تنزيل المقال
تنزيل المقال
يقال إن كسرين متساويين إذا كان لهما نفس القيمة. معرفة كيفية تحويل الكسر لكسرٍ آخر مساوٍ له مهارة رياضية مهمة في كل شيء من الجبر البسيط لحساب التفاضل والتكامل المتقدم. هذا المقال سيشمل عدة طرق لحساب الكسور المتساوية عن طريق الضرب والقسمة وطرق أخرى معقدة لحل معادلات الكسور.
الخطوات
-
اضرب البسط والمقام في نفس الرقم. قد يكون كسرين مختلفين ولكن لهما نفس القيمة حيث يكون البسط والمقام في أحدهما من مضاعفات الآخر. بمعنى أن ضرب البسط والمقام في كسر في رقم معين سينتج كسر له نفس القيمة. الأرقام في الكسر الجديد ستكون مختلفة ولكن ستكون لها نفس القيمة.
- على سبيل المثال: لو أخذنا الكسر 4\8 وضربنا البسط والمقام في 2 فسنحصل على (4 × 2)\(8 × 2) = 8\16. هذين الكسرين متساويين.
- (4 × 2)\(8 × 2) في الأساس عبارة عن 4\8 × 2\2. تذكر أنه عند ضرب كسرين فإننا نستخدم الضرب الاتجاهي، أي بسط الأول في مقام الثاني والعكس.
- لاحظ أن 2\2 يساوي 1 عندما تستخدم القسمة. وهكذا يصبح من السهل معرفة لماذا 4\8 يساوي 8\16 حيث إن ضرب 4\8 في (2\2) = 4\8 كما هو. وبنفس الطريقة نستطيع قول إن 4\8 يساوي 8\16.
- أي كسر له عدد لا نهائي من الكسور المساوية. يمكنك ضرب البسط والمقام في أي عدد صحيح مهما كان كبيرًا أو صغيرًا فدائمًا الكسر الجديد سيساوي الأصلي.
-
اقسم البسط والمقام على نفس الرقم. القسمة مثل الضرب يمكن استخدامها لإيجاد كسرٍ جديد مساوٍ للكسر الأصلي. ببساطة اقسم البسط والمقام على رقم معين لتحصل على كسر مساوي. يوجد تحذير في هذه العملية: الكسر الناتج يجب أن يحتوي على أعداد صحيحة في البسط والمقام حتى يكون كسرًا صحيحًا.
- فلنتخذ من 4\8 مثالًا مرة أخرى. لو بدل الضرب قسمنا البسط والمقام على 2 فسنحصل على (4 ÷ 2)\(8 ÷ 2) = 2\4. 2 و4 عددين صحيحين مما يعني أن الكسر صحيح.
-
حدد الرقم الذي يحتاج أن يُضرَب فيه المقام الأصغر في الكسرين ليساوي المقام الأكبر. كثير من مشاكل الكسور تتضمن تحديد إذا ما كان الكسرين متساويين. بحساب هذا الرقم يمكنك بدء وضع الكسور في القيم نفسها لتحديد هل يساويان بعضهما أم لا.
- على سبيل المثال سنتعامل مع الكسرين 4\8 و8\16 أيضًا. المقام الأصغر 8 وعلينا أن نضرب هذا الرقم في 2 لنحصل على المقام الأكبر 16. وبالتالي الرقم في هذه الحالة هو 2.
- مع الأعداد الأصعب يمكنك ببساطة قسمة المقام الأكبر على المقام الأصغر. في هذه الحالة 16 قسمة 8 يعطي نفس الناتج 2.
- لن يكون الرقم دائمًا عددًا صحيحًا. مثلًا إذا كانت المقامات 2 و7 فالرقم سيكون 3.5.
-
اضرب بسط الكسر ومقامه وهو في أقل قيمة له في الرقم المذكور في الخطوة الأولى. قد يكون كسرين مختلفين ولكن لهما نفس القيمة حيث يكون البسط والمقام في أحدهما من مضاعفات الآخر . بمعنى أن ضرب البسط والمقام في كسر في رقم معين سينتج كسرًا مساويًا. الأرقام في الكسر الجديد ستكون مختلفة ولكن ستكون لها نفس القيمة. [١] X مصدر بحثي
- على سبيل المثال: لو أخذنا الكسر 4\8 من الخطوة الأولى وضربنا البسط والمقام في الرقم المُحَدّد مسبقًا 2 فسنحصل على (4 × 2)\(8 × 2) = 8\16 . هذا يثبت أن هذين الكسرين متساويين.
-
احسب قيمة كل كسر كعدد عشري. مع الكسور البسيطة التي ليس لها متغير ببساطة اكتب كل كسر في قيمته العشرية لتحديد المساواة. بما أن كل كسر في الواقع عبارة عن مسألة قسمة للبدء بها، فهذه هي أبسط الطرق لتحديد المساواة.
- فلنستخدم نفس الكسر 4\8 الذي استخدمناه مسبقًا كمثال. الكسر 4\8 مساوي لقسمة 4 على 8 = 0.5. يمكنك التطبيق مع الكسر الثاني أيضًا (8\16)؛ 8\16 = 0.5. مهما كانت أرقام الكسر، الكسور تكون متساوية إذا كانت لها نفس القيمة عند كتابتها بالطريقة العشرية.
- تذكر أن الطريقة العشرية قد تكون من عدة خانات قبل أن يظهر عدم التساوي. مثال بسيط: 1\3 = 0.333 و3 تتكرر بينما 3\10 = 0.3. بالنظر لأكثر من خانة فإن الكسرين ليسا متساويين.
-
اقسم بسط الكسر ومقامه على رقم معين لتحصل على كسرٍ مساوٍ. قد تتطلب عملية القسمة خطوات إضافية مع الكسور الأكثر تعقيدًا. يمكنك قسمة البسط والمقام على رقم معين لتحصل على كسرٍ مساوٍ تمامًا كما في عملية الضرب. يوجد تحذير في هذه العملية: الكسر الناتج يجب أن يحتوي على أعداد صحيحة في البسط والمقام حتى يكون كسرًا صحيحًا.
- فلنتخذ من 4\8 مثالًا مرة أخرى. لو بدل الضرب "قسمنا" البسط والمقام على 2 فسنحصل على (4 ÷ 2)\(8 ÷ 2) = 2\4 . 2 و4 عددين صحيحين مما يعني أن الكسر صحيح.
-
صغر الكسر لأصغر قيمة له. معظم الكسور في العادة يجب أن تكون في أصغر قيمة لها ويمكنك تحويل الكسور لأصغر قيمة بالقسمة على العامل المشترك الأكبر (ع . م . أ). هذه الخطوة تعمل بنفس منطق كتابة الكسور المتساوية عن طريق تحويلها ليكون لها المقام نفسه، ولكن هذه الطريقة هدفها عرض الكسر في أصغر قيمة له.
- عندما يكون الكسر في أبسط صورة يكون البسط والمقام أصغر ما يمكن. في هذه الحالة لا يمكن قسمتهما بأي عدد صحيح للحصول على أرقام أصغر. لتحويل أي كسر "ليس" في أبسط صورة له لكسرٍ آخر مساوٍ يكون أبسط صورة سنحتاج لقسمة البسط والمقام على "العامل المشترك الأكبر".
- العامل المشترك الأكبر للبسط والمقام هو أكبر رقم يقبل كلاهما القسمة عليه والناتج يكون أعداد صحيحة. في مثالنا 4\8: 4 هو أكبر رقم يقبل 4 و8 القسمة عليه. سنقسم بسط الكسر ومقامه على 4 ليصبح في أبسط صورة له. (4 ÷ 4)\(8 ÷ 4) = 1\2 . الكسر الثاني 8\16 العامل المشترك الأكبر له 8 والذي يعطي أيضًا نفس النتيجة 1\2 وهي أبسط صورة للكسر.
-
اكتب الكسرين المساويين لبعضهما. سنستخدم الضرب الاتجاهي في المسائل الحسابية عندما نعرف أن الكسرين متساويين لكن أحد الأرقام غير معروف ومكانه متغير (عادةً يرمز له س) والذي علينا أن نعرفه. في مثل هذه الحالات نحن نعرف أن الكسرين متساويين بسبب علامة التساوي بينهما ولكن لا يكون واضحًا كيفية معرفة هذا المتغير. لحسن الحظ أن الضرب الاتجاهي يحل هذه المسائل بسهولة. [٢] X مصدر بحثي
-
اكتب الكسرين المتساويين واضربهما في بعضهما بطريقة المقص (شكل "X"). يعني هذا أنك ستضرب بسط الكسر الأول في مقام الثاني وبسط الكسر الثاني في مقام الأول والناتجين يجب أن يكونا متساوين. [٣] X مصدر بحثي
- على سبيل المثال سنستعمل 4\8 و8\16. هذين الكسرين لا يوجد بهما متغير ولكن بهما يمكننا إثبات النظرية حيث إننا نعرف أنهما يساويان بعضهما. بالضرب الاتجاهي نحصل على 4 × 16 = 8 × 8 أو 64 = 64. من الجلي أنهما متساويين. يكون الكسرين غير متساويين إذا كان الناتجين غير متساويين.
-
إدخال متغير. الضرب الاتجاهي أسهل طريقة لتحديد التساوي بين الكسور عندما يكون عندك متغير، لذلك دعنا ندخل متغير.
- على سبيل المثال فلنحل المعادلة 2\س = 10\13. باستخدام الضرب الاتجاهي سنضرب 2 في 13 و10 في س والناتج يجب أن يكون متساوي.
- 2 × 13 = 26.
- 10 × س = 10س.
- 10 س = 26. هنا يصبح معرفة المتغير أمرٌ سهل بخطوة بسيطة. س = 26\10 = 2.6 مما يعني بشكل مبدئي أن الكسرين 2\2.6 = 10\13
- على سبيل المثال فلنحل المعادلة 2\س = 10\13. باستخدام الضرب الاتجاهي سنضرب 2 في 13 و10 في س والناتج يجب أن يكون متساوي.
-
استخدم الضرب الاتجاهي في المعادلات التي بها أكثر من متغير أو متغير مُرَكَّب. واحدة من أفضل مميزات الضرب الاتجاهي أنه فعال مع الكسور البسيطة (مثل المثال السابق) وبنفس الطريقة مع الكسور المعقدة. مثلًا إذا كان كل كسر به متغير فيمكنك التخلص من هذه المتغيرات في النهاية خلال عملية الحل. بالمثل لو كان بسط الكسر أو مقامه يحتوي متغير مُرَكَّب (مثل س + 1) فببساطة استخدم خاصية التوزيع في الضرب وحل المسألة بطريقة عادية كالعادة. [٤] X مصدر بحثي
- على سبيل المثال فلنحل المعادلة ((س + 3)\2) = ((س + 1)\4). في هذا المثال سنستخدم الضرب الاتجاهي كالمثال السابق:
- (س + 3) × 4 = 4س + 12.
- (س + 1) × 2 = 2س + 2.
- 2 س + 2 = 4س + 12. يمكننا الآن ببساطة حل المعادلة بطرح 2س من الطرفين.
- 2 = 2س + 12. الآن نجعل المتغير في طرف وحده بطرح 12 من الجانبين.
- -10 = 2س ونقسم الطرفين على 2 لنحصل على قيمة س.
- -5 = س.
- على سبيل المثال فلنحل المعادلة ((س + 3)\2) = ((س + 1)\4). في هذا المثال سنستخدم الضرب الاتجاهي كالمثال السابق:
-
اضرب الكسرين بالضرب الاتجاهي. في مسائل المساواة التي تتطلب صيغة تربيعية سنبدأ بالضرب الاتجاهي أيضًا، ولكن رغم ذلك أي ضرب اتجاهي به ضرب عدة متغيرات في متغيرات أخرى فمن المرجح أن ينتج مركب لا يمكن حله بسهولة بالجبر. في مثل هذه الحالات قد تحتاج لاستخدام تقنية مثل التحليل إلى العوامل و\أو الصيغة التربيعية. [٥] X مصدر بحثي
- على سبيل المثال فلنحل المعادلة ((س +1)\3) = (4\2س - 2). أولًا فلنقم بالضرب الاتجاهي:
- (س + 1) × (2س - 2) = 2س 2 + 2س - 2س - 2 = 2س 2 - 2.
- 4 × 3 = 12.
- 2س 2 - 2 = 12.
- على سبيل المثال فلنحل المعادلة ((س +1)\3) = (4\2س - 2). أولًا فلنقم بالضرب الاتجاهي:
-
ضع المعادلة في الصيغة التربيعية. هنا سنريد أن نضع المعادلة في الصيغة التربيعية (أس 2 + ب س 2 + ج = 0) والذي نقوم به بوضع المعادلة تساوي صفر. في هذا المثال سنطرح 12 من الجانبين لنحصل على 2س 2 - 14 = 0.
- بعض القيم قد تساوي 0. 2س 2 - 14 = 0 هي أبسط صورة للمعادلة، لكن المعادلة التربيعية الحقيقية هي 2س 2 + 0س + (-14) = 0. كتابة صيغة المعادلة التربيعية قد يساعد في المراحل الأولى حتى لو بعض القيم تساوي صفر.
-
حل المعادلة بإدخال الأرقام من المعادلة التربيعية في الصيغة التربيعية. الصيغة التربيعية (س = (-ب +\- √(ب 2 - 4 أ ج)\2أ) ستساعدنا في معرفة قيمة س في هذه الخطوة. [٦] X مصدر بحثي لا تجعل طول المعادلة يخيفك. أنت ببساطة تأخذ القيم من المعادلة التربيعية في الخطوة الثانية وتضعها في أماكنها المناسبة قبل الحل.
- س = (-ب +\- √(ب 2 - 4 أ ج)\2أ. في معادلتنا 2س 2 - 14 = 0، أ = 2، ب = 0، ج = -14.
- س = (-0 +\- √( 2 0 - 4× (2) × (-14)))\2 × (2).
- س = (+\-√(0- - 112))\2 × (2).
- س = (+\-√(112))\ 2× (2).
- س = (+\- 10.58\4).
- س = +\- 2.64 .
-
تأكد من إجابتك بإدخال قيمة س في المعادلة التربيعية. بإدخال قيمة س التي حسبتها في المعادلة التربيعية الموجودة في الخطوة الثانية يمكنك بسهولة تحديد هل وصلت للإجابة الصحيحة أم لا. [٧] X مصدر بحثي في هذا المثال ستدخل 2.64 و-2.64 في المعادلة التربيعية الأصلية.
أفكار مفيدة
- تحويل الكسور لصور أخرى مساوية هو في الواقع عبارة عن ضربهم في 1. تحويل 1\2 إلى 2\4 أنت تضرب البسط والمقام في 2 وهو تمامًا مثل ضربهما في 2\2 والذي يساوي 1.
- لو رغبت يمكنك تحويل الأرقام المختلطة لكسور غير حقيقية لجعل التحويل أسهل. من الواضح أن ليس كل كسر تقابله سيكون تحويله سهلًا كمثالنا 4\8. على سبيل المثال في الأرقام المختلطة (مثل 1 3\4 و2 5\8 و5 2\3 ...) يمكن أن تزيد من تعقيد عملية التحويل. إذا أردت تحويل رقم مختلط لكسرٍ مساوٍ يمكنك فعل ذلك بطريقتين: تحويل الرقم المختلط لكسر غير حقيقي ثم التحويل بشكل طبيعي أو
الإبقاء على الرقم المختلط والحصول على رقم مختلط آخر كإجابة.
- للتحويل لكسر غير حقيقي اضرب الرقم الصحيح في الرقم المختلط في مقام الكسر ثم اجمعه مع البسط. مثلًا 1 2\3 = ((1 × 3) + 2)\3 = 5\3. بعد ذلك حوله لو رغبت. مثلًا 5\3 × 2\2 = 10\6 والمساوي ل 1 2\3.
- مع ذلك نحن لسنا مضطرين للتحويل لكسور غير حقيقية كما في المثال. في حالة عدم التحويل نقوم بتجاهل الرقم الصحيح في الكسر ونحول الكسر وحده ثم نضيف العدد الصحيح له بدون تغيير. مثلًا 3\ 4\16 سننظر ل 4\16 فقط. 4\16 ÷ 4\4 = 1\4. وبإضافة الرقم الصحيح مرة أخرى نحصل على رقم مختلط جديد 3 1\4 .
تحذيرات
- الضرب والقسمة يعملان للحصول على كسور مساوية لأن ضرب الكسر وقسمته على أشكال للرقم 1 (2\2 أو 3\3 ...) يعطي إجابة مساوية للكسر الأصلي. الجمع والطرح لا يسمحان بهذه الاحتمالية.
- بالرغم من أنك تضرب البسط والمقام معًا عند ضرب الكسور إلا أنك لا تضيف أو تطرح أي شيء.
- مثلًا في الخطوات السابقة وجدنا أن قسمة 4\8 على 4\4 = 1\2. إذا "جمعنا" بدلًا من ذلك سنحصل على إجابة مختلفة تمامًا. 4\8 + 4\4 = 4\8 + 8\8 = 12\8 = 1 1\2 أو 3\2 ولا يساوي أحدهما 4\8.
المصادر
- ↑ http://www.themathpage.com/arith/equivalent-fractions.htm
- ↑ http://www.helpwithfractions.com/math-homework-helper/equivalent-fractions/
- ↑ http://www.helpwithfractions.com/math-homework-helper/equivalent-fractions/
- ↑ http://web.mnstate.edu/peil/MDEV102/U3/S22/S22_print.html
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/solvquad4.htm
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/solvquad4.htm
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/solvquad4.htm
