin de getallen lijken te gaan.
-
Controleer of de verschilfactor constant is. Het bepalen van de verschilfactor voor alleen de eerste twee getallen verzekert niet dat de verzameling een rekenkundige rij is. Je moet er zeker van zijn dat het verschil consistent volgehouden wordt in de hele reeks. Controleer het verschil door het aftrekken van twee opeenvolgende getallen in de verzameling. Is het resultaat consistent voor een of twee andere getallenparen, dan heb je waarschijnlijk met een rekenkundige rij te maken.
- We blijven werken met hetzelfde voorbeeld, Kies het tweede en derde getal van de verzameling. Doe en je zult zien dat het verschil nog steeds gelijk is aan 3. Om dit te bevestigen kies je nog een voorbeeld en doe je om erachter te komend dat het verschil voortdurend 3 is. Je kunt er nu redelijk zeker van zijn dat je te maken hebt met een rekenkundige rij.
- Het is mogelijk dat een verzameling getallen de eigenschappen lijkt te hebben van een rekenkundige rij op basis van de eerste paar getallen, om daar vervolgens vanaf te wijken. Bijvoorbeeld, neem de verzameling …. Het verschil tussen het eerste en tweede getal is 1 en het verschil tussen het tweede en derde getal is ook 1. Het verschil tussen het derde en vierde getal is echter 3. Omdat het verschil niet voor alle getallen in de hele verzameling geldt, is dit geen rekenkundige rij.
-
Tel de verschilfactor op bij het laatste getal. Het is eenvoudig om het volgende getal van een rekenkundige rij te vinden wanneer je de verschilfactor kent. Tel gewoon de verschilfactor op bij het laatste last getal van de verzameling en je krijgt het volgende getal.
- Bijvoorbeeld, in het voorbeeld van …, kun je het volgende getal in de verzameling bepalen door de verschilfactor 3 op te tellen bij het laatste gegeven getal. Doe en je krijgt 16, wat dus het volgende getal is. Je kunt doorgaan met 3 erbij optellen, om de reeks zo lang te maken als je wilt. Bijvoorbeeld, de reeks kan zijn …. Je kunt hier onbeperkt mee doorgaan.
Advertentie
-
Bevestig dat je begint met een rekenkundige rij. In sommige gevallen heb je te maken met een verzameling getallen met een ontbrekend getal in het midden. Begin zoals eerder aangegeven met controleren dat je verzameling een rekenkundige rij is. Selecteer twee opeenvolgende getallen en bepaal het verschil ertussen. Controleer dit vervolgens tegen twee andere opeenvolgende getallen in de reeks. Is het verschil hetzelfde, dan kun je aannemen dat je te maken hebt met een rekenkundige rij, en kun je verdergaan.
- Bijvoorbeeld, stel je hebt de reeks ,___, …. Begin met de aftreksom en je krijgt 4 als verschil. Controleer dit tegen twee andere opeenvolgende getallen, zoals . Het verschil is weer 4. Je kunt nu verdergaan.
-
Tel de verschilfactor op bij het getal voor de lege plek. Dit is gelijk aan het toevoegen van een getal aan het eind van een reeks. Zoek het getal direct voor de lege plek in je reeks. Dit is het 'laatste' getal dat bekend is. Tel het gevonden verschil op bij dit getal, en je krijgt het getal welke zou moeten passen op de plek van de onbekende.
- In ons voorbeeld, ,____, …, is de onbekende gelijk aan 4 en is het verschil van deze reeks ook 4. Dus opgeteld wordt dit en krijg je dus 8, het getal welke ingevuld kan worden voor de onbekende.
-
Trek de verschilfactor af van het getal na de onbekende. Om er zeker van te zijn dat je het juiste antwoord hebt gevonden, controleer je dit nogmaals vanuit de andere richting. Een rekenkundige rij hoort consistent in een bepaalde richting te gaan. Als je van links naar rechts gaat en steeds 4 erbij optelt, dan kun je van rechts naar links het tegenoverstelde doen en 4 aftrekken van het voorgaande getal.
- In het voorbeeld, ,___, …, is het getal direct na de onbekende gelijk aan 12. Trek de verschilfactor 4 af van dit getal en je krijgt . Het resultaat 8 kan dan ingevuld worden voor de onbekende.
-
Vergelijk je uitkomsten. De twee uitkomsten die je krijgt door het optellen (van links naar rechts) of aftrekken (van rechts naar links) horen met elkaar overeen te komen. Is dat het geval, dan heb je het ontbrekende getal gevonden. Komen ze niet overeen, dan moet je je werk nogmaals controleren. Wellicht heb je niet met een zuivere rekenkundige rij te maken.
- In het voorbeeld zullen de twee uitkomsten van en beide 8 als antwoord geven. Het ontbrekende getal in deze rekenkundige rij is dus 8. De volledige reeks is ….
Advertentie
-
Bepaal het eerste getal van de reeks. Niet elke reeks begint met de getallen 0 of 1. Kijk naar de verzameling getallen die je hebt en bepaal het eerste getal. Dit is je startpunt, welke aangeduid kunnen worden met variabelen, zoals a(1).
- Het is een algemeen gebruik om bij rekenkundige rijen te werken met de variabele a(1), waarmee het eerste getal van de reeks wordt aangegeven. Je kunt uiteraard elke variabele kiezen, maar de uitkomst zou hetzelfde moeten zijn.
- Bijvoorbeeld, gegeven de reeks …, is het eerste getal , welke wiskundig kan worden aangeduid als a(1).
-
Bepaal de verschilfactor als d. Bepaal de verschilfactor voor de reeks zoals hiervoor aangegeven. In dit voorbeeld is de verschilfactor gelijk aan , en dus 5. Bij het controleren tegen de anderen getallen in de reeks wordt hetzelfde resultaat verkregen. We geven deze verschilfactor aan met de wiskundige variabele d.
-
Gebruik de expliciete formule. Een expliciete formule is een wiskundige vergelijking die je kunt gebruiken om elk getal van een rekenkundige rij te vinden, zonder de hele reeks uit te hoeven schrijven. De expliciete formule voor een wiskundige reeks is .
- Het getal a(n) kan worden gelezen als “het n-de getal van a,” waarbij n het getal in de reeks is dat je wilt vinden en a(n) de daadwerkelijke waarde is van dat getal. Bijvoorbeeld, als je wordt gevraagd om het honderdste item te vinden van een rekenkundige rij, dan is n gelijk aan 100. Merk op dat n gelijk is aan 100, in dit voorbeeld, maar dat a(n) de waarde is van het honderdste getal, en niet het getal 100 zelf.
-
Vul alle gegevens in om het probleem op te lossen. Met behulp van deze expliciete formule voor je reeks, vul je alle gegevens in waar je over beschikt, om het getal te bepalen dat je nodig hebt.
- Bijvoorbeeld, in dit voorbeeld, …, weten we dat a(1), het eerste getal, gelijk is aan 3 en dat de verschilfactor d gelijk is aan 5. Stel dat je wordt gevraagd om het honderdste getal in die reeks te vinden. Dan is n=100 en (n-1)=99. De volledige expliciete formule, met de ingevulde gegevens, is dan . Dit valt te vereenvoudigen tot 498, het honderdste getal in die reeks.
Advertentie
Methode 4
Methode 4 van 4:
Gebruik de expliciete formule voor het verkrijgen van meer gegevens
Pdf downloaden
-
Herschik de expliciete formule om andere variabelen te vinden. Gebruik de expliciete formule en wat eenvoudige algebra, voor het vinden van diverse stukjes informatie over de rekenkundige rij. In de oorspronkelijke vorm ( ), is de expliciete formule ontworpen voor het oplossen van a n en geeft het je het n-de getal van de reeks. Je kunt deze formule echter wiskundig manipuleren om daarmee ook andere variabelen op te kunnen lossen.
- Bijvoorbeeld, stel dat je het einde weet van een reeks getallen, maar je wilt graag weten wat het begin van de reeks is. Herschik de formule dan voor het verkrijgen van
- Weet je het beginpunt en eindpunt van een rekenkundige rij, maar je wilt graag weten hoeveel getallen er zijn in de verzameling, dan kun je de expliciete formule gebruiken om n op te lossen. Dit wordt dan .
- Wil je eerst nog even de basisregels van de algebra doornemen die je nodig hebt om dit uit te kunnen rekenen, lees dan meer over algebra of eenvoudige algebraïsche vergelijkingen .
-
Bepaal het eerste getal van een reeks. Je weet wellicht dat het 50e getal van een rekenkundige rij gelijk is aan 300 en dat de getallen toenemen met 7 (de verschilfactor), maar je wilt graag weten wat het eerste getal van de reeks was. Gebruik de gewijzigde expliciete formule voor het oplossen van a1 om achter je antwoord te komen.
- Gebruik de vergelijking en vul alle gegevens in waar je over beschikt. Omdat je weet dat het 50e getal 300 is, weet je ook dat n=50, n-1=49 en a(n)=300. Daarnaast is ook de verschilfactor d gegeven, en dat is 7. De formule wordt dus . Uitgewerkt wordt dit . De reeks die je hebt begon bij 43 en heeft een verschilfactor 7. De reeks ziet er dus uit als 43,50,57,64,71,78…293,300.
-
Bepaal de lengte van een reeks. Stel dat je weet hoe de reeks begint en eindigt, maar moet achterhalen hoe lang de reeks is. Gebruik dan de gewijzigde formule .
- Stel dat je weet dat een gegeven rekenkundige rij begint met 100 en optelt met 13. Daarnaast is ook gegeven dat het laatste getal 2856 is. Om de lengte van de reeks te vinden, gebruik je de getallen a1=100, d=13 en a(n)=2856. Pas deze getallen toe op de formule voor het verkrijgen van . Heb je dit uitgewerkt, dan krijg je , wat gelijk is aan 212+1, en dat is weer 213. Er zijn 213 getallen in die reeks.
- Dit voorbeeld ziet eruit als 100, 113, 126, 139… 2843, 2856.
Advertentie
Waarschuwingen
- Er zijn verschillende soorten reeksen getallen. Neem niet aan dat een verzameling getallen een rekenkundige rij is. Controleer altijd twee getallenparen, en liever drie of vier, om de verschilfactor voor de reeks getallen te vinden.
Advertentie
Tips
- Vergeet niet dat d zowel positief als negatief kan zijn, afhankelijk van of er sprake is van een optelling of aftrekking.
Advertentie
Advertentie
Meld je aan voor de gratis nieuwsbrief van wikiHow!
Je vindt dan elke week handige handleidingen in je inbox.
Meld me aan!
