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Duas frações são consideradas equivalentes quando têm o mesmo valor. Saber como converter uma fração em uma equivalente é uma habilidade matemática essencial utilizada da álgebra básica ao cálculo avançado. Este artigo cobrirá diversas formas de calcular frações equivalentes, da multiplicação e divisão básica a métodos mais complexos existentes na resolução de problemas.
Passos
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Multiplique o numerador e o denominador pelo mesmo número. Duas frações diferentes, mas equivalentes, têm, por definição, numeradores e denominadores que são múltiplos de cada um. Em outras palavras, multiplicar o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número produzirá uma fração equivalente. Embora os números na nova fração sejam diferentes, as frações terão o mesmo valor.
- Por exemplo, se tomamos a fração 4/8 e multiplicamos tanto o numerador como o denominador por 2, teremos (4×2)/(8×2) = 8/16. Essas duas frações são equivalentes.
- (4×2)/(8×2) é, essencialmente, igual a 4/8 × 2/2. Lembre-se de que, ao multiplicar duas frações, multiplicamos de modo cruzado, ou seja, numerador com numerador e denominador com denominador.
- Note que 2/2 é igual a 1, quando a divisão é efetuada. Logo, é fácil perceber por que razão 4/8 e 8/16 são equivalentes, uma vez que multiplicar 4/8 × (2/2) = 4/8. Pode-se dizer o mesmo em 4/8 = 8/16.
- Qualquer fração tem um número infinito de frações equivalentes. É possível multiplicar o numerador e o denominador por qualquer número inteiro, não importando quão grande ou pequeno, a fim de se obter uma fração equivalente.
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Divida o numerador e o denominador pelo mesmo número. Como na multiplicação, a divisão também pode ser usada para se descobrir uma nova fração equivalente à fração inicial. Simplesmente divida o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número para obter uma fração equivalente. Há um ponto nesse processo — a fração resultante deve ter números inteiros em ambos numerador e denominador, para ser considerada válida.
- Por exemplo, observemos novamente a fração 4/8. Se, em vez de multiplicarmos, dividimos ambos numerador e denominador por 2, teremos (4÷2)/(8÷2) = 2/4. Ambos 2 e 4 são números inteiros, de modo que essa fração equivalente é válida.
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Encontre o número pelo qual o menor denominador deve ser multiplicado para gerar o maior denominador. Muitos problemas relacionados a frações envolvem determinar se duas frações são equivalentes. Ao se calcular esse número, você pode começar a colocar ambas as frações em termos iguais, a fim de determinar a equivalência.
- Por exemplo, tome novamente as frações 4/8 e 8/16. O menor denominador, 8, e teríamos que multiplicar esse número por 2 para torná-lo o maior, que é 16. Logo, o número, nesse caso, será 2.
- No caso de números mais difíceis, é possível dividir simplesmente o maior denominador pelo menor. Nesse caso, 16 será dividido por 8, resultando em 2.
- O número pode nem sempre ser inteiro. Por exemplo, se os denominadores fossem 2 e 7, o número em questão seria 3,5.
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Multiplique o numerador e o denominador da fração expressa em termos menores pelo número do primeiro passo. Duas frações diferentes, mas equivalentes, têm, por definição, numeradores e denominadores múltiplos um do outro . Em outras palavras, multiplicar o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número produzirá uma fração equivalente. Embora os números nessa nova fração venham a ser diferentes, as frações terão o mesmo valor. [1] X Fonte de pesquisa
- Por exemplo, se tomamos a fração 4/8 do primeiro passo e multiplicamos tanto numerador como denominador pelo número 2, determinado anteriormente, teremos (4×2)/(8×2) = 8/16 — provando, desse modo, que ambas as frações são equivalentes.
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Calcule cada fração como número decimal. No caso de frações simples sem variáveis, você pode basicamente expressar cada fração como número decimal, a fim de determinar a equivalência. Uma vez que cada fração é realmente um problema de divisão desde o princípio, essa é a forma mais simples de determinar a equivalência.
- Por exemplo, tomemos o já utilizado 4/8. A fração 4/8 é equivalente ao cálculo de 4 dividido por 8, ou seja, 4/8 = 0,5. Você pode resolver também o outro exemplo, ou seja, 8/16 = 0,5. Independentemente aos termos de uma fração elas são equivalentes se ambos os números são exatamente iguais quando expressadas de forma decimal.
- Lembre-se de que a expressão decimal pode seguir por diversos dígitos antes que a falta de equivalência se torne aparente. Como exemplo básico, 1/3 = 0,333, enquanto 3/10 = 0,3. Ao usar mais de um dígito, é possível ver que as duas equações não são equivalentes.
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Divida o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número para obter uma fração equivalente. No caso de frações mais complexas, o método de divisão requer passos adicionais. Como ocorre no método de multiplicação, é possível dividir o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número, a fim de obter uma fração equivalente. Há um segredo para esse processo. A fração resultante deve ter números inteiros tanto no numerador como no denominador para ser válida.
- Por exemplo, vejamos novamente a fração 4/8. Se, em vez de multiplicá-los, dividirmos o numerador e o denominador por 2, teremos (4÷2)/(8÷2) = 2/4 . 2 e 4 são ambos números inteiros, de modo que essa fração equivalente é válida.
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Reduza as frações a seus termos mínimos. A maioria das frações deverá estar normalmente expressa em seus termos mínimos, e será possível convertê-las a esses termos mínimos ao dividi-las por seu maior fator comum (MFC). Esse passo opera usando a mesma lógica em expressar frações equivalentes ao convertê-las para que tenham o mesmo denominador, mas esse método busca reduzir cada fração a seus mínimos termos expressáveis.
- Quando uma fração está em seus termos mais simples, seu numerador e seu denominador são ambos tão pequenos quanto podem ser, e tampouco podem ser divididos por qualquer número inteiro a fim de obter um número menor. Para converter uma fração que não está em seus termos mais simples em uma que está , dividimos o numerador e o denominador por seu maior fator comum .
- O maior fator comum (MFC) do numerador e do denominador equivale ao maior número que divide a ambos a fim de obter um resultado inteiro. Desse modo, em nosso exemplar 4/8, uma vez que 4 é o maior número que divide tanto a 4 como a 8, dividiremos o numerador e o denominador de nossa fração por 4 para obter seus termos mais simples: (4÷4)/(8÷4) = 1/2 . No outro exemplo, 8/16, o MFC é 8, através do qual chegamos também ao resultado 1/2 como expressão mais simples da fração.
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Iguale as duas frações. Usamos a multiplicação cruzada em problemas matemáticos que sabemos serem equivalentes, mas nas quais um dos números de uma delas tenha sido substituído por uma variável (normalmente x) que deve ser resolvida. Em casos como esse, sabemos que as frações são equivalentes porque são os únicos termos em lados opostos do sinal de igualdade, mas nem sempre essa resolução é óbvia. Felizmente, na multiplicação cruzada, solucionar esses problemas é fácil. [2] X Fonte de pesquisa
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Tome ambas as frações equivalentes e multiplique-as de modo cruzado, em forma de “X”. Em outras palavras, deve-se multiplicar o numerador de uma fração pelo denominador da outra e vice-versa, então determinando essas duas respostas iguais uma à outra e solucionando o problema. [3] X Fonte de pesquisa
- Tomemos os dois exemplos 4/8 e 8/16. Eles não contêm uma variável, mas é possível provar o conceito, uma vez que já sabemos serem equivalentes. Através da multiplicação cruzada, temos que 4×16 = 9×9, ou 64 = 64, o que é indiscutivelmente verdadeiro. Se os dois números não forem idênticos, as frações não são equivalentes.
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Introduza uma variável. Uma vez que a multiplicação cruzada é a forma mais fácil de determinar frações equivalentes quando se soluciona uma variável, introduzamos uma incógnita.
- Por exemplo, consideremos a equação 2/x = 10/13. Para efetuar a multiplicação cruzada, multiplicaremos 2 por 13 e 10 por x, então definindo as respostas iguais uma à outra:
- 2×13 = 26
- 10×x = 10x
- 10x = 26
- A partir daqui, obter uma resposta para a nossa variável é uma questão de álgebra simples. X = 26/10 = 2,6 , definindo as frações equivalentes iniciais como 2/2,6 = 10/13.
- Por exemplo, consideremos a equação 2/x = 10/13. Para efetuar a multiplicação cruzada, multiplicaremos 2 por 13 e 10 por x, então definindo as respostas iguais uma à outra:
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Use a multiplicação cruzada em equações com variáveis múltiplas ou expressões com incógnitas. Um dos melhores pontos na multiplicação cruzada é o fato de que ela funciona essencialmente do mesmo modo, quer você esteja lidando com duas frações simples (como acima) ou com frações mais complexas. Por exemplo, se ambas as frações contêm variáveis, deve-se apenas eliminá-las ao final do processo de resolução. De modo similar, se os numeradores ou denominadores das frações contêm expressões com variáveis (como x+1), basta “multiplicar” através da propriedade distributiva e resolvê-las normalmente. [4] X Fonte de pesquisa
- Por exemplo, consideremos a equação [(x+3)/2] = [(x+1)/4)]. Nesse caso, como anteriormente, a resolveremos com a multiplicação cruzada:
- (x+3)×4 = 4x+12
- (x+1)×2 = 2x+2
- 2x+2 = 4x+12
- Simplificaremos a equação ao subtrair 2x de ambos os lados.
- 2 = 2x+12
- Aqui, isolaremos a variável ao subtrair 12 de ambos os lados.
- -10 = 2x
- Dividiremos ambos os números por 2 para desvendar x.
- -5 = x
Publicidade - Por exemplo, consideremos a equação [(x+3)/2] = [(x+1)/4)]. Nesse caso, como anteriormente, a resolveremos com a multiplicação cruzada:
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Multiplique as duas frações de modo cruzado. Em problemas de equivalência que requeiram a fórmula quadrática, ainda começaremos através da multiplicação cruzada. No entanto, qualquer multiplicação que envolva multiplicar termos variáveis por outros termos variáveis provavelmente resultará em uma expressão que não será facilmente resolvida com pura álgebra. Em casos como esse, pode ser preciso usar técnicas como fatoração e fórmulas quadráticas. [5] X Fonte de pesquisa
- Por exemplo, observemos a equação [(x+1)/3] = [4/(2x-2)]. Inicialmente, efetuaremos a multiplicação cruzada:
- (x+1)×(2x-2) = 2x 2 +2x-2x-2 = 2x 2 -2
- 4×3 = 12
- 2x 2 -2 = 12
- Por exemplo, observemos a equação [(x+1)/3] = [4/(2x-2)]. Inicialmente, efetuaremos a multiplicação cruzada:
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Expresse a equação como equação quadrática. A essa altura, queremos expressar essa equação em forma quadrática (ax 2 +bx+c = 0), o que pode ser feito igualando-a a zero. Nesse caso, subtrairemos 12 de ambos os lados para obter 2x 2 -14 = 0.
- Alguns valores podem se igualar a 0. Embora 2x 2 -14 = 0 seja a forma mais simples para a equação, a verdadeira equação quadrática é representada por 2x 2 +0x+(-14) = 0. É de grande ajuda observar a forma quadrática de uma equação mesmo quando alguns de seus valores são iguais a 0.
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Solucione-a inserindo os números de sua equação na fórmula quadrática. A fórmula quadrática x = [-b±√(b 2 -4ac)]/2a nos ajudará a descobrir o valor x. Não se intimide pelo tamanho da fórmula. [6] X Fonte de pesquisa Você está simplesmente tomando os valores da equação quadrática existente no passo dois e inserindo-os nos pontos apropriados antes de resolvê-la.
- [x = (-b±√(b 2
-4ac)]/2a
- Em nossa equação, 2x 2 -14=0, a = 2, b = 0 e c = -14.
- x = [-0±√(0 2 -4(2)(-14))]/2(2)
- x = [±√(0-(-112))]/2(2)
- x = [±√112]/2(2)
- x = ±√10,58/4
- x = ±2,64
- [x = (-b±√(b 2
-4ac)]/2a
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Confira a resposta inserindo o valor x de volta na equação quadrática. Ao inserir o valor calculado dentro da equação quadrática do passo dois, é possível determinar facilmente se você chegou à resposta correta. [7] X Fonte de pesquisa Nesse exemplo, você colocará tanto 2,64 como -2,64 dentro da equação quadrática.Publicidade
Dicas
- Converter frações à forma equivalente é um modo de multiplicá-las por 1. Ao converter 1/2 para 2/4, multiplicar o numerador e o denominador por 2 é o mesmo que multiplicar 1/2 por 2/2, resultando em 1.
- Se preferir, converta números mistos em frações impróprias para facilitar a conversão. Obviamente, nem todas as frações serão tão simples de converter como o exemplo 4/8 acima. Por exemplo, números mistos (como 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3, etc.) podem tornar o processo de conversão um pouco mais complicado. Se precisa converter um número misto em uma fração equivalente, pode fazê-lo de dois modos: transformando o número misto em uma fração imprópria e convertendo-a normalmente ou
mantendo o número misto e obtendo um número misto como resposta.
- Para convertê-lo em uma fração imprópria, multiplique o componente do número inteiro pelo denominador do componente fracional, agregando-o ao numerador. Por exemplo, 1 2/3 = [(1×3)+2]/3 = 5/3. A seguir, se você preferir, é possível convertê-lo livremente. Por exemplo, 5/x×2/2 = 10/6 , o que é equivalente a 1 2/3.
- No entanto, não é necessário convertê-lo em uma fração imprópria, como anteriormente descrito. Se não o fizermos, ignoraremos o componente de número inteiro, converteremos o componente fracional isolado e, a seguir, somaremos o componente de número inteiro inalterado. Por exemplo, no caso de 3 4/16, apenas observaremos 4/16. 4/16÷4/4 = 1/4. Desse modo, ao somar o componente de número inteiro, temos um novo número misto, ou 3 1/4 .
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Avisos
- A multiplicação e a divisão funcionam obtendo frações equivalentes porque multiplicar e dividir por formas fracionais do número 1 (2/2, 3/3, etc.) resultam, por definição, em respostas equivalentes à fração inicial. Adição e subtração não permitem essa possibilidade.
- Embora você multiplique os numeradores e os denominadores juntamente ao multiplicar frações, não será possível somar ou subtrair denominadores ao somar ou subtrair frações.
- Por exemplo, acima, descobrimos que 4/8÷4/4 = 1/2. Se, em vez disso, somarmos 4/4, teremos uma resposta completamente diferente: 4/8+4/4 = 4/8+8/8 = 12/8 = 1 1/2 ou 3/2 , nenhuma das quais é igual a 4/8.
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Referências
- ↑ http://www.themathpage.com/arith/equivalent-fractions.htm
- ↑ http://www.helpwithfractions.com/math-homework-helper/equivalent-fractions/
- ↑ http://www.helpwithfractions.com/math-homework-helper/equivalent-fractions/
- ↑ http://web.mnstate.edu/peil/MDEV102/U3/S22/S22_print.html
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/solvquad4.htm
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/solvquad4.htm
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/solvquad4.htm
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