تنزيل المقال
تنزيل المقال
إن تعلم كيفية تبسيط التعبيرات الجبرية جزء أساسي من إتقان أساسيات الجبر وهو أداة قيمة للغاية يجب أن يمتلكها جميع الرياضيين، كما أن التبسيط يمكن الرياضيين من تغيير التعبير المخيف و/أو المعقد الطويل ليصبح مكافئًا مريحًا وبسيطًا أكثر. تعلم مهارات التبسيط الأساسية سهل جدًا حتى بالنسبة لكارهي الرياضيات. يمكنك تبسيط العديد من أكثر أنواع التعبيرات الجبرية شيوعًا دون أي نوع خاص من المعرفة الرياضية على الإطلاق باتباع بضع خطوات بسيطة. انظر الخطوة 1أدناه لتبدأ.
الخطوات
-
ميز الحدود المتشابهة حسب المتغيرات والأسس. تتسم "الحدود المتشابهة" في الجبر بوجود نفس المتغير أو المتغيرات أو عدم وجودها على الإطلاق ولابد أن تكون مرفوعة لنفس الأس أو دون أس على الإطلاق. ترتيب المتغيرات في الحد لا يهم.
- 3س 2 و4س 2 حدود متشابهة لأن كليهما يشتملان على المتغير س مرفوعًا للأس التربيعي، لكن س وس 2 ليست حدودًا متشابهة لأن كل حد يشتمل على س بأس مختلف. بالمثل فإن (-3س ص) و(5 س ع) ليست حدودًا متشابهة لأن مجموعة المتغيرات مختلفة في الحدين.
-
التحليل بكتابة الأرقام كحاصل ضرب عاملين. التحليل هو أحد مفاهيم تمثيل رقم معلوم كناتج ضرب عاملين مضروبين في بعضهما البعض. يمكن أن تجد أكثر من مجموعة عوامل للأرقام، فمثلًا يمكن الحصول على الرقم 12 من ضرب 1و12 أو 2و6 أو 3و4 لذا يمكننا القول أن 1و 2و3 و4و6 و12 كلها عوامل للرقم 12. هناك طريقة أخرى للتفكير في هذا الأمر وهي أن عوامل الرقم هي الأرقام التي يقبل القسمة عليها.
- يمكننا مثلًا إذا أردنا تحليل 20 أن نكتبه 4 × 5 .
- لاحظ أنه يمكن تحليل المتغير أيضًا فمثلًا -20س يمكن كتابته 4(5x) .
- لا يمكن تحليل الأرقام الأولية لأنها تقبل القسمة على نفسها و1 فقط.
-
استخدم الاختصار أقضقجض لتذكر ترتيب العمليات. يعني تبسيط التعبير أحيانًا ما هو أكثر من إجراء العمليات الموضحة به حتى الانتهاء منها كلها. من المهم في هذه الحالات أن تتذكر ترتيب العمليات حتى لا ترتكب أي أخطاء حسابية. يمكن أن يساعدك الاختصار أقضقجض على تذكر ترتيب العمليات، تناظر الحروف أنواع العمليات التي عليك إجراؤها بالترتيب. لابد من إجراء عمليات الضرب والقسمة من اليمين لليسار إذا وجدت في نفس المسألة وينطبق الأمر نفسه على الجمع والطرح. تعطي الصورة الموضحة أعلاه الإجابة الخاطئة إذ لم تجر الخطوة الأخيرة الجمع والطرح من اليمين لليسار بل تم الجمع أولًا. يجب أن تظهر 25-20=5 ثم 5+6=11.
- أقواس
- قوى
- ضرب
- قسمة
- جمع
- طرح
-
اكتب معادلتك. يمكن حل أبسط المعادلات الجبرية -وهي التي تتضمن القليل من حدود المتغيرات ومعاملاتها أرقام صحيحة دون كسور أو جذور إلخ- بخطوات قليلة فحسب. أول خطوة لتبسيط المعادلة في معظم مسائل الرياضيات هي كتابتها.
- لنأخذ التعبير 1 + 2س – 3 +4 س كمثال في خطواتنا القليلة القادمة.
-
حدد الحدود المتشابهة. ابحث بعد ذلك عن الحدود المتشابهة في المعادلة. تذكر أن الحدود المتشابهة تشتمل على نفس المتغير(ات) والأس(الأسس).
- لنحدد الحدود المتشابهة في معادلتنا 1 + 2س – 3 + 4س مثلًا. المتغير نفسه موجود في 2س و4س ومرفوع لنفس الأس (س في هذه الحالة غير مرفوعة لأي أس على الإطلاق). بالإضافة لذلك فإن 1 و-3 حدود متشابهة إذ لا يوجد متغيرات في أي منهما. لذا فإن 2س و4س و 1 و-3 حدود متشابهة في معادلتنا.
-
ضم الحدود المتشابهة. يمكن الآن وقد حددت الحدود المتشابهة أن تضمها لتبسيط المعادلة. اجمع الحدود (أو اطرح في حالة الحدود السالبة) لتقليل كل مجموعة تتكون من نفس المتغيرات والأسس لتصبح حدًا واحدًا.
- لنجمع الحدود المتشابهة في مثالنا.
- 2س + 4س = 6س
- 1 + -3 = -2
- لنجمع الحدود المتشابهة في مثالنا.
-
ابتكر تعبيرًا مبسطًا من الحدود المبسطة. كون تعبيرًا من مجموعة حدودك الجديدة الصغيرة بعد جمع الحدود المتشابهة. يجب أن تحصل على تعبير أبسط بحد واحد لكل مجموعة مختلفة من المتغيرات والأسس في التعبير الأصلي. هذا التعبير الجديد مساو للأول.
- الحدود المبسطة في مثالنا هي 6س و-2 لذا فإن تعبيرنا الجديد هو 6س -2 . هذا التعبير المبسط مساو للأصلي (1 + 2س – 3 + 4س) لكنه أقصر وأسهل، كما أن تحليله أسهل وهذه مهارة تبسيط مهمة أخرى كما سنرى أدناه.
-
اتبع ترتيب العمليات عند جمع الحدود المتشابهة. تمييز الحدود المتشابهة بسيط في التعبيرات شديدة البساطة –كالذي تعاملنا معه في المسألة الموضحة أعلاه، لكن في التعبيرات الأكثر تعقيدًا – كالتي تشتمل على حدود داخل الأقواس وكسور وجذور- قد لا تتضح الحدود المتشابهة التي يمكن جمعها على الفور. اتبع ترتيب العمليات في هذه الحالات مع إجرائها على الحدود المكونة لتعبيرك حسب الضرورة حتى تتبقى لك عمليات الجمع والطرح.
- لنأخذ المعادلة 5(3س -1) + س((2س)/(2)) + 8 – 3س مثلًا. سيكون من الخاطئ تحديد 3س و2س كحدود متشابهة على الفور وجمعها لأن الأقواس الموجودة في التعبير توضح أننا ملزمون بإجراء عمليات أخرى أولًا. أولًا لنجر العمليات الحسابية في التعبير حسب ترتيب العمليات للحصول على الحدود التي "نستطيع" استخدامها. انظر أدناه:
- 5(3س -1) + س((2س)/(2)) + 8 – 3س
- 15س – 5 +س (س) +8 -3س
- 15س – 5 +س 2 + 8 - 3س. يمكننا جمع الحدود المتشابهة الآن نظرًا لأن العمليات المتبقية هي الجمع والطرح فقط.
- س 2 + (15س – 3س) + (8-5)
- س 2 + 12س +3
- لنأخذ المعادلة 5(3س -1) + س((2س)/(2)) + 8 – 3س مثلًا. سيكون من الخاطئ تحديد 3س و2س كحدود متشابهة على الفور وجمعها لأن الأقواس الموجودة في التعبير توضح أننا ملزمون بإجراء عمليات أخرى أولًا. أولًا لنجر العمليات الحسابية في التعبير حسب ترتيب العمليات للحصول على الحدود التي "نستطيع" استخدامها. انظر أدناه:
-
تحديد القاسم المشترك الأكبر في التعبير. التحليل هو طريقة لتبسيط التعبير من خلال حذف العوامل المشتركة في جميع حدوده. جد القاسم المشترك الأكبر بين جميع الحدود لتبدأ، بعبارة أخرى أكبر رقم تقبل جميع الحدود القسمة عليه.
- لنستخدم المعادلة 9س 2 + 27س - 3. لاحظ أن كل حدود التعبير تقبل القسمة على 3. يمكننا القول أن 3 هي القاسم المشترك الأكبر في تعبيرنا لأن كل الحدود لا تقبل القسمة على أي رقم أكبر منه.
-
اقسم حدود التعبير على القاسم المشترك الأكبر. اقسم كل حدود المعادلة بعد ذلك على القاسم المشترك الأكبر الذي وجدته للتو. ستكون معاملات الحدود الناتجة أصغر منها في التعبير الأصلي.
- لنحلل معادلتنا مستخدمين القاسم المشترك الأكبر 3. سنقسم كل الحدود على 3 لفعل ذلك.
- 9س 2 /3 = 3س 2
- 27س/3 = 9س
- -3/3 = -1
- لذا فإن تعبيرنا الجديد هو 3س 2 +9س –1.
- لنحلل معادلتنا مستخدمين القاسم المشترك الأكبر 3. سنقسم كل الحدود على 3 لفعل ذلك.
-
مثل التعبير كناتج لضرب القاسم المشترك الأكبر في الحدود الباقية. تعبيرك الجديد لا يساوي التعبير القديم لذا فإن القول بأنه مختصر غير دقيق. علينا أن نأخذ حقيقة القسمة على القاسم المشترك الأكبر في الحسبان لنساوي بين التعبيرين. ضع تعبيرك الجديد في أقواس وضع القاسم المشترك الأكبر للمعادلة الأصلية كمعامل له.
- سنضع تعبيرنا الجديد 3س 2 +9س -1 في أقواس ونضربه في القاسم المشترك الأكبر للمعادلة الأصلية لنحصل على 3(3س 2 +9س - 1 ) . هذه المعادلة مساوية للأصلية 9س 2 +27س -3.
-
استخدم التحليل لتبسيط الكسور. قد تتساءل الآن عن سبب كون التحليل مفيدًا إذا كان لابد من ضرب القاسم المشترك الأكبر بعد التخلص منه. في الحقيقة أن التحليل يمكن الرياضيين من إجراء العديد من الحيل لتبسيط التعبير. تتمثل إحدى أسهل هذه الحيل في الاستفادة من حقيقة أن ضرب بسط الكسر ومقامه في الرقم نفسه يعطي كسرًا مكافئًا. انظر أدناه:
- لنقل بأن التعبير الأصلي في مثالنا 9س 2
+27س -3 هو بسط لكسر أكبر مقامه 3. سيبدو هذا الكسر هكذا: 9س 2
+27س -3 /3. يمكننا استخدام التحليل لتبسيط هذا الكسر.
- لنعوض بالصورة المحللة من التعبير الأصلي في البسط: (3(3س 2 +9س -1))/3
- لاحظ الآن أن هناك معامل مشترك في البسط والمقام وهو 3. سنحصل على (3س 2 +9س -1 )/1 بقسمة البسط والمقام على 3.
- يمكننا القول أننا نستطيع تبسيط الكسر الأصلي ليصبح 3س 2 +9س - 1 لأن الكسر الذي مقامه واحد يساوي حدود البسط.
- لنقل بأن التعبير الأصلي في مثالنا 9س 2
+27س -3 هو بسط لكسر أكبر مقامه 3. سيبدو هذا الكسر هكذا: 9س 2
+27س -3 /3. يمكننا استخدام التحليل لتبسيط هذا الكسر.
-
بسط الكسور بالقسمة على العوامل المشتركة. يمكن حذف العوامل من الكسر بأكمله إذا كانت مشتركة بين البسط والمقام كما لاحظنا أعلاه. سيتطلب هذا أحيانًا تحليل البسط أو المقام أو كليهما (كما في حالة المثال الموضح أعلاه) بينما تكون العوامل المشتركة واضحة من الوهلة الأولى في أحيان أخرى. لاحظ أنه يمكن قسمة حدود البسط على تعبير المقام كل على حدة للحصول على تعبير مبسط.
- لنأخذ مثالًا لا يتطلب تحليلًا مطولًا بالضرورة. قد نرغب مثلًا في حالة الكسر (5س 2
+10س +20)/10 في قسمة كل حدود البسط على 10 الموجود بالمقام لتبسيطه حتى لو لم يكن المعامل "5" في الحد 5س 2
أكبر من 10 ولذا لا يمكننا اعتبار ال10 عاملًا.
- سنحصل على ((5س 2 /10) + س +2 عند فعل هذا. قد نرغب في إعادة كتابة الحد الأول ليصبح (1/2) س 2 لنحصل على (1/2) س 2 +س +2 إذا أردنا.
- لنأخذ مثالًا لا يتطلب تحليلًا مطولًا بالضرورة. قد نرغب مثلًا في حالة الكسر (5س 2
+10س +20)/10 في قسمة كل حدود البسط على 10 الموجود بالمقام لتبسيطه حتى لو لم يكن المعامل "5" في الحد 5س 2
أكبر من 10 ولذا لا يمكننا اعتبار ال10 عاملًا.
-
استخدم العوامل المربعة لتبسيط الجذور. تسمى التعبيرات الواقعة تحت علامة الجذر التربيعي بالتعبيرات المجذورة. يمكن تبسيط هذه التعبيرات بتحديد العوامل المربعة (العوامل التي تمثل تربيع رقم صحيح) وأخذ الجذر التربيعي لها كل على حدة لإخراجها من تحت علامة الجذر.
- لنأخذ المثال البسيط -√ (90). إذا فكرنا في الرقم 90 على أنه حاصل ضرب عامليه 9و10 يمكننا أخذ الجذر التربيعي ل9 لنحصل على الرقم الصحيح 3 ونخرجه من تحت علامة الجذر. بعبارة أخرى:
- √(90)
- √(9*10)
- (√(9)* √(10))
- 3*√(10)
- 3 √(10)
- لنأخذ المثال البسيط -√ (90). إذا فكرنا في الرقم 90 على أنه حاصل ضرب عامليه 9و10 يمكننا أخذ الجذر التربيعي ل9 لنحصل على الرقم الصحيح 3 ونخرجه من تحت علامة الجذر. بعبارة أخرى:
-
اجمع الأسس عند ضرب حدين أسيين واطرحها عند القسمة. تتطلب بعض التعبيرات الجبرية ضرب الحدود الأسية أو قسمتها. اجمع الأسس عند الضرب واطرحها عند القسمة لتوفير الوقت بدلًا من حساب كل حد أسي وإجراء الضرب أو القسمة بشكل يدوي، كما يمكن استخدام هذا المفهوم لتبسيط التعبيرات المشتملة على المتغيرات.
- لنأخذ التعبير 6س 3
*8س 4
+ (س 17
/ س 15
) كمثال. سنطرح الأسس أو نجمعها في كل مرة يتوجب علينا الضرب أو القسمة بالترتيب لإيجاد الحد المبسط بسرعة. انظر أدناه:
- 6س 3 *8س 4 + (س 17 /س 15 )
- (6*8)س 3 + 4 + (س 17 - 15 )
- 48 س 7 + س 2
- انظر أدناه للحصول على شرح لكيفية عمل هذه الطريقة:
- يشبه ضرب الحدود الأسية في الأساس ضرب تعبيرات مطولة من الحدود غير الأسية. مثلًا س 3 = س*س*س وس 5 = س*س*س*س*س وس 3 *س 5 = (س*س*س)*( س*س*س*س*س) أو س 8 .
- بالمثل فإن قسمة الحدود الأسية تشبة قسمة تعبير طويل من الحدود غير الأسية. س 5 /س 3 = (س*س*س*س*س)/(س*س*س). سيتبقى لدينا اثنين س في البسط وسيخلو منها المقام نظرًا لإمكانية حذف كل حد في البسط مع آخر يطابقه في المقام وبالتالي نحصل على الإجابة س 2
- لنأخذ التعبير 6س 3
*8س 4
+ (س 17
/ س 15
) كمثال. سنطرح الأسس أو نجمعها في كل مرة يتوجب علينا الضرب أو القسمة بالترتيب لإيجاد الحد المبسط بسرعة. انظر أدناه:
أفكار مفيدة
- تذكر دومًا أن عليك التفكير في هذه الأرقام كوجود علامات موجبة وسالبة. يعلق الكثيرون في التفكير "ما الإشارة التي علي وضعها هنا؟"
- اطلب المساعدة عند الحاجة
- لا يعتبر تبسيط التعبيرات الجبرية سهلًا لكنك ستستخدمه طيلة حياتك حين تتقنه.
تحذيرات
- احرص ألاتجمع رقمًا إضافيًا أو أسًا أو عملية ليس هذا مكانها بالخطأ.
- ابحث دومًا عن الحدود المتشابهة ولا تنخدع بالأسس.
