Загрузить PDF
Загрузить PDF
Математики и физики часто вычисляют угол между двумя данными векторами. Для вычисления такого угла применяют формулу, которая основана на скалярном произведении векторов. Формула может применяться для векторов как в двумерном, так и в многомерном пространствах.
Шаги
-
Запишите информацию о двух векторах. В этой статье мы будем рассматривать векторы в двумерном пространстве. [1] X Источник информации Если длины векторов вам даны, пропустите некоторые из следующих шагов.
- Пример. Даны векторы = (2,2) и = (0,3). Эти векторы также можно записать в виде = 2 i + 2 j и = 0 i + 3 j = 3 j .
- Наш пример рассматривает двумерные векторы, но описанные ниже инструкции можно применять и к многомерным векторам.
-
Запишите формулу. Чтобы найти угол θ между двумя векторами, начните с нахождения косинуса этого угла. (Об этой формуле мы расскажем в следующем разделе.) [2] X Источник информации
- cosθ = ( • ) / (|| || || ||)
- || || – это длина вектора .
- • – это скалярное произведение двух векторов.
-
Вычислите скалярное произведение двух векторов. [3] X Источник информации Для этого перемножьте соответствующие компоненты двух векторов и сложите полученные значения. [4] X Источник информации
- • = u 1 v 1 + u 2 v 2 , где u = (u 1 , u 2 ). Если ваши вектора имеют более двух компонент, просто продолжайте прибавлять произведения их компонентов: + u 3 v 3 + u 4 v 4 ...
- Таким образом, в двухмерном векторе, || u || = √(u 1 2 + u 2 2 ) .
- В нашем примере: • = u 1 v 1 + u 2 v 2 = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6 .
-
Вычислите длину каждого вектора. Нарисуйте прямоугольный треугольник, сторонами которого будет сам вектор (гипотенуза), его х-компонента и его у-компонента (катеты). Теперь найдите длину вектора при помощи теоремы Пифагора (ее можно применять к многокомпонентным векторам). [5] X Источник информации
- ||u|| 2 = u 1 2 + u 2 2 . Если ваши вектора имеют более двух компонент, просто продолжайте прибавлять: +u 3 2 + u 4 2 + ...
- Таким образом, для двумерного вектора: ||u|| = √(u 1 2 + u 2 2 ) .
- В нашем примере: || || = √(2 2 + 2 2 ) = √(8) = 2√2 . || || = √(0 2 + 3 2 ) = √(9) = 3 .
-
Подставьте найденные значения (длину векторов и их скалярное произведение) в формулу cosθ = ( • ) / (|| || || ||).
- В нашем примере: cosθ = 6 / ( 2√2 * 3 ) = 1 / √2 = √2 / 2.
-
Найдите угол по его косинусу. Вы можете использовать кнопку arccos или cos -1 на калькуляторе, чтобы найти угол θ по известному значению cosθ. В некоторых случаях вы можете найти угол, пользуясь единичной окружностью .
- В нашем примере, cosθ = √2/2. На единичной окружности это значение соответствует углу ' θ = π / 4 или 45º
- Совмещая все, получаем формулу : угол θ = arccosin(( • ) / ( || || || || ))
Реклама
'.
-
Эта формула была выведена для определения скалярного произведения двух векторов и угла между ними. [6] X Источник информации Но эту формулу не взяли «с потолка». Она была выведена, основываясь на геометрических принципах.
- Приведенные ниже примеры рассматривают двумерные вектора (потому что с ними проще работать). Векторы с тремя или более компонентами имеют свойства, определяемые аналогичной формулой.
-
Теорема косинусов. Рассмотрите произвольный треугольник с углом θ между сторонами а и b и противоположной ему стороной с. Теорема косинусов гласит: c 2 = a 2 + b 2 -2ab cos (θ). [7] X Источник информации
-
Соедините два вектора так, чтобы получить треугольник. Нарисуйте два двумерных вектора и с углом θ между ними. Проведите третий вектор так, чтобы получился треугольник. Другими словами, нарисуйте вектор так, чтобы + = . Таким образом, = - . [8] X Источник информации
-
Запишите теорему косинусов для полученного треугольника:
- ||(a - b)|| 2 = ||a|| 2 + ||b|| 2 - 2||a|| ||b|| cos (θ)
-
Перепишите полученное уравнение через скалярное произведение двух векторов. Скалярное произведение – это умножение длины вектора «x» на проекцию вектора «y» на вектор «x». Но скалярное произведение вектора на самого себя не требует каких-либо проекций. [9] X Источник информации Это означает, что • = ||a|| 2 /. Используйте этот факт, чтобы переписать уравнение в виде:
- ( - ) • ( - ) = • + • - 2||a|| ||b|| cos (θ)
-
Раскройте скобки в левой части уравнения и упростите его.
- • - • - • + • = • + • - 2||a|| ||b|| cos (θ)
- - • - • = -2||a|| ||b|| cos (θ)
- -2( • ) = -2||a|| ||b|| cos (θ)
- • = ||a|| ||b|| cos (θ)
Реклама
Советы
- Для ускорения решения используйте следующую формулу для любой пары двумерных векторов: cosθ = (u 1 • v 1 + u 2 • v 2 ) / (√(u 1 2 • u 2 2 ) • √(v 1 2 • v 2 2 )).
- Если вы работаете на компьютере в графической программе, вам, скорее всего нужно только направление вектора, а не длина. Используйте эти шаги, чтобы упростить уравнения и ускорить вашу программу: [10]
X
Источник информации
[11]
X
Источник информации
- Нормализмруйте каждый вектор, поэтому длина становится 1. Для этого делим каждый компонент вектора на длину вектора.
- Берем скалярное произведение нормализованных векторов вместо исходных векторов.
- После того, как длину нашли равной 1, оставьте ее так как ваше окончательное уравнение для угла arccos( • ).
- На основе описанной формулы вы можете быстро определить, является ли угол острым или тупым. Начните с cosθ = (
•
) / (||
|| ||
||):
- Левая сторона и правая стороны уравнения должны иметь одинаковый знак (положительный или отрицательный).
- Так как длины всегда положительны, cosθ должен иметь тот же знак, что и скалярное произведение.
- Таким образом, если скалярное произведение положительно, cosθ положителен. В этом случае угол лежит в первом квадранте единичного круга (θ <π/2 или 90º). Угол острый.
- Если скалярное произведение отрицательно, cosθ тоже отрицателен. Угол лежит во втором квадранте единичного круга (π/2<θ ≤ π или 90º<θ ≤180º). Угол тупой.
Реклама
Источники
- ↑ http://mathinsight.org/vectors_cartesian_coordinates_2d_3d
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/
- ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/vectors-dot-product.html
- ↑ http://mathinsight.org/dot_product_formula_components
- ↑ http://mathinsight.org/vectors_cartesian_coordinates_2d_3d
- ↑ http://mathforum.org/library/drmath/view/54087.html
- ↑ http://www.regentsprep.org/regents/math/algtrig/att12/derivelawofsines.htm
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/dot_cross_products/v/defining-the-angle-between-vectors
- ↑ http://physics.info/vector-multiplication/
Реклама