Многочлен содержит переменную (х), возведенную в степень, и несколько членов и/или свободных членов. Разложение многочлена на множители – разбиение его на короткие и простые многочлены, которые перемножаются друг с другом. Умение раскладывать многочлен на множители требует достаточных математических знаний и навыков.
Шаги
-
Запишите уравнение. Стандартная форма квадратного уравнения:
ax 2 + bx + c = 0
Расставьте члены, начиная с наивысшего порядка. Рассмотрим пример:
6 + 6x 2 + 13x = 0
Приведите данное уравнение к стандартной форме квадратного уравнения (просто поменяв местами члены):
6x 2 + 13x + 6 = 0 -
Разложите на множители, используя один из методов, приведенных ниже. Разложение многочлена на множители – это разбиение его на короткие и простые многочлены, которые перемножаются друг с другом.
6x 2 + 13x + 6 = (2x + 3)(3x + 2)
В этом примере двучлены (2x +3) и (3x + 2) являются множителями исходного многочлена 6x 2 + 13x + 6. -
Проверьте работу путем перемножения членов и сложения одинаковых (подобных) членов.
(где 4х и 9х – подобные члены). Таким образом, мы правильно разложили многочлен на множители, так как при их перемножении мы получили исходный многочлен.
(2x + 3)(3x + 2)
6x 2 + 4x + 9x + 6
6x 2 + 13x + 6Реклама
Если вам дан довольно простой многочлен, вы можете самостоятельно разложить его на множители. Например, опытные математики могут сходу определить, что многочлен 4x 2
+ 4x + 1
имеет множители (2x + 1) и (2x + 1). (Заметьте, этот метод не будет таким простым при разложении более сложного многочлена.) Рассмотрим пример:
-
Запишите пары множителей коэффициентов a и c . Используя выражение вида ax 2 + bx + c = 0 , определите коэффициенты a и c . В нашем примере
a = 3 и множители: 1 * 3
c = -8 и множители: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, -1 * 8. -
Напишите две пары скобок с пробелами, вместо которых поставите найденные свободные члены:
( x )( x ) -
Перед x поставьте пару множителей для коэффициента a . В нашем примере такая пара только одна:
(3x )(1x ) -
После x поставьте пару множителей для с . Допустим, мы возьмем 8 и 1. Получим:
(3x 8 )(x 1 ) -
Решите, какой знак поставить между x и числами (свободными членами). В зависимости от знаков в исходном уравнении можно определить знаки перед свободными членами. Обозначим свободные члены в наших двучленах-множителях через h и k :
Если ax 2 + bx + c, то (x + h)(x + k)
Если ax 2 - bx - c или ax 2 + bx – c, то (x - h)(x + k)
Если ax 2 - bx + c, то (x - h)(x - k)
В нашем примере 3x 2 + 2x – 8, поэтому (x - h)(x + k) и
(3x + 8)(x - 1) -
Проверьте результаты, перемножив выражения в скобках. Если уже второй член (с переменной х) неправильный (неважно, отрицательный или положительный), вы выбрали не ту пару множителей c .
(3x + 8)(x - 1)
3x 2 - 3x + 8x - 8
3x 2 - 3x + 8x - 8 = 3x 2 + 5x - 8 ≠ 3x 2 + 2x - 8Таким образом, при перемножении множителей получаем выражение, которое не равно исходному; это значит, что мы выбрали не ту пару множителей. -
Поменяйте пару множителей c . В нашем примере, возьмем 2 и 4 вместо 1 и 8.
(3x + 2)(x - 4)
Теперь c = -8. Однако (3x * -4) + (2 * x) = -12x+2x = -10х, то есть теперь b = -10х, а в исходном уравнении b = 2x (получили неверное значение b ). -
Поменяйте порядок множителей. Поменяем местами 2 и 4:
(3x + 4)(x - 2)
c такой, каким должен быть (4 * -2 = -8). -6x+4x дают нам правильную величину (2х), но неправильный знак перед ней (-2х вместо +2х). -
Поменяйте знаки. Порядок членов в скобках оставляем прежним, но меняем знаки:
(3x - 4)(x + 2)
c такой, каким должен быть (-8), а
b = 6x - 4x = 2x
2x = 2x что и требовалось. Таким образом, мы нашли правильные множители исходного уравнения.Реклама
Используя этот метод, можно определить все множители коэффициентов a
и c
и использовать их при нахождении множителей данного уравнения. Если числа большие или вам надоело угадывать, воспользуйтесь этим способом. Рассмотрим пример:
-
Умножьте коэффициент a (6 в нашем примере) на коэффициент c (тоже 6 в нашем примере).
6 * 6 = 36 -
Найдите коэффициент b разложением на множители и последующей проверкой. Мы ищем два числа, которые при перемножении дадут результат, равный результату умножения a * c (в нашем примере 36), а при сложении дадут результат, равный коэффициенту b (в нашем примере 13).
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13 -
Подставьте два найденных числа в исходное уравнение в качестве суммы (которая равна b ). Обозначим найденные числа через k и h (порядок не важен):
ax 2 + kx + hx + c
6x 2 + 4x + 9x + 6 -
Разложите многочлен на множители группировкой членов. Сгруппируйте члены исходного уравнения так, чтобы вынести наибольшие общие множители из первых двух и последних двух членов. При этом выражения в обеих скобках должны быть одинаковыми. Общие множители организуйте в выражение и умножьте его на одинаковое выражение в скобках.
6x 2 + 4x + 9x + 6
2x(3x + 2) + 3(3x + 2)
(2x + 3)(3x + 2) Реклама
Очень похож на метод декомпозиции. Этот метод рассматривает возможные множители результата умножения a на c и использует их для нахождения значения b . Рассмотрим пример: 8x 2 + 10x + 2
-
Умножьте a (8 в примере) на c (2 в примере).
8 * 2 = 16 -
Найдите два числа, которые при перемножении дадут 16, а результат сложения которых равен коэффициенту b (10 в примере).
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10 -
Найденные два числа (обозначим их через h и k ) подставьте в следующее уравнение (формулу «тройного метода»):
((ax + h)(ax + k))/ a
((8x + 8)(8x + 2)) / 8 -
Выясните, какое выражение в обеих скобках полностью делится на a . В нашем примере таким выражением является (8x + 8). Разделите это выражение на a , а выражение второй скобки оставьте как есть.
(8x + 8) = 8(x + 1)
Разделите это выражение на 8 ( a ) и получите (x + 1) -
Вынесите наибольший общий делитель (НОД) из какой-либо или из обеих скобок (если он есть). В нашем примере НОД выражения из вторых скобок равен 2 (так как 8x + 2 = 2(4x + 1)). Таким образом, получим
2(x + 1)(4x + 1) Реклама
Некоторые коэффициенты многочленов могут быть идентифицированы как «квадраты» (произведение двух одинаковых чисел). Нахождение «квадратов» позволяет ускорить разложение многочлена на множители. Рассмотрим пример:
-
Вынесите за скобки наибольший общий делитель (если он есть). В нашем примере 27 и 12 делятся на 3.
27x 2 - 12 = 3(9x 2 - 4) -
Определите, что исходное уравнение – разность двух квадратов. Уравнение должно иметь два члена, из которых можно извлечь квадратный корень.
9x 2 = 3x * 3x и 4 = 2 * 2 (заметьте, что мы отбросили знак минус) -
Подставьте значения a и c в выражение вида:
(√(a) + √(c))(√(a) - √(c))
В нашем примере a = 9 и c = 4, √ a = 3 и √ c = 2. Таким образом,
27x 2 - 12 = 3(9x 2 - 4) = 3(3x + 2)(3x - 2) Реклама
Если другие методы не работают и многочлен не разлагается на факторы, воспользуйтесь формулой решения квадратного уравнения. Рассмотрим пример:
-
Подставьте соответствующие значения в формулу:
x = -b ± √(b 2 - 4ac)
2a
Получим выражение:
x = -4 ± √(4 2 - 4•1•1) / 2 -
Находим x . Вы должны получить два значения x . Как показано выше, мы находим два решения:
x = -2 + √(3) или x = -2 - √(3) -
Подставьте найденные значения x вместо h и k в выражение вида:
(x - h)(x - k)
(x - (-2 + √(3))(x - (-2 - √(3)) = (x + 2 - √(3))(x + 2 + √(3)) Реклама
Если вы можете пользоваться графическим калькулятором, то это значительно упростит процесс разложения многочленов на множители. Ниже приведены инструкции для графического калькулятора TI. Рассмотрим пример:
-
Введите ваше уравнение в [Y = ].
-
Нажмите [GRAPH], чтобы построить график уравнения. Вы увидите плавную кривую (в нашем случае параболу, так как это квадратное уравнение).
-
Найдите точки пересечения параболы с осью Х. Таким образом вы найдете значения x .
(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2 - Если не можете определить координаты визуально, нажмите [2nd], а затем [TRACE]. Нажмите [2] или выберите "нуль". Подведите курсор к левому пересечению и нажмите [ENTER]. Подведите курсор к правому пересечению и нажмите [ENTER]. Калькулятор сам определит значения x .
-
Подставьте значения x вместо h и k в выражение вида:
(x - h)(x - k) = 0
(x - (-1))(x - 2) = (x + 1)(x - 2) Реклама
Советы
- Если у Вас есть графический калькулятор TI-84, то для него существует программа SOLVER, которая решает квадратные уравнения (и вообще уравнения любой степени).
- Если члена в многочлене нет, то коэффициент равен 0. Если у вас такой случай, полезно переписать уравнение в виде:
x 2 + 6 = x 2 + 0x + 6 - Если Вы разложили многочлен с помощью формулы для решения квадратного уравнения и получили ответ с корнями, преобразуйте значения x в дроби для его проверки.
- Если при неизвестном (переменной) нет коэффициента, то он равен 1.
x 2 = 1x 2 - Со временем, вы научитесь проводить метод проб и ошибок в голове. А до тех пор записывайте его.
Предупреждения
- Если вы изучаете разложение многочленов на занятиях, применяйте тот метод, который советует преподаватель, а не тот, который вам нравится. Преподаватель на экзамене может потребовать использовать какой-либо определенный способ и может запретить пользоваться графическим калькулятором.
Что вам понадобится
- Карандаш
- Бумага
- Квадратное уравнение (многочлен второй степени)
- Графический калькулятор (по желанию)