Skip to Content

تسجيل الدخول / إنشاء حساب

كيفية إيجاد ميل معادلة

تنزيل المقال

شارك في التأليف: فريق عمل ويكي هاو

تنزيل المقال

ميل الخط هو مقياس لسرعة تغيره. يمكن إيجاد الميل لخط مستقيم، ويخبرك الميل في هذه الحالة بدقة إلى أي ارتفاع (ميل إيجابي) أو هبوط (انحدار سلبي) يسير الخط، وإلى أي مدى يبتعد. يُمكن أيضًا استخدام الميل لقياس خط مماس أو منحنٍ، أو يُستخدَم عند حساب التفاضل والتكامل لحساب الخطوط المنحنية، إذ يُعرف الميل في هذه الحالات باسم "المشتق" للدالة. في كلتا الحالتين، فكر في الميل ببساطة على أنه "معدل التغيّر" للرسم البياني: إذا قمنا بزيادة المتغير "x"، بأي معدل يتغير "y"؟ وهي طريقة تمكنك من رؤية الميل كسبب ونتيجة.

طريقة 1

طريقة 1 من 3:

إيجاد ميل معادلة خطية

تنزيل المقال

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/b\/b6\/Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-1-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-1-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/b\/b6\/Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-1-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-1-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
استخدم الميل لتحديد شدة الانحدار، ولأي اتجاه (للأعلى أو للأسفل) يتحرك الخط. من السهل إيجاد ميل الخط، طالما لديك معادلة خطية أو يمكنك وضعها. هذه الطريقة ممكنة إذا وفقط إذا:
- لم توجد أسس على المتغيرات
- يوجد متغيران اثنان فقط، ليس بينهما كسر (على سبيل المثال، لن تجد ${\frac {1}{x}}$
- يمكن تبسيط المعادلة للصيغة $y=mx+b$ ، حيث m و b هما ثوابت (أعداد مثل: 3، 10، -12، ${\frac {4}{3}},{\frac {3}{5}}$ ). ^{[١]
  X
  مصدر بحثي}
2
أوجد الرقم المجاور لـ x (الذي يُكتَب عادةً "m") لتحديد الميل. إذا كانت معادلتك بالفعل بالصيغة الصحيحة ( $y=mx+b$ )، اختر الرقم الذي في موضع "m"، وإذا لم يوجد رقم مجاور لـ x، فالميل هو 1، هذا هو الميل الذي تريد إيجاده! لاحظ أن هذا الرقم ( m ) دائمًا يكون مضروبًا في المتغير، وفي هذه الحالة المتغير هو "x". انظر الأمثلة التالية:
- $y=2x+6$
  - الميل = 2
- $y=2-x$
  - الميل = -1
- $y={\frac {3}{8}}x-10$
  - الميل = ${\frac {3}{8}}$ ^{[٢]
    X
    مصدر بحثي}
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/5\/5c\/Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-3-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-3-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/5\/5c\/Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-3-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-3-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
أعد تنظيم المعادلة من أجل عزل متغير واحد إذا لم يكن الميل واضحًا. يمكنك استخدام الجمع أو الطرح أو الضرب أو غير ذلك من العمليات لعزل المتغير، والذي عادةً ما يكون "y". فقط تذكر أنه أيًا كان ما تفعله عند أحد جانبي علامة اليساوي (مثل جمع 3) يجب عليك القيام به على الجانب الآخر أيضًا. هدفك النهائي هو معادلة مماثلة لـ $y=mx+b$ . على سبيل المثال:
- أوجد ميل $2y-3=8x+7$
- ضع المعادلة في الصيغة $y=mx+b$ :
  - $2y-3+3=8x+7+3$
  - $2y=8x+10$
  - ${\frac {2y}{2}}={\frac {8x+10}{2}}$
  - $y=4x+5$
- أوجد الميل:
  - الميل = M = 4 ^{[٣]
    X
    مصدر بحثي}

طريقة 2

طريقة 2 من 3:

إيجاد الميل بنقطتين

تنزيل المقال

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/6\/69\/Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-4-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-4-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/6\/69\/Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-4-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-4-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
استخدم رسمًا بيانيًا ونقطتين لإيجاد الميل إن لم تكن المعادلة متاحة. هل المعطيات عبارة عن رسم بياني وخط، لكن بدون معادلة؟ يمكنك إيجاد المنحدر بسهولة؛ كل ما تحتاجه هو نقطتين على الخط، واللتين تضعهما في المعادلة ${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ . أثناء إيجاد الميل، ضع في اعتبارك المعلومات التالية لتساعدك على التحقق مما إذا كنت على الطريق الصحيح أم لا:
- يرتفع الميل الإيجابي للأعلى كلما اتجهت لليمين.
- ينحدر الميل السالب كلما اتجهت يمينًا.
- المنحدرات الأكبر هي خطوط أكثر حدة، والمنحدرات الصغيرة دائمًا أكثر تدرجًا.
- الخطوط الأفقية تمامًا ميلها صفر.
- الخطوط العمودية تمامًا ليس لها ميل على الإطلاق. منحدرها "غير معرف". ^{[٤]
  X
  مصدر بحثي}
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/8\/87\/Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-5-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-5-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/8\/87\/Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-5-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-5-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
ابحث عن نقطتين وضعهما بصيغة (x, y) بسيطة. استخدم الرسم البياني (أو المعطيات في سؤال الاختبار) لمعرفة إحداثيات x وy لنقطتين على الرسم البياني، يمكن أن تكون هاتين أي نقطتين متقاطعتين مع الخط. على سبيل المثال، افترض أن الخط في هذه الطريقة يمر خلال (2،4) و(6،6). ^{[٥]
X
مصدر بحثي}
- في كل زوج، الإحداثي x هو الرقم الأول، والإحداثي y يأتي بعد الفاصلة.
- كل إحداثي x على الخط له إحداثي y مرتبط به.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/4\/45\/Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-6-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-6-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/4\/45\/Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-6-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-6-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
سمِّ النقاط x ₁ ، y ₁ ، x ₂ ، y ₂ ، مع إبقاء كل نقطة مع الأخرى من الزوج الذي ينتيمان له. متابعةً على مثالنا الأول: مع النقاط (2،4) و(6،6)، قم بتسمية إحداثيات x و y لكل نقطة. من المفترض أن يكون لديك في النهاية:
- x ₁ : 2
- y ₁ : 4
- x ₂ : 6
- y ₂ : 6 ^{[٦]
  X
  مصدر بحثي}
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/9\/97\/Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-7-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-7-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/9\/97\/Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-7-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-7-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
أدخل قيم النقاط في "صيغة الميل ونقطة" لإيجاد الميل. تستخدم الصيغة التالية لإيجاد الميل باستخدام أي نقطتين على خط مستقيم: ${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ . ضع ببساطة كل نقطة مكان أحد المتغيرات الأربعة، ثم بسّط المعادلة لحلها:
- النقاط الأساسية: (2،4) و(6،6).
- نُدخلها في معادلة الميل ونقطة:
  - ${\frac {6-4}{6-2}}$
- نبسط للوصول للناتج النهائي:
  - ${\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}$ = الميل
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/c2\/Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-8-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-8-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/c2\/Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-8-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-8-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

ميل الخط هو "الارتفاع على التمدد": بمعنى مقدار ارتفاع الخط مقسومًا على مقدار "تمدده" لليمين. "ارتفاع" الخط هو الفرق بين قيم الـ y (تذكر، المحور y عمودي يشير للأعلى والأسفل)، و"تمدد" الخط هو الفرق بين قيم الـ x (ومحور x أفقي يمتد يسارًا ويمينًا).
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/b\/b9\/Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-9-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-9-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/b\/b9\/Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-9-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-9-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

تعرّف على الطرق الأخرى التي قد تُستَخدَم عندما يُطلب منك إيجاد الميل. معادلة الميل هي ${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ . يمكن كذلك التعبير عن هذه المعادلة بالحرف اليوناني "Δ" المسمى "دلتا" ومعناه "الفرق بين". يمكن عرض الميل بالصيغة Δy/Δx، بمعنى "الفرق في الـ y / على الفرق في الـ x"؛ أي أن هذه العبارة لها معنى مماثل للسؤال "أوجد الميل بين..."

طريقة 3

طريقة 3 من 3:

حساب التفاضل لإيجاد ميل منحنى

تنزيل المقال

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/aa\/Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-10-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-10-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/aa\/Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-10-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-10-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
راجع كيفية إيجاد مختلف المشتقات من الدوال الشائعة. تُعَرّفك المشتقات بمعدل التغير (أو الميل) عند "نقطة واحدة على الخط". قد يكون الخط منحنيًا أو مستقيمًا؛ ليس هناك فرق. فكر في الأمر على أنه سؤال عن مقدار تغيّر الخط عند أي نقطة، بدلًا من ميل الخط بأكمله. تتغير طريقة الاشتقاق تبعًا لنوع الدالة، لذلك راجع كيفية استخراج المشتقات الشائعة قبل التكملة.
- راجع كيفية عمل الاشتقاقات هنا
- أسهل المشتقات هي تلك الخاصة بالمعادلات متعددة الحدود الأساسية والتي يسهل إيجادها باستخدام اختصار بسيط. هذه هي الطريقة التي سنتبعها في بقية هذا الجزء.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/5\/5c\/Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-11.jpg\/v4-460px-Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-11.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/5\/5c\/Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-11.jpg\/v4-728px-Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-11.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
افهم نوعية الأسئلة التي تطلب منك إيجاد الميل باستخدام المشتقات. لن يُطلب منك دائمًا بصراحة إيجاد منحنى أو ميل. يمكن أن يُطلَب منك "معدل التغيّر عند النقطة (x,y)"، أو تُسأل عن "معادلة ميل الرسم البياني"، والتي تعني ببساطة أنك بحاجة إلى عمل اشتقاق. أخيرًا، يكون السؤال أحيانًا عن "ميل خط الظل في (x,y)"، وهو مثله كالصياغات السابقة التي تطلب إيجاد ميل المنحنى عند نقطة محددة (x,y).
- لنعتبر في هذا الجزء من المقال أن سؤالنا بالصيغة التالية: "ما هو ميل الخط $f(x)=2x^{2}+6x$ عند النقطة (4,2)؟" ^{[٧]
  X
  مصدر بحثي}
- يكتب الاشتقاق عادةً على الصورة $f'(x),y'$ أو ${\frac {dy}{dx}}$ ^{[٨]
  X
  مصدر بحثي}
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/3\/37\/Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-12.jpg\/v4-460px-Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-12.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/3\/37\/Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-12.jpg\/v4-728px-Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-12.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
أوجد مشتق الدالة. لست بحاجة فعلًا للرسم البياني، بل الدالة أو معادلة الرسم البياني فحسب. في هذا المثال، استخدم الدالة التي كانت لدينا سابقًا، $f(x)=2x^{2}+6x$ . باتّباع الطرق المشروحة هنا ، وأوجد مشتق هذه الدالة البسيطة.
- المشتق: $f'(x)=4x+6$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/9\/92\/Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-13.jpg\/v4-460px-Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-13.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/9\/92\/Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-13.jpg\/v4-728px-Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-13.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
أدخل النقطة في معادلة الاشتقاق لإيجاد الميل. يخبرك تفاضل الدالة بميلها في نقطة معينة. بمعنى آخر، f’(x) هي ميل الدالة عند أي نقطة (x,f(x)). إذًا، بالنسبة لمسألة المثال لدينا:
- ما هو ميل الخط $f(x)=2x^{2}+6x$ عند النقطة (4,2)؟
- اشتقاق المعادلة:
  - $f'(x)=4x+6$
- نعوض بقيمة النقطة محل x:
  - $f'(x)=4(4)+6$
- نوجد الميل:
- ميل الدالة $f(x)=2x^{2}+6x$ عند (4,2) هو 22.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/7a\/Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-14.jpg\/v4-460px-Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-14.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/7a\/Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-14.jpg\/v4-728px-Find-the-Slope-of-an-Equation-Step-14.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

5
تحقق من صحة النقطة التي أوجدتها على رسم بياني كلما أمكن. اعرف أن جميع النقاط في حساب التفاضل والتكامل لن يكون لها بالضرورة ميل. يدخل حساب التفاضل والتكامل في معادلات معقدة ورسوم بيانية صعبة، ولن يكون هناك ميل لكل النقاط أو حتى وجود في كل رسم بياني، لهذا استخدم كلما أمكن حاسبة رسومية للتحقق من ميل الرسم البياني. إذا لم تستطع، ارسم خط المماس باستخدام النقطة التي لديك والميل (تذكر: "الارتفاع على التمدد") وقرر إن كان يبدو صحيحًا.
- خطوط المماس ما هي إلا خطوط لها نفس ميل نقطتك على المنحنى تمامًا. لرسم خط مماس، اصعد (موجب) أو اتجه للأسفل (سالب) بالميل (في حالة المثال، 22 نقطة للأعلى). ثم تحرك نقطة لليمين وارسم نقطة. أوصل النقاط (4،2) و(26،3) لرسم الخط.

مقالات ذات صلة في ويكي هاو

المصادر

المزيد حول هذا المقال

شارك في التأليف::

فريق عمل ويكي هاو

كاتب في فريق ويكي هاو

ساهم فريق عمل ويكي هاو في إعداد المقال. يعمل فريقنا المُدرب من المحررين والباحثين على التحقق من دقة المعلومات وقابليتها للتطبيق بالنسبة للقراء.

يعمل فريق ويكي هاو على مراقبة كتابات فريق التحرير لضمان أن كل المقالات تُلبي معايير الجودة الخاصة بالموقع. تم عرض هذا المقال ٣٣٬١٣٥ مرة/مرات.

تصنيفات: الرياضيات

بلغات أخرى

الإنجليزية

الإسبانية

الإيطالية

الألمانية

الفرنسية

الإندونيسية

الهولندية

اليابانية

طباعة

تم عرض هذه الصفحة ٣٣٬١٣٥ مرة.

هل ساعدك هذا المقال؟

385

.mwimg a.image{display:none}#header_logo{display:none}#cse-search-box{display:none}#cse-search-box-noscript{display:block !important}#cse-search-box-noscript .cse_q{color:#FFF;background-color:#B3CE9C}.wh_search .cse_q{width:88%}#mw-mf-main-menu-button{display:none;visibility:hidden}.header .search{display:none}#search_footer .cse_sa{background-image:url(/extensions/wikihow/mobile/images/white_mag.png);background-size:22px}.related_box{display:block;background:#EEE;border:5px solid #FFF;vertical-align:bottom;width:127px;background-size:180px;float:left;height:120px;position:relative}.related_box p{line-height:15px !important;font-size:13px;background-color:rgba(67,95,44,.4);color:#FFF;font-weight:bold;padding:8px;margin:0 !important;position:absolute;bottom:0}#noscript_header_logo{display:table-cell;vertical-align:middle;background-position:50% 77%;background-repeat:no-repeat;background-image:url(/extensions/wikihow/mobile/images/wikihow_logo_230.png);background-size:105px;width:auto;height:51px;padding:0 14px}.articleinfo{display:none}#iorg_free_data{z-index:50;width:100%;position:fixed}#ara_recommendations{display:none}

Design a Mobile Website

View Site in Mobile | Classic

Share by: