Загрузить PDF
Загрузить PDF
Составная (многоэтажная) дробь является дробью, в числителе и/или в знаменателе которой есть дробь или несколько дробей. Упростить составную дробь можно быстро или не очень — это зависит от количества дробей в числителе и в знаменателе составной дроби, а также от наличия в числителе и/или в знаменателе составной дроби переменной и ее вида.
Шаги
Метод 1
Метод 1 из 2:
Как упростить составную дробь с помощью умножения на обратную величину
Загрузить PDF
-
Сделайте так, чтобы в числителе и в знаменателе составной дроби осталось по одной обыкновенной дроби (если необходимо). Составную дробь, числитель и знаменатель которой содержат по одной дроби, можно быстро упростить. Таким образом, если в числителе и/или в знаменателе составной дроби есть выражения с дробями или с дробями и целыми числами, упростите эти выражения до одной дроби. Чтобы упростить выражения с дробями, вычислите наименьший общий знаменатель (НОЗ).
- Например, упростим составную дробь (3/5 + 2/15)/(5/7 - 3/10). Сначала упростите выражения в числителе и в знаменателе до одной дроби.
- У дробей в числителе НОЗ=15. Таким образом, дробь 3/5 запишется так: 3/5 * 3/3 = 9/15, а все выражение так: 9/15 + 2/15 = 11/15.
- У дробей в знаменателе НОЗ=70. Таким образом, дроби запишутся так: 5/7 * 10/10 = 50/70 и 3/10 * 7/7 = 21/70, а все выражение так: 50/70 - 21/70 = 29/70.
- Получилась составная дробь (11/15)/(29/70).
- Например, упростим составную дробь (3/5 + 2/15)/(5/7 - 3/10). Сначала упростите выражения в числителе и в знаменателе до одной дроби.
-
Поменяйте местами числитель и знаменатель дроби в знаменателе, чтобы получить обратную дробь. Помните, что деление первого значения на второе равносильно умножению первого значения на обратную величину второго значения. Сейчас в числителе и в знаменателе данной составной дроби есть по одной дроби, поэтому такую составную дробь можно упростить с помощью обратной дроби. Для этого запишите обратную дробь для дроби, которая находится в знаменателе составной дроби — просто поменяйте местами числитель и знаменатель.
- В полученной составной дроби (11/15)/(29/70) дробь в знаменателе 29/70. Поменяв местами числитель и знаменатель, вы получите обратную дробь 70/29.
- Имейте в виду, что если в знаменателе составной дроби есть целое число, просто разделите на него 1, чтобы найти обратную дробь. Например, в знаменателе составной дроби (11/15)/(29) есть число 29. Это число запишите как дробь 29/1, а обратная ей дробь — 1/29.
- В полученной составной дроби (11/15)/(29/70) дробь в знаменателе 29/70. Поменяв местами числитель и знаменатель, вы получите обратную дробь 70/29.
-
Умножьте дробь, которая находится в числителе составной дроби, на обратную дробь. Так вы получите одну обыкновенную дробь. Чтобы перемножить дроби, сначала перемножьте их числители, а потом их знаменатели.
- В примере перемножьте 11/15 и 70/29, то есть 11*70=770 и 15*29= 435. Таким образом, получится дробь 770/435.
-
Упростите новую дробь. Итак, составная дробь упрощена до одной обыкновенной дроби, которую, скорее всего, можно тоже упростить. Для этого вычислите наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя, а затем разделите на НОД числитель и знаменатель новой дроби.
- НОД чисел 770 и 435 равен 5. Поэтому разделите числитель и знаменатель новой дроби на 5, чтобы получить дробь 154/87. У чисел 154 и 87 нет общих делителей, поэтому окончательный ответ — это дробь 154/87.
Реклама
-
Если можно, воспользуйтесь методом умножения на обратную величину, который описан выше. С помощью этого метода практически любую составную дробь можно упростить до одной дроби. Составная дробь с переменной не является исключением, но чем сложнее выражение с переменной, тем труднее использовать метод умножения на обратную величину. Если выражение с переменной довольно простое, примените метод умножения на обратную величину; если же выражение с переменной сложное или есть несколько переменных, используйте альтернативный метод, описанный ниже.
- Например, дробь (1/х)/(х/6) можно быстро упростить с помощью умножения на обратную величину: (1/х)*(6/х)=6/х 2 . В этом случае альтернативный метод использовать не придется.
- Но дробь (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) сложно упростить с помощью умножения на обратную величину. То есть трудно упростить выражения в числителе и знаменателе до дробей, а затем умножить их на обратную дробь и упростить полученную дробь. Поэтому в этом случае воспользуйтесь методом, который описан далее.
-
Сначала найдите наименьший общий знаменатель всех дробей, которые находятся в числителе и знаменателе составной дроби. Если одна или несколько дробей включают переменную, просто перемножьте их знаменатели, чтобы вычислить наименьший общий знаменатель (НОЗ).
- Например, упростим составную дробь (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))). В данной составной дроби присутствуют две дроби: (1)/(х +3) и (1)/(х-5). Наименьшим общим знаменателем этих дробей будет произведение их знаменателей: (х +3)(х-5).
-
Умножьте составную дробь на вычисленный НОЗ. То есть каждый член числителя и знаменателя составной дроби умножьте на НОЗ. Таким образом, составную дробь нужно умножить на дробь (НОЗ)/(НОЗ) — в этом случае значение исходной дроби не поменяется, потому что (НОЗ)/(НОЗ) = 1.
- В примере умножьте составную дробь (((1)/(х +3)) + х - 10)/(х +4 + ((1)/(х - 5))) на дробь ((х +3)(х-5))/((х +3)(х-5)).
- Сначала умножьте числитель: (((1)/(x+3)) + x - 10) × (x+3)(x-5)
- = (((x+3)(x-5)/(x+3)) + x((x+3)(x-5)) - 10((x+3)(x-5))
- = (x-5) + (x(x 2 - 2x - 15)) - (10(x 2 - 2x - 15))
- = (x-5) + (x 3 - 2x 2 - 15x) - (10x 2 - 20x - 150)
- = (x-5) + x 3 - 12x 2 + 5x + 150
- = x 3 - 12x 2 + 6x + 145
- Сначала умножьте числитель: (((1)/(x+3)) + x - 10) × (x+3)(x-5)
- В примере умножьте составную дробь (((1)/(х +3)) + х - 10)/(х +4 + ((1)/(х - 5))) на дробь ((х +3)(х-5))/((х +3)(х-5)).
-
Теперь умножьте знаменатель составной дроби на вычисленный НОЗ. Умножьте каждый член знаменателя на НОЗ (как делали это с числителем).
- Знаменателем составной дроби (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) является x +4 +((1)/(x-5)). Умножьте эту дробь на НОЗ = (x+3)(x-5).
- (x +4 +((1)/(x - 5))) × (x+3)(x-5)
- = x((x+3)(x-5)) + 4((x+3)(x-5)) + (1/(x-5))(x+3)(x-5).
- = x(x 2 - 2x - 15) + 4(x 2 - 2x - 15) + ((x+3)(x-5))/(x-5)
- = x 3 - 2x 2 - 15x + 4x 2 - 8x - 60 + (x+3)
- = x 3 + 2x 2 - 23x - 60 + (x+3)
- = x 3 + 2x 2 - 22x - 57
- Знаменателем составной дроби (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) является x +4 +((1)/(x-5)). Умножьте эту дробь на НОЗ = (x+3)(x-5).
-
Запишите полученную дробь. Когда вы умножите данную составную дробь на дробь (НОЗ)/(НОЗ) и приведете подобные члены, получится обыкновенная дробь. Обратите внимание, что если исходную составную дробь умножить на НОЗ, можно избавиться от дробей в числителе и знаменателе, то есть в числителе и знаменателе полученной дроби будут только целые числа и переменные (без каких-либо дробей).
- Итак, вы получили два выражения, которые нужно записать в знаменатель и в числитель новой дроби, которая будет равна исходной составной дроби, но не будет содержать дробные члены. Выражение x 3 - 12x 2 + 6x + 145 запишите в числитель, а выражение x 3 + 2x 2 - 22x - 57 в знаменатель. То есть новая дробь запишется так: (x 3 - 12x 2 + 6x + 145)/(x 3 + 2x 2 - 22x - 57)
Реклама
Советы
- Записывайте все вычисления. Если не записывать каждый этап вычислений, а делать все в уме, можно запутаться.
- В учебнике или в интернете найдите примеры составных дробей и упростите их.
Реклама
Источники
- http://www.regentsprep.org/Regents/math/algtrig/ATV2/simpcomplex.htm
- http://www.regentsprep.org/Regents/math/algtrig/ATV2/simpcomplex2.htm
- http://www.purplemath.com/modules/compfrac.htm
- http://www.purplemath.com/modules/compfrac2.htm
- http://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/int_algebra/int_alg_tut34_complex.htm
- http://www.mathwarehouse.com/complex-fractions/
Реклама
