تنزيل المقال
تنزيل المقال
المتتالية الحسابية هي أي قائمة مكونة من أرقام يختلف كل منهم عن التالي بمقدار ثابت. على سبيل المثال: سلسلة الأعداد الزوجية ... هي متتالية حسابية، لأن الفرق بين كل حدين من حدودها دائمًا يساوي 2. [١] X مصدر بحثي عند التعامل مع المتتاليات الحسابية، يُطلب منك أحيانًا إيجاد الحد التالي في التسلسل المُعطى أو يُطلب منك إكمال الفراغ حيث ينقص أحد الحدود. قد ترغب كذلك على سبيل المثال في معرفة الحد رقم 100 دون أن تكتب فعليًا المئة حد واحدًا تلو الآخر. توجد خطوات بسيطة محددة يمكن أن تساعدك على حل كل من الحالات السابقة.
الخطوات
-
أوجد الفرق المشترك للتسلسل. أحيانًا يكون موضحًا لك بشكل مباشر أن قائمة الأعداد التي تتعامل معها هي متتالية حسابية، وفي أحيان أخرى تحتاج إلى معرفة ذلك بنفسك. الخطوة الأولى هي نفسها في كلتا الحالتين. انظر لأول حدين متتاليين في القائمة واطرح الأول من الثاني؛ هذا الناتج هو الفرق المشترك في المتتالية. [٢] X مصدر بحثي
- على سبيل المثال: لنفترض أنك تتعامل مع القائمة .... اطرح لإيجاد الفرق المشترك 3.
- افترض أن المتتالية الحسابية تتناقص، مثل …. لا يزال بإمكانك طرح الحد الأول من الثاني لمعرفة الفرق المشترك. في هذه الحالة تكون العملية كالتالي: ، هذا الناتج السلبي يعني أن قائمتك آخذة في التناقص عند قراءتها من اليسار إلى اليمين. يجب عليك دائمًا التحقق من أن إشارة الفرق تطابق الاتجاه الذي يبدو أن الأرقام تسير نحوه.
-
تأكد أن الفرق المشترك ثابت. لا يمكنك التأكد أن قائمة الأعداد هي عبارة عن متتالية حسابية من خلال إيجاد الفرق بين الحدين الأولين فقط، بل لا بد من معرفة أن الفرق ثابت للقائمة بأكملها. [٣] X مصدر بحثي تحقق من الفرق عن طريق طرح حدين متتاليين من أي مكان في القائمة، وإذا كانت النتيجة متسقة عند طرح زوجي أعداد آخريًان أو أكثر، فهذه على الأغلب متتالية حسابية.
- باستخدام المثال نفسه، … اختر الحدين الثاني والثالث من القائمة لتطرح ، وتجد أن الفرق لا يزال 3. للتأكد، تحقق من مثال آخر واطرح ؛ ستجد أن الفرق دائمًا يساوي 3. هنا يمكنك أن تكون متأكدًا تمامًا أنك تتعامل مع متتالية حسابية.
- من الوارد أن تبدو قائمة أعداد على أنها متتالية حسابية استنادًا للفرق بين الحدود الأولى منها، لكن يظهر اختلافًا بها بعد ذلك. على سبيل المثال، لننظر لقائمة الأعداد …. الفرق بين الحدين الأول والثاني هو 1، والفرق بين الحدين الثاني والثالث هو أيضًا 1. مع ذلك، فإن الفرق بين الحدين الثالث والرابع هو 3. بما أن الفرق ليس ثابتًا في القائمة بأكملها، فهذه ليست متتالية حسابية.
-
اجمع الفرق المشترك مع آخر حد ظاهر. من السهل إيجاد الحد التالي من متتابعة حسابية بعد معرفة الفرق المشترك؛ ما عليك سوى أن تجمع الفرق المشترك مع الحد الأخير من القائمة، وستحصل على الرقم التالي.
- على سبيل المثال: لإيجاد العدد التالي في مثالنا …، اجمع الفرق المشترك 3 مع الحد الأخير؛ تجد نتيجة جمع تساوي 16، وهو الحد التالي. يمكنك الاستمرار في جمع 3 لإطالة قائمتك كما تشاء. على سبيل المثال، ستكون القائمة …. ويمكنك الاستمرار بذلك لجعلها بأي طول تريده.
-
تحقق من أنك تبدأ بحل متتالية حسابية. في بعض الحالات تكون لديك قائمة أعداد بها حد مفقود في المنتصف. ابدأ – كما فعلنا سابقًا – بالتحقق أن القائمة متتالية حسابية. اختر أي حدين متتاليين وأوجد الفرق بينهما ثم تأكد من هذا الفرق من خلال حدين آخريًان متتاليين أخريين في التسلسل. إذا كان الفرق متطابقًا، فيمكنك افتراض أنك تتعامل مع متتالية حسابية وتنتقل للخطوة التالية.
- على سبيل المثال: في التسلسل ,___, .... ابدأ بطرح لإيجاد فرق قدره 4. تأكد من هذا بالتطبيق على متتاليين آخرين، مثل ، تجد أن الفرق مرة أخرى هو 4 وبالتالي يمكنك المتابعة.
-
اجمع الفرق المشترك مع الحد السابق للفراغ. هذا مشابه لجمع الحد مع نهاية التسلسل. حدد الحد الذي يسبق الفراغ مباشرةً على تسلسل الأعداد؛ هذا هو "آخر" رقم معروف. اجمع الفرق المشترك مع هذا الحد لإيجاد الرقم الذي يُفتَرَض أن يُكمل الفراغ. [٤] X مصدر بحثي
- في مثالنا المستخدم هنا ,____, …، الحد السابق للفراغ هو 4، والفرق المشترك لهذه المتتالية هو أيضًا 4. اجمع لتجد الناتج 8، وهو الرقم الذي يفترض أن يكمل الفراغ.
-
اطرح الفرق المشترك من الحد التالي للفراغ. تحقق من الاتجاه الآخر للتأكد من صحة إجابتك. يجب أن تكون المتتالية الحسابية متسقة من الاتجاهين. إذا كنت تضيف 4 عندما تتحرك من اليسار إلى اليمين، إذًا عند التحرك بالاتجاه المعاكس – من اليمين إلى اليسار – ستفعل العكس وتطرح 4.
- في مثالنا ,___, …، الحد الذي يلي الفراغ مباشرةً هو 12. اطرح الفرق المشترك 4 من هذا الحد لإيجاد ، وهي النتيجة التي ستضعها في الفراغ.
-
قارن نتائجك. يجب أن تتطابق نتيجة الجمع من الأسفل مع نتيجة الطرح من الأعلى، وعندها تكون قد وجدت قيمة الحد المفقود. إذا لم تتطابق النتيجتين فأنت بحاجة إلى مراجعة حسابك. قد لا تكون سلسلة الأعداد متتالية حسابية حقيقية.
- في مثالنا السابق، كانت نتيجة كل من و تساوي 8، وبالتالي فإن الحد المفقود في هذا التسلسل الحسابي هو 8. التسلسل بالكامل هو ….
-
انظر للحد الأول من المتتالية. ليست كل المتتاليات تبدأ بالأعداد 0 أو 1، فانظر لقائمة الأعداد وعيّن حدها الأول. هذا العدد هو نقطة البداية، والذي يمكن تمثيله باستخدام متغير مثل a(1).
- من الشائع في التعامل مع متواليات حسابية استخدام المتغير a(1) لتمثيل الحد الأول منها. يمكنك بالطبع اختيار أي متغير تريده، ويفترض أن تكون النتائج متطابقة.
- على سبيل المثال، بالنظر إلى التسلسل ...، الحد الأول هو ، والذي يمكن تمثيله جبريًا باعتباره a(1).
-
ارمز للفرق المشترك بالحرف d. أوجد الفرق المشترك للمتتالية بالطريقة المذكورة في الجزء الأول والثاني. في مثالنا المستخدم هنا، الفرق المشترك هو ، أي 5. تأكد ان طرح الحدود الأخرى في المتتالية له نفس النتيجة. سنشير لهذا الفرق المشترك بمتغير جبري نسميه d. [٥] X مصدر بحثي
-
استخدم الصيغة الصريحة. الصيغة الصريحة هي معادلة جبرية يمكنك استخدامها لإيجاد أي حد في متتالية حسابية دون الحاجة إلى كتابة التسلسل بالكامل. الصيغة الصريحة لمتتالية جبرية هي .
- يمكن قراءة الحد a(n) على أنه "الحد النوني 'n' من a"، حيث تمثل n أي عدد تود إيجاده في التسلسل، وa(n) هي القيمة الفعلية لهذا الرقم. على سبيل المثال: إذا طُلب منك إيجاد العنصر رقم 100 في متتالية حسابية، فستكون n هي 100. لاحظ أن n هي 100 في هذا المثال، لكن a(n) ستكون هي قيمة الحد رقم 100 وليس الرقم 100 نفسه.
-
استكمل معلوماتك لحل المسألة. باستخدام الصيغة الصريحة للمتتالية، اجمع المعلومات التي تعرفها لإيجاد الحد الذي تحتاجه.
- في مثالنا المستخدم هنا …، نعلم أن a(1) هو الحد الأول 3، والفرق المشترك d هو 5. افترض أن المطلوب منك هو أن تحسب الحد 100 في هذا التسلسل. بالتالي n=100 و(n-1)=99. الصيغة الصريحة الكاملة بعد إدخال بيانات المتغيرات عليها هي . نتيجة تبسيط هذه المسألة 498، وهو الحد 100 من هذه المتتالية.
-
أعد ترتيب الصيغة الصريحة لحساب أي قيم أخرى مطلوبة. باستخدام الصيغة الصريحة وبعض أساسيات الجبر، يمكنك حساب معلومات مختلفة في المتتالية الحسابية. الصيغة الأصلية مصممة على أن توجد قيمة a n فتعرف منها الحد النوني من المتتالية. مع ذلك، يمكنك تعديل هذه الصيغة جبريًا واستعمال الصيغة الجديدة لحل أي متغيرات أخرى.
- على سبيل المثال، افترض أن لديك نهاية تسلسل الأعداد، لكنك تريد أن تعرف بدايته. يمكنك إعادة ترتيب الصيغة كما يلي
- إذا كنت تعرف نقطة بدء المتتالية الحسابية ونقطة نهايتها، لكنك تحتاج إلى معرفة عدد حدودها، يمكنك إعادة ترتيب الصيغة الصريحة لمعرفة قيمة n. ستكون كالتالي .
- إذا كنت بحاجة إلى مراجعة القواعد الأساسية للجبر للوصول لهذه النتيجة، فاقرأ مقال تبسيط التعبيرات الجبرية أو ابحث في جوجل عن أساسيات الجبر.
-
أوجد الحد الأول من التسلسل. إذا عرفت أن الحد الخمسين في متتالية حسابية هو 300 وأن الحدود تزداد بمقدار 7 (الفرق المشترك) لكنك تريد معرفة الحد الأول، استخدم الصيغة الصريحة المعدلة التي توجِد قيمة a1 لمعرفة الإجابة.
- استخدم المعادلة وأدخل بها المعلومات التي تعرفها. بما أنك تعرف أن الحد 50 هو 300، إذًا n=50 وn-1=49 و(n)=300، وتعرف من المعطيات أيضًا أن الفرق المشترك "d" هو 7. بهذا تصبح الصيغة ، ويكون حلها . تبدأ هذه المتتالية من 43 وتزيد بمقدار 7. بالتالي تكون كما يلي: 43،50،57،64،71،78 ... 293،300.
-
اعرف طول المتتالية. لنقل إنك تعرف كل شيء عن حدود المتتالية وبدايتها ونهايتها، لكنك لا تعرف طولها. استخدم الصيغة المعدلة .
- لنفترض أنك تعلم أن متتالية حسابية معينة يبدأ عند 100 وتزيد بمقدار 13، كما من المعلوم لديك أن الحد الأخير هو 2,856. لمعرفة طول متتالية كهذه، استخدم الحدود a1=100 وd=13 وa(n)=2856. أدخل هذه الحدود في الصيغة لتكون . إذا طبقت ذلك بشكل صحيح ستحصل على ، ما يساوي 212+1 وهو 213. هناك 213 حدًا في هذا التسلسل.
- سيبدو تسلسل هذا المثال 100، 113، 126، 139 ... 2843، 2856.
تحذيرات
- هناك أنواع مختلفة من متتاليات الأعداد. لا تفترض أن أي قائمة أعداد هي متتالية حسابية، فاحرص على أن تحقق دائمًا من زوجي أعداد على الأقل، أو من الأفضل لو راجعت ثلاثة أو أربعة لإيجاد الفرق المشترك بين الحدود.
أفكار مفيدة
- تذكر أن "d" يمكن أن تكون إيجابية أو سلبية، حسب ما إذا كان قد تُجمَع أو تًطرَح.
المصادر
- ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/sequences-sums-arithmetic.html
- ↑ http://www.algebralab.org/lessons/lesson.aspx?file=algebra_arithseq.xml
- ↑ https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/topics/common-difference
- ↑ http://virtualnerd.com/middle-math/number-algebraic-sense/sequences-patterns/missing-term-sequence-example
- ↑ https://revisionmaths.com/advanced-level-maths-revision/pure-maths/algebra/series
