Загрузить PDF
Загрузить PDF
График функции – это наглядное представление поведения некоторой функции на координатной плоскости. Графики помогают понять различные аспекты функции, которые невозможно определить по самой функции. Можно построить графики множества функций, причем каждая из них будет задана определенной формулой. График любой функции строится по определенному алгоритму (если вы забыли точный процесс построения графика конкретной функции).
Шаги
-
Определите, является ли функция линейной. Линейная функция задается формулой вида или (например, ), а ее график представляет собой прямую. Таким образом, формула включает одну переменную и одну константу (постоянную) без каких-либо показателей степеней, знаков корня и тому подобного. Если дана функция аналогичного вида, построить график такой функции довольно просто. Вот другие примеры линейных функций:
- [1] X Источник информации
-
Воспользуйтесь константой, чтобы отметить точку на оси Y. Константа (b) является координатой «у» точки пересечения графика с осью Y. То есть это точка, координата «х» которой равна 0. Таким образом, если в формулу подставить х = 0, то у = b (константе). В нашем примере константа равна 5, то есть точка пересечения с осью Y имеет координаты (0,5). Нанесите эту точку на координатную плоскость.
-
Найдите угловой коэффициент прямой. Он равен множителю при переменной. В нашем примере при переменной «х» находится множитель 2; таким образом, угловой коэффициент равен 2. Угловой коэффициент определяет угол наклона прямой к оси X, то есть чем больше угловой коэффициент, тем быстрее возрастает или убывает функция.
-
Запишите угловой коэффициент в виде дроби. Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона, то есть отношению вертикального расстояния (между двумя точками на прямой) к горизонтальному расстоянию (между этими же точками). В нашем примере угловой коэффициент равен 2, поэтому можно заявить, что вертикальное расстояние равно 2, а горизонтальное расстояние равно 1. Запишите это в виде дроби: .
- Если угловой коэффициент отрицательный, функция убывает.
-
От точки пересечения прямой с осью Y нанесите вторую точку, используя вертикальное и горизонтальное расстояния. График линейной функции можно построить по двум точкам. В нашем примере точка пересечения с осью Y имеет координаты (0,5); от этой точки передвиньтесь на 2 деления вверх, а затем на 1 деление вправо. Отметьте точку; она будет иметь координаты (1,7). Теперь можно провести прямую.
-
При помощи линейки проведите прямую через две точки. Во избежание ошибок найдите третью точку, но в большинстве случаев график можно построить по двум точкам. Таким образом, вы построили график линейной функции.Реклама
-
Определите функцию. Функция обозначается как f(x). Все возможные значения переменной «у» называются областью значений функции, а все возможные значения переменной «х» называются областью определения функции. Например, рассмотрим функцию y = x+2, а именно f(x) = x+2.
-
Нарисуйте две пересекающиеся перпендикулярные прямые. Горизонтальная прямая – это ось Х. Вертикальная прямая – это ось Y.
-
Обозначьте оси координат. Разбейте каждую ось на равные отрезки и пронумеруйте их. Точка пересечения осей – это 0. Для оси Х: справа (от 0) наносятся положительные числа, а слева отрицательные. Для оси Y: сверху (от 0) наносятся положительные числа, а снизу отрицательные.
-
Найдите значения «у» по значениям «х». В нашем примере f(x) = х+2. Подставьте в эту формулу определенные значения «х», чтобы вычислить соответствующие значения «у». Если дана сложная функция, упростите ее, обособив «у» на одной стороне уравнения.
- -1: -1 + 2 = 1
- 0: 0 +2 = 2
- 1: 1 + 2 = 3
-
Нанесите точки на координатную плоскость. Для каждой пары координат сделайте следующее: найдите соответствующее значение на оси Х и проведите вертикальную линию (пунктиром); найдите соответствующее значение на оси Y и проведите горизонтальную линию (пунктиром). Обозначьте точку пересечения двух пунктирных линий; таким образом, вы нанесли точку графика.
-
Сотрите пунктирные линии. Сделайте это после нанесения на координатную плоскость всех точек графика. Примечание: график функции f(х) = х представляет собой прямую, проходящую через центр координат [точку с координатами (0,0)]; график f(х) = х + 2 – это прямая, параллельная прямой f(х) = х, но сдвинутая на две единицы вверх и поэтому проходящая через точку с координатами (0,2) (потому что постоянная равна 2). [2] X Источник информацииРеклама
-
Запомните алгоритм построения графиков распространенных функций. Методов построения графиков так же много, как типов функций. Если вы забыли, как строить графики определенных функций, прочитайте следующие статьи о:
- Квадратном уравнении
- Рациональной функции
- Логарифмическом уравнении
- Неравенствах (это не функции, но информация не будет лишней).
-
Найдите нули функции. Нули функции – это значения переменной «х», при которых у = 0, то есть это точки пересечения графика с осью Х. Имейте в виду, что нули имеют не все функции, но это первый шаг процесса построения графика любой функции. Чтобы найти нули функции, приравняйте ее к нулю. Например:
- Приравняйте F(x) к нулю:
- Решите уравнение:
- [3] X Источник информации
-
Найдите и отметьте горизонтальные асимптоты. Асимптота – это прямая, к которой график функции приближается, но никогда не пересекает ее (то есть в этой области функция не определена, например, при делении на 0). Асимптоту отметьте пунктирной линией. Если переменная «х» находится в знаменателе дроби (например, ), приравняйте знаменатель к нулю и найдите «х». В полученных значения переменной «х» функция не определена (в нашем примере проведите пунктирные линии через х = 2 и х = -2), потому что на 0 делить нельзя. Но асимптоты существуют не только в случаях, когда функция содержит дробное выражение. Поэтому рекомендуется пользоваться здравым смыслом:
- Некоторые функции, переменные которых возводятся в квадрат (например, ), не могут иметь отрицательные значения. В этом случае асимптота проходит через n = 0.
- Если вы не работаете с мнимыми числами, нельзя извлечь квадрат из отрицательного числа ( ) [4] X Источник информации
- Сложные показательные функции могут иметь множество асимптот.
-
Найдите координаты нескольких точек и нанесите их на координатную плоскость. Просто выберите несколько значений «х» и подставьте их в функцию, чтобы найти соответствующие значения «у». Затем нанесите точки на координатную плоскость. Чем сложнее функция, тем больше точек нужно найти и нанести. В большинстве случаев подставьте х = -1; х = 0; х = 1, но если функция сложная, найдите по три точки с каждой стороны от начала координат. [5] X Источник информации
- В случае функции подставьте следующие значения «х»: -1, 0, 1, -2, 2, -10, 10. Вы получите достаточное количество точек.
- Выбирайте значения «х» с умом. В нашем примере несложно понять, что отрицательный знак не играет роли: значение «у» при х = 10 и при х = -10 будет одним и тем же.
-
Определите поведение функции при больших значения переменной «х». Так можно найти общее направление графика функции, который иногда до бесконечности приближается к асимптоте. Например, нетрудно догадаться, что график функции возрастает до бесконечности: при увеличении огромного значения «х» всего-навсего на 1 (с 1000000 на 1000001), значение «у» увеличится на гораздо большую величину. Определить поведение функции при больших значения «х» можно несколькими способами:
- В функцию подставьте 2-4 больших значения «х» (половину отрицательных и половину положительных), а затем полученные точки нанесите на координатную плоскость.
- Подумайте, что будет, если вместо «х» подставить «бесконечность»? Значение «у» будет бесконечно большим или бесконечно малым?
- Если в функции показатели степени одинаковые (например, ), разделите множители при «х» ( ), чтобы найти асимптоту (-0,5). [6] X Источник информации
- Если в функции показатели степени разные, разделите выражение, стоящее в числителе, на выражение, стоящее в знаменателе.
-
Соедините точки (5-6 точек), чтобы построить график функции. При этом график не должен пересекать (и касаться) асимптоты. График продолжите в соответствии с найденным поведением функции при больших значениях переменной «х».
-
Постройте совершенный график при помощи графического калькулятора. Графические калькуляторы представляют собой мощные карманные компьютеры, при помощи которых можно построить точный график любой функции. Такие калькуляторы способны находить точные координаты точек и угловые коэффициенты прямых, а также быстро строить графики самых сложных функций. Просто введите точную формулу функции (обычно это делается при помощи клавиши «F(х)=») и нажмите соответствующую клавишу, чтобы построить график.Реклама
Советы
- Практикуйте ваши навыки с использованием графических калькуляторов. Сначала попробуйте построить график вручную, а затем воспользуйтесь калькулятором, чтобы получить точный график и сравнить оба результата.
- Если вы не знаете, что делать, начните с подстановки в функцию различных значений «х», чтобы найти значения «у» (и, следовательно, координаты точек). Теоретически график функции можно построить при помощи только этого метода (если, конечно, подставить бесконечное разнообразие значений «х»).
Реклама
Источники
- ↑ http://www.columbia.edu/itc/sipa/math/linear.html
- ↑ http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/GraphFunctions.aspx
- ↑ http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/GraphFunctions.aspx
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/grphrtnl.htm
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/grphrtnl.htm
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/asymtote2.htm
Об этой статье
Эту страницу просматривали 126 325 раз.
Реклама
