Загрузить PDF
Загрузить PDF
Все прямоугольные треугольники имеют один прямой угол (90 градусов), а противоположная ему сторона называется гипотенузой. [1] X Источник информации Гипотенуза — самая длинная сторона треугольника, и найти ее можно различными способами. В этой статье мы расскажем вам, как найти гипотенузу по теореме Пифагора (когда известны длины двух других сторон треугольника), по теореме синусов (когда известны длина катета и угол) и в некоторых частных случаях (часто такие задания встречаются на контрольных и тестах).
Шаги
-
Убедитесь, что данный вам треугольник является прямоугольным, так как теорема Пифагора применима только к прямоугольным треугольникам. В прямоугольных треугольниках один из трех углов всегда равен 90 градусам.
- Прямой угол в прямоугольном треугольнике обозначается значком в виде квадрата.
-
Обозначьте стороны треугольника. Катеты обозначьте как «а» и «b» (катеты — стороны, пересекающиеся под прямым углом), а гипотенузу — как «с» (гипотенуза — самая большая сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла). Затем подставьте данные вам значения в формулу.
- Например, катеты треугольника равны 3 и 4. В этом случае а = 3, b = 4, а формула выглядит так: 3 2 + 4 2 = c 2 .
-
Возведите в квадрат значения катетов («a» и «b»). Для этого просто умножьте число само на себя:
- Если a = 3, то a 2 = 3 x 3 = 9. Если b = 4, то b 2 = 4 x 4 = 16.
- Подставьте эти значения в формулу: 9 + 16 = с 2 .
-
Сложите найденные квадраты катетов (a 2 и b 2 ), чтобы вычислить квадрат значения гипотенузы (с 2 ).
- В нашем примере 9 + 16 = 25 , поэтому с 2 = 25 .
-
Найдите квадратный корень с 2 . Используйте калькулятор, чтобы извлечь квадратный корень из найденного значения. Так вы вычислите гипотенузу треугольника.
- В нашем примере с 2 = 25 . Квадратный корень из 25 равен 5 (так как 5 х 5 = 25 , поэтому √25 = 5 ). Это означает, что гипотенуза с = 5 .
Реклама
-
Определение пифагоровой тройки. Пифагорова тройка — это три числа (длины трех сторон), которые удовлетворяют теореме Пифагора. Очень часто треугольники с такими сторонами приводятся в учебниках и на тестах. Если вы запомните первые несколько пифагоровых троек, вы сэкономите много времени на тестах или экзаменах, потому что сможете вычислить гипотенузу, просто взглянув на длины катетов. [4] X Источник информации
- Первая пифагорова тройка: 3-4-5 (3 2 + 4 2 = 5 2 , 9 + 16 = 25). Если дан треугольник с катетами 3 и 4, то вы можете с уверенностью заявить, что гипотенуза равна 5 (без необходимости делать какие-либо расчеты).
- Пифагоровы тройки работают даже в том случае, когда числа умножены или разделены на один коэффициент. Например, если катеты равны 6 и 8 , гипотенуза равна 10 (6 2 + 8 2 = 10 2 , 36 + 64 = 100). То же самое верно для 9-12-15 и даже для 1,5-2-2,5 .
- Вторая пифагорова тройка: 5-12-13 (5 2 + 12 2 = 13 2 , 25 + 144 = 169). Также к этой тройке относятся, например, числа 10-24-26 и 2,5-6-6,5 .
-
Равнобедренный прямоугольный треугольник. Это такой треугольник, углы которого равны 45,45 и 90 градусам. Соотношение между сторонами этого треугольника равно 1:1:√2 . Это означает, что гипотенуза в таком треугольнике равна произведению катета и квадратного корня из 2.
- Чтобы вычислить гипотенузу такого треугольника, просто умножьте длину любого катета на √2. [5] X Источник информации
- Это соотношение особенно удобно, когда в задачах вместо числовых значений даются переменные.
-
Половина равностороннего прямоугольного треугольника. Это такой треугольник, углы которого равны 30,60 и 90 градусам. Соотношение между сторонами этого треугольника равно 1:√3:2 или х:х√3:2х . Чтобы найти гипотенузу в таком треугольнике выполните одно из следующих действий: [6] X Источник информации
- Если вам дан короткий катет (противолежащий углу в 30 градусов), просто умножьте длину этого катета на 2, чтобы найти длину гипотенузы. Например, если короткий катет равен 4 , то гипотенуза равна 8 .
- Если вам дан длинный катет (противолежащий углу в 60 градусов), просто умножьте длину этого катета на 2/√3 , чтобы найти длину гипотенузы. Например, если короткий катет равен 4 , то гипотенуза равна 4,62 .
Реклама
-
Поймите, что означает «синус». Синус, косинус и тангенс угла — это основные тригонометрические функции, связывающие углы и стороны в прямоугольном треугольнике. Синус угла равен отношению противолежащей стороны к гипотенузе . Обозначается синус как sin . [7] X Источник информации
-
Научитесь вычислять синус. Чтобы вычислить синус, на калькуляторе найдите клавишу sin , нажмите ее, а затем введите значение угла. В некоторых калькуляторах сначала нужно нажать клавишу перехода к работе с функциями, а затем нажать клавишу sin . Поэтому поэкспериментируйте с калькулятором или проверьте его документацию.
- Чтобы найти синус угла в 80 градусов, нажмите «sin», «8», «0», «=» или нажмите «8», «0», «sin», «=» (ответ: -0,9939).
- Вы также можете найти онлайн-калькулятор, введя в поисковой системе «вычисление синуса» (без кавычек). [8] X Источник информации
-
Запомните теорему синусов. Теорема синусов является полезным инструментом для вычисления углов и сторон любого треугольника. В частности, она поможет вам найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если вам дан катет и угол, отличный от прямого. Согласно теореме синусов, в любом треугольнике со сторонами a , b , c и углами A , B , C верно равенство a / sin A = b / sin B = c / sin С . [9] X Источник информации
- Теорема синусов применяется к любым треугольникам, а не только к прямоугольным (но только в прямоугольном треугольнике есть гипотенуза).
-
Обозначьте стороны треугольника через «а» (известный катет), «b» (неизвестный катет), «с» (гипотенуза). Затем обозначьте углы треугольника через «А» (напротив катета «а»), «В» (напротив катета «b»), «С» (напротив гипотенузы).
-
Найдите третий угол. Если вам дан один из острых углов прямоугольного треугольника ( А или В ), а второй угол всегда равен 90 градусам ( С = 90 ), то третий угол вычисляется по формуле 180 - (90 + А) = B (помните, что сумма углов в любом треугольнике равна 180 градусам). При необходимости уравнение можно изменить и так: 180 - (90 + B) = A .
- Например, если угол A = 40 градусам , то B = 180 - (90 + 40) = 180 - 130 = 50 градусов .
-
На данном этапе вам известны значения всех трех углов и длина катета «а». Теперь вы можете подставить эти значения в формулу теоремы синусов, чтобы найти две другие стороны.
- В нашем примере допустим, что катет а = 10, а углы равны C = 90˚, A = 40˚, В = 50˚.
-
Подставьте данные и найденные значения в теорему синусов, чтобы найти гипотенузу: катет «а»/синус угла «A» = гипотенуза «с»/синус угла «С» . При этом sin 90˚ = 1. Таким образом, уравнение упрощается до: а/sinA = с/1 или с = а/sinA .
-
Разделите длину катета «а» на синус угла «А», чтобы найти длину гипотенузы. Для этого сначала найдите синус угла, а затем выполните деление. Или вы можете воспользоваться калькулятором, введя 10/(sin40) или 10/(40sin) (не забудьте про скобки).
- В нашем примере sin 40 = 0,64278761, а с = 10/0,64278761 = 15,6 .
Реклама
Источники
- ↑ http://www.mathsisfun.com/definitions/hypotenuse.html
- ↑ http://mathematica.ludibunda.ch/pythagoras6.html
- ↑ http://www.wikihow.com/Use-the-Pythagorean-Theorem
- ↑ http://www.dummies.com/how-to/content/working-with-pythagorean-triple-triangles.html
- ↑ http://www.regentsprep.org/regents/math/algtrig/att2/ltri45.htm
- ↑ http://www.dummies.com/how-to/content/identifying-the-30-60-90-degree-triangle.html
- ↑ https://www.mathsisfun.com/definitions/sine.html
- ↑ http://www.rapidtables.com/calc/math/Sin_Calculator.htm
- ↑ http://www.mathsisfun.com/algebra/trig-sine-law.html
Реклама