Skip to Content

Вход/Регистрация

Как избавиться от иррациональности в знаменателе

Загрузить PDF

Информация об авторе

Источники

Загрузить PDF

В математике не принято оставлять корень или иррациональное число в знаменателе дроби. Если в знаменателе находится корень, умножьте дробь на некоторый член или выражение, чтобы избавиться от корня. Современные калькуляторы позволяют работать с корнями в знаменателе, но образовательная программа требует, чтобы учащиеся умели избавляться от иррациональности в знаменателе.

Метод 1

Метод 1 из 4:

Одночлен в знаменателе

Загрузить PDF

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/e2\/Rationalize-the-Denominator-Step-1-Version-5.jpg\/v4-460px-Rationalize-the-Denominator-Step-1-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/e\/e2\/Rationalize-the-Denominator-Step-1-Version-5.jpg\/v4-728px-Rationalize-the-Denominator-Step-1-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
Изучите дробь. Дробь записана корректно, если в знаменателе нет корня. Если в знаменателе есть квадратный или любой другой корень, нужно умножить числитель и знаменатель на некоторый одночлен, чтобы избавиться от корня. Обратите внимание, что в числителе может стоять корень — это нормально. ^{[1]
X
Источник информации}
- ${\frac {7{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {7}}}}$
- Здесь в знаменателе есть корень ${\sqrt {7}}$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a3\/Rationalize-the-Denominator-Step-2-Version-5.jpg\/v4-460px-Rationalize-the-Denominator-Step-2-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/a3\/Rationalize-the-Denominator-Step-2-Version-5.jpg\/v4-728px-Rationalize-the-Denominator-Step-2-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
Умножьте числитель и знаменатель на корень, который находится в знаменателе. Если в знаменателе находится одночлен, рационализировать такую дробь довольно просто. Умножьте числитель и знаменатель на один и тот же одночлен (то есть вы умножаете дробь на 1). ^{[2]
X
Источник информации}
- ${\frac {7{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {7}}}}\cdot {\frac {{\sqrt {7}}}{{\sqrt {7}}}}$
- Если вы вводите выражение для решения на калькуляторе, не забудьте заключить каждую часть в скобки, чтобы разделить их.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a2\/Rationalize-the-Denominator-Step-3-Version-5.jpg\/v4-460px-Rationalize-the-Denominator-Step-3-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/a2\/Rationalize-the-Denominator-Step-3-Version-5.jpg\/v4-728px-Rationalize-the-Denominator-Step-3-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
Упростите дробь (если возможно). В нашем примере ее можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 7. ^{[3]
X
Источник информации}
- ${\frac {7{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {7}}}}\cdot {\frac {{\sqrt {7}}}{{\sqrt {7}}}}={\frac {7{\sqrt {21}}}{14}}={\frac {{\sqrt {21}}}{2}}$
Реклама

Метод 2

Метод 2 из 4:

Двучлен (бином) в знаменателе

Загрузить PDF

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/75\/Rationalize-the-Denominator-Step-4-Version-5.jpg\/v4-460px-Rationalize-the-Denominator-Step-4-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/75\/Rationalize-the-Denominator-Step-4-Version-5.jpg\/v4-728px-Rationalize-the-Denominator-Step-4-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
Изучите дробь. Если в ее знаменателе находится сумма или разность двух одночленов, один из которых содержит корень, нельзя умножить дробь на такой бином, чтобы избавиться от иррациональности. ^{[4]
X
Источник информации}
- ${\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}$
- Чтобы понять это, запишите дробь ${\frac {1}{a+b}}$ , где одночлен $a$ или $b$ содержит корень. В этом случае: $(a+b)(a+b)=a^{{2}}+2ab+b^{{2}}$ . Таким образом, одночлен $2ab$ все равно будет включать корень (если $a$ или $b$ содержит корень).
- Рассмотрим это на нашем примере.
  - ${\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {2+{\sqrt {2}}}{2+{\sqrt {2}}}}={\frac {4(2+{\sqrt {2}})}{4+4{\sqrt {2}}+2}}$
- Вы видите, что в знаменателе нельзя избавиться от одночлена $4{\sqrt {2}}$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/d8\/Rationalize-the-Denominator-Step-5-Version-5.jpg\/v4-460px-Rationalize-the-Denominator-Step-5-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/d8\/Rationalize-the-Denominator-Step-5-Version-5.jpg\/v4-728px-Rationalize-the-Denominator-Step-5-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
Умножьте числитель и знаменатель на бином, сопряженный двучлену в знаменателе. Сопряженный бином — это бином с теми же одночленным, но с обратным знаком между ними. ^{[5]
X
Источник информации} Например, бином $2+{\sqrt {2}}$ сопряжен двучлену $2-{\sqrt {2}}.$
- ${\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {2-{\sqrt {2}}}{2-{\sqrt {2}}}}$
- Уясните смысл этого метода. Опять рассмотрим дробь ${\frac {1}{a+b}}$ . Умножьте числитель и знаменатель на бином, сопряженный двучлену в знаменателе: $(a+b)(a-b)=a^{{2}}-b^{{2}}$ . Таким образом, нет одночленов, которые содержат корни. Так как одночлены $a$ и $b$ возводятся в квадрат, корни будут ликвидированы.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/0\/0e\/Rationalize-the-Denominator-Step-6-Version-5.jpg\/v4-460px-Rationalize-the-Denominator-Step-6-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/0\/0e\/Rationalize-the-Denominator-Step-6-Version-5.jpg\/v4-728px-Rationalize-the-Denominator-Step-6-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
Упростите дробь (если возможно). Если в числителе и знаменателе присутствует общий множитель, сократите его. В нашем случае 4 - 2 = 2, что можно использовать для сокращения дроби. ^{[6]
X
Источник информации}
- ${\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {2-{\sqrt {2}}}{2-{\sqrt {2}}}}={\frac {4(2-{\sqrt {2}})}{4-2}}=4-2{\sqrt {2}}$
Реклама

Метод 3

Метод 3 из 4:

Обратное выражение

Загрузить PDF

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/ae\/Rationalize-the-Denominator-Step-7-Version-5.jpg\/v4-460px-Rationalize-the-Denominator-Step-7-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/ae\/Rationalize-the-Denominator-Step-7-Version-5.jpg\/v4-728px-Rationalize-the-Denominator-Step-7-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
Изучите задачу. Если нужно найти выражение, обратное данному, которое содержит корень, придется рационализировать полученную дробь (и только потом упрощать ее). В этом случае используйте метод, описанный в первом или втором разделах (в зависимости от задачи). ^{[7]
X
Источник информации}
- $2-{\sqrt {3}}$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/8\/84\/Rationalize-the-Denominator-Step-8-Version-5.jpg\/v4-460px-Rationalize-the-Denominator-Step-8-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/8\/84\/Rationalize-the-Denominator-Step-8-Version-5.jpg\/v4-728px-Rationalize-the-Denominator-Step-8-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
Запишите обратное выражение. Для этого разделите 1 на данное выражение; если дана дробь, поменяйте местами числитель и знаменатель. ^{[8]
X
Источник информации} Помните, что любое выражение является дробью, в знаменателе которой находится 1.
- ${\frac {1}{2-{\sqrt {3}}}}$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/b\/b8\/Rationalize-the-Denominator-Step-9-Version-5.jpg\/v4-460px-Rationalize-the-Denominator-Step-9-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/b\/b8\/Rationalize-the-Denominator-Step-9-Version-5.jpg\/v4-728px-Rationalize-the-Denominator-Step-9-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
Умножьте числитель и знаменатель на некоторое выражение, чтобы избавиться от корня. Умножая числитель и знаменатель на одно и то же выражение, вы умножаете дробь на 1, то есть значение дроби не меняется. В нашем примере дан бином, поэтому умножьте числитель и знаменатель на сопряженный двучлен. ^{[9]
X
Источник информации}
- ${\frac {1}{2-{\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {2+{\sqrt {3}}}{2+{\sqrt {3}}}}$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/9\/9e\/Rationalize-the-Denominator-Step-10-Version-5.jpg\/v4-460px-Rationalize-the-Denominator-Step-10-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/9\/9e\/Rationalize-the-Denominator-Step-10-Version-5.jpg\/v4-728px-Rationalize-the-Denominator-Step-10-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
Упростите дробь (если возможно). В нашем примере 4 - 3 = 1, так что выражение в знаменателе дроби можно сократить полностью. ^{[10]
X
Источник информации}
- ${\frac {1}{2-{\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {2+{\sqrt {3}}}{2+{\sqrt {3}}}}={\frac {2+{\sqrt {3}}}{4-3}}=2+{\sqrt {3}}$
- В ответе получился бином, сопряженный данному биному. Это просто совпадение.
Реклама

Метод 4

Метод 4 из 4:

Кубический корень в знаменателе

Загрузить PDF

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/3\/39\/Rationalize-the-Denominator-Step-11-Version-5.jpg\/v4-460px-Rationalize-the-Denominator-Step-11-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/3\/39\/Rationalize-the-Denominator-Step-11-Version-5.jpg\/v4-728px-Rationalize-the-Denominator-Step-11-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
Изучите дробь. В задаче могут встретиться кубические корни, хотя это довольно редко. Описанный метод применим к корням любой степени. ^{[11]
X
Источник информации}
- ${\frac {3}{{\sqrt[ {3}]{3}}}}$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/d1\/Rationalize-the-Denominator-Step-12-Version-5.jpg\/v4-460px-Rationalize-the-Denominator-Step-12-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/d1\/Rationalize-the-Denominator-Step-12-Version-5.jpg\/v4-728px-Rationalize-the-Denominator-Step-12-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
Перепишите корень в виде степени. Здесь нельзя умножить числитель и знаменатель на некоторый одночлен или выражение, потому что рационализация осуществляется немного по-другому. ^{[12]
X
Источник информации}
- ${\frac {3}{3^{{1/3}}}}$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/f6\/Rationalize-the-Denominator-Step-13-Version-5.jpg\/v4-460px-Rationalize-the-Denominator-Step-13-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/f\/f6\/Rationalize-the-Denominator-Step-13-Version-5.jpg\/v4-728px-Rationalize-the-Denominator-Step-13-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
Умножьте числитель и знаменатель дроби на некоторую степень, чтобы показатель степени в знаменателе стал равен 1. В нашем примере умножьте дробь на ${\frac {3^{{2/3}}}{3^{{2/3}}}}$ . Помните, что при умножении степеней их показатели складываются: $a^{{b}}a^{{c}}=a^{{b+c}}.$ ^{[13]
X
Источник информации}
- ${\frac {3}{3^{{1/3}}}}\cdot {\frac {3^{{2/3}}}{3^{{2/3}}}}$
- Этот метод применим к любым корням степени n. Если дана дробь ${\frac {1}{a^{{1/n}}}}$ , умножьте числитель и знаменатель на $a^{{1-{\frac {1}{n}}}}$ . Таким образом, показатель степени в знаменателе станет равным 1.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/3\/3f\/Rationalize-the-Denominator-Step-14-Version-5.jpg\/v4-460px-Rationalize-the-Denominator-Step-14-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/3\/3f\/Rationalize-the-Denominator-Step-14-Version-5.jpg\/v4-728px-Rationalize-the-Denominator-Step-14-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
Упростите дробь (если возможно). ^{[14]
X
Источник информации}
- ${\frac {3}{3^{{1/3}}}}\cdot {\frac {3^{{2/3}}}{3^{{2/3}}}}=3^{{2/3}}$
- Если нужно, в ответе запишите корень. В нашем примере показатель степени разложите на два множителя: $1/3$ и $2$ .
  - $3^{{2/3}}=(3^{{2}})^{{1/3}}={\sqrt[ {3}]{9}}$
Реклама

Дополнительные статьи

Реклама

Источники

Еще источники

Об этой статье

wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали авторы-волонтеры. Количество просмотров этой статьи: 254 223.

Категории: Математика

На других языках

Английский

Итальянский

Португальский

Испанский

Французский

Индонезийский

Печать

Эту страницу просматривали 254 223 раза.

Была ли эта статья полезной?

Реклама

Куки помогают сделать WikiHow лучше. Продолжая использовать наш сайт, вы соглашаетесь с нашими куки правилами .

Дополнительные статьи

Подпишитесь на нас

Поделиться

-

-

2741

.mwimg a.image{display:none}#header_logo{display:none}#cse-search-box{display:none}#cse-search-box-noscript{display:block !important}#cse-search-box-noscript .cse_q{color:#FFF;background-color:#B3CE9C}.wh_search .cse_q{width:88%}#mw-mf-main-menu-button{display:none;visibility:hidden}.header .search{display:none}#search_footer .cse_sa{background-image:url(/extensions/wikihow/mobile/images/white_mag.png);background-size:22px}.related_box{display:block;background:#EEE;border:5px solid #FFF;vertical-align:bottom;width:127px;background-size:180px;float:left;height:120px;position:relative}.related_box p{line-height:15px !important;font-size:13px;background-color:rgba(67,95,44,.4);color:#FFF;font-weight:bold;padding:8px;margin:0 !important;position:absolute;bottom:0}#noscript_header_logo{display:table-cell;vertical-align:middle;background-position:50% 77%;background-repeat:no-repeat;background-image:url(/extensions/wikihow/mobile/images/wikihow_logo_230.png);background-size:105px;width:auto;height:51px;padding:0 14px}.articleinfo{display:none}#iorg_free_data{z-index:50;width:100%;position:fixed}#ara_recommendations{display:none}

Design a Mobile Website

View Site in Mobile | Classic

Share by: