تنزيل المقال
تنزيل المقال
يمكن لتعلم الجبر أن يبدو مخيفًا لكن لن يكون هناك صعوبة في الأمر حين تتقن مبادئه. التزم باتباع الترتيب المناسب لكتابة أجزاء المعادلة الكاملة والحفاظ على تنظيم حلك لتجنب الوقوع في الأخطاء.
الخطوات
-
راجع العمليات الرياضية الأساسية. ستحتاج لمعرفة مهارات الرياضيات الأساسية كالجمع والطرح والضرب والقسمة لتبدأ تعلم الجبر. تعتبر رياضيات المرحلة الابتدائية/الأساسية هذه ضرورية قبل أن تبدأ تعلم الجبر وإذا لم تكن تتقن هذه المهارات فسيكون من الصعب أن تستوعب الأفكار الأعقد في الجبر. جرب مراجعة مقالتنا عن مهارات الرياضيات الأساسية إذا كنت بحاجة لمن يذكرك بهذه العمليات.
- ليس بالضرورة أن تكون "نابغة" في حل هذه العمليات الأساسية ذهنيًا لتحل مسائل الجبر. تسمح العديد من صفوف الجبر باستخدام الآلة الحاسبة لتوفير الوقت عند إجراء هذه العمليات البسيطة، لكن يجب على الأقل أن تعرف كيفية إجرائها دون آلة حاسبة تحسبًا لعدم السماح باستخدامها ذات مرة.
-
اعرف ترتيب العمليات. تتمثل إحدى أصعب الأمور على المبتدئين عند حل معادلة جبرية في معرفة نقطة البدء. لحسن الحظ هناك ترتيب معين لحل هذه المسائل، فأولًا تجري أي عمليات رياضية بين أقواس ثم عمليات الأسس ثم الضرب ثم القسمة ثم الجمع وأخيرًا الطرح. يعد الاختصار "قاض قجط" أداة مفيدة لتذكر ترتيب العمليات هذا. تطبيق أولوية العمليات وإليك تلخيص ترتيب أولوية العمليات:
- قوسين
- أسس
- ضرب
- قسمة
- جمع
- طرح
- ترتيب أولوية العمليات مهم في الجبر لأن إجراءها في المسائل بترتيب خاطئ يؤثر في الإجابة أحيانًا، فإذا كنت تتعامل مثلًا مع المسألة الرياضية 8+2×5 وجمعنا 2 و8 أولًا فسنحصل على 10×5 = 50، أما إذا ضربنا 2 في 5 أولًا فسنحصل على 8+10=18. الإجابة الثانية فقط هي الصحيحة.
-
اعرف كيفية استخدام الأرقام السالبة. يشيع في الجبر استخدام الأرقام السالبة لذا من الذكاء أن تراجع كيفية جمعها وطرحها وضربها وقسمتها قبل أن تبدأ بتعلم الجبر. نوضح القليل من أساسيات الأرقام السالبة أدناه والتي عليك تذكرها، ويمكن أن تبحث عن جمع وطرح الأرقام السالبة وضرب الأرقام السالبة وقسمتها لمزيد من المعلومات.
- النسخة السالبة من الرقم على خط الأعداد هي نفس المسافة من الصفر إلى الرقم الموجب لكن في الاتجاه المعاكس.
- جمع سالبين يعطي رقمًا "سالبًا أكثر" (بعبارة أخرى سيكون الرقم أكبر لكنه يعد أصغر لأن إشارته سالبة)
- تتابع إشارتين سالبتين يلغيهما، أي أن طرح رقمين سالبين هو نفسه جمع رقم موجب
- ناتج ضرب سالبين أو قسمتهما موجب
- ناتج ضرب رقمين أحدهما موجب والآخر سالب يعطي إجابة سالبة
-
اعرف كيف تحافظ على تنظيم المسائل الطويلة. تحل مسائل الجبر البسيطة سريعًا بينما تتطلب المسائل الأكثر تعقيدًا المزيد من الخطوات. حافظ على تنظيم حلك بأن تبدأ في سطر جديد في كل خطوة من خطوات حل المسألة لتتجنب الأخطاء. حاول كتابة جميع علامات التساوي(=) تحت بعضها البعض إذا كنت تتعامل مع معادلة ذات طرفين، فبهذه الطريقة سيسهل اكتشاف الخطأ وتصحيحه إذا وقع.
- يمكننا أن نحافظ على تنظيم الحل مثلًا عند حل المعادلة 9 ÷ 3 – 5 + 3 × 4 كما يلي:
-
- 9 ÷ 3 – 5 + 3 × 4
- 9 ÷ 3 – 5 + 12
- 3 – 5 + 12
- 3 + 7
- "10"
-
- يمكننا أن نحافظ على تنظيم الحل مثلًا عند حل المعادلة 9 ÷ 3 – 5 + 3 × 4 كما يلي:
-
ابحث عن الرموز التي ليست من الأرقام. ستلاحظ مع بدء دراسة الجبر وجود حروف هجائية ورموز تظهر في مسائل الرياضيات، بدلًا من الأرقام فقط، وتُسمى تلك الحروف "المتغيرات". المتغيرات ليست معقدة كما تبدو للوهلة الأولى فهي مجرد طرق للتعبير عن الأرقام بمجاهيل. إليك بضع أمثلة شائعة للمتغيرات في الجبر أدناه:
- الحروف مثل: "س" و"ص" و"ع" و"ن" و"هـ"
- الحروف الإغريقية، مثل: سيتا أو θ
- لاحظ أنه لا تعتبر "جميع" الرموز متغيرات مجهولة فمثلًا ط أو π يساوي دومًا 3,14159.
-
فكر في المتغيرات على أنها أرقامٌ "مجهولة". المتغيرات في الأساس مجرد أرقام مجهولة القيمة كما ذكرنا أعلاه، بعبارة أخرى هناك "رقم ما" يمكن أن يحل محل المتغير لتتحقق المعادلة. عادة ما يكون هدفك في مسائل الجبر أن تعرف قيمة المتغير؛ فكر فيه "كرقم سري" تحاول اكتشافه.
- س هي المتغير في المعادلة 2س + 3 = 11 مثلًا. يعني هذا أن هناك قيمة مكان س تجعل الطرف الأيمن من المعادلة يساوي 11، وحيث أن 2 × 4 + 3 =11 فإن س=4 في هذه الحالة.
- هناك طريقة سهلة لتبدأ بفهم المتغيرات وهي استبدالها بعلامات استفهام في مسائل الجبر. يمكننا مثلًا أن نعيد كتابة المعادلة 2 +3 + س = 9 في صورة 2 + 3 + ؟ = 9 فهذا يسهل فهم سبب محاولتنا فعل ذلك، علينا فقط أن نعرف ما الرقم الذي نجمعه إلى 2 + 3 =5 لنحصل على 9. الإجابة مجددًا هي 4 بالطبع.
-
انتبه للمتغيرات المتكررة. بسط المتغيرات إذا تكرر ظهور أحدها أكثر من مرة. ماذا تفعل إذا ظهر نفس المتغير أكثر من مرة في المعادلة؟ رغم أن حل هذا الموقف قد يبدو صعبًا لكن في الحقيقة يمكنك معاملة المتغيرات كالأرقام العادية؛ بعبارة أخرى يمكنك جمعها وطرحها وهكذا ما دامت متشابهة، بعبارة أخرى س + س = 2س لكن س + ص لاتساوي 2 س ص.
- لننظر إلى المعادلة 2 س + س = 9 مثلًا. يمكننا جمع 2س وس في هذه الحالة لنحصل على 3س، وحيث أن 3 × 3 = 9 فسنعلم أن س = 3.
- لاحظ مجددًا أنه يمكنك جمع المتغيرات نفسها فقط ففي المعادلة 2س + ص = 9 لا يمكننا جمع 2س وص لاختلاف المتغيرين.
- ينطبق هذا أيضًا حين تختلف أسس المتغير الواحد فمثلًا في المعادلة 2س + 3س 2 = 10 لا يمكننا جمع 2س و3س 2 لأن أس س مختلف. ابحث عن كيفية جمع الأسس لمزيد من المعلومات.
-
حاول أن تجعل المتغير بمفرده في معادلات الجبر. عادة ما يعني حل المعادلة في الجبر إيجاد قيمة المتغير، وغالبًا ما تكون هناك أرقام و/أو متغيرات في طرفي المعادلات الجبرية مثل: س + 2 = 9 × 4. عليك أن تجعل المتغير بمفرده في أحد طرفي المعادلة لتعرف قيمته وتصبح إجابتك هي ما يوجد في الطرف الآخر أيًا كان.
- علينا التخلص من "+2" لنجعل س بمفردها في الطرف الأيمن من المعادلة في المثال (س + 2 = 9 × 4)، سنطرح 2 من ذلك الطرف لفعل هذا ما يبقي لنا س = 9 × 4 لكن علينا أيضًا أن نطرح 2 من الطرف الآخر لنحافظ على تساوي المعادلة وهذا يبقي لنا س = 9 × 4 – 2. سنضرب أولًا ثم نطرح متبعين ترتيب العمليات لنحصل على الإجابة س = 36 – 2 =34.
-
أبطل الجمع بالطرح (والعكس بالعكس). عادة ما يعني وضع س بمفردها في أحد طرفي المعادلة أن نتخلص من الرقم المجاور لها كما رأينا أعلاه ولفعل هذا نجري العملية "العكسية" على طرفي المعادلة. في المعادلة س + 3 = مثلًا سنرى "+3" بجوار س لذا سنضع "-3" في الطرفين. نحذف "+3" مع "-3" لتظل س فقط و نجد "-3" في طرف المعادلة الآخر هكذا: س = -3.
- الجمع والطرح متعاكسان عمومًا لذا نجري أحدهما للتخلص من الآخر. انظر أدناه:
-
- اطرح في حالة الجمع. مثال: س + 9 = 3 → س = 3 - 9
- اجمع للطرح. مثال: س -4 = 20 → س = 20 + 4
-
- الجمع والطرح متعاكسان عمومًا لذا نجري أحدهما للتخلص من الآخر. انظر أدناه:
-
ألغِ الضرب بالقسمة (والعكس بالعكس). العمل مع الضرب والقسمة أصعب قليلًا منه مع الجمع والطرح لكن لهما نفس العلاقة "العكسية"، فإذا رأيت أ × 3 في أحد الطرفين فاختصر بقسمة الطرفين على 3 وهكذا.
- لابد من إجراء العملية المعاكسة على "كل" ما يوجد في الطرف الآخر للمعادلة في حالة الضرب والقسمة حتى لو كان هناك أكثر من رقم. انظر أدناه:
-
- اقسم في حالة الضرب. مثال: 6 س = 14 + 2 → س = (14+2) ÷ 6
- اضرب للقسمة. مثال: س ÷ 5= 25 → س= 25 × 5
-
- لابد من إجراء العملية المعاكسة على "كل" ما يوجد في الطرف الآخر للمعادلة في حالة الضرب والقسمة حتى لو كان هناك أكثر من رقم. انظر أدناه:
-
ألغِ الأسس بأخذ الجذور (والعكس بالعكس). الأسس من المواضع السابقة للجبر والمتقدمة إلى حد كبير. اقرأ عن أساسيات الأسس لمزيد من المعلومات إذا لم تكن تعرف كيفية حلها. معاكس الأس هو الجذر بدرجة الرقم نفسه، فمثلًا معاكس الأس 2 هو الجذر التربيعي (√) ومعاكس الأس 3 هو الجذر التكعيبي ( 3 √).
- ربما يكون الأمر مربكًا بعض الشيء لكنك ستأخذ الجذر التربيعي للطرفين في حالات التعامل مع الأسس. وبالمقابل سترفع الطرفين لنفس الأس عند التعامل مع الجذور. انظر أدناه:
-
- خذ الجذر في حالة الأسس. مثال: س 2 = 49 → س= √49
- ارفع للأس في حالة الجذور. مثال: √س =12 → 12 2
-
- ربما يكون الأمر مربكًا بعض الشيء لكنك ستأخذ الجذر التربيعي للطرفين في حالات التعامل مع الأسس. وبالمقابل سترفع الطرفين لنفس الأس عند التعامل مع الجذور. انظر أدناه:
-
استخدم الصور لتوضيح المسائل. جرب استخدام الأشكال التوضيحية أو الصور لتوضيح المعادلة إذا كنت تواجه صعوبة في تصور مسألة الجبر، حتى أنه يمكنك أن تجرب استخدام مجموعة من الأجسام المادية (كالكتل أو العملات المعدنية) كبديل إذا أتيحت لك.
- لنحل المعادلة س + 2 =3 باستخدام المربعات (☐) مثلًا
-
- س + 2 =3
- ☒+☐☐ =☐☐☐
- سنطرح 2 من الطرفين عند هذه النقطة بحذف مربعين (☐☐) من الطرفين:
- ☒+☐☐-☐☐ =☐☐☐-☐☐
- ☒=☐ أو س=1
-
- لنجرب 2س = 4 كمثال آخر
-
- ☒☒ =☐☐☐☐
- سنقسم الطرفين على 2 عند هذه النقطة بأن نفصل مربعين من كل منهما في مجموعتين:
- ☒|☒ =☐☐|☐☐
- ☒ = ☐☐ أو س = 2
-
- لنحل المعادلة س + 2 =3 باستخدام المربعات (☐) مثلًا
-
استخدام "التصحيح الحدسي" (خاصة في المسائل اللفظية). حاول تفقد معادلتك عند تحويل المسائل اللفظية إلى الصيغة الجبرية بأن تعوض عن المتغير بقيم بسيطة. هل تتحقق معادلتك عند س = 0؟ عند س=1؟ س=-1؟ يسهل ارتكاب الأخطاء البسيطة عند كتابة ب = 6 د بينما تقصد ب = د ÷ 6 لكن يمكنك تداركها بسهولة إذا أجريت مراجعة عقلية بسيطة قبل التقدم في الحل أكثر.
- لنقل مثلًا أن لدينا ملعب كرة قدم يزيد طوله عن عرضه بمقدار 27,5 م. سنستخدم المعادلة الطول = العرض + 27,5. يمكننا تفقد صحة هذه المعادلة بالتعويض عن العرض بقيم بسيطة، إذا كان الملعب بعرض 9 م مثلًا فسيكون طوله 9 + 27,5 = 36,5م. أما إذا كان بعرض 27,5 م فسيكون طوله 27,5 + 27,5 = 55 م وهكذا. هذا منطقيٌ لأننا نتوقع أن يكون طول الملعب أكبر من عرضه لذا فإن هذه المعادلة عقلانية.
-
اعلم أن الإجابات في الجبر لن تكون أرقامًا صحيحة دومًا. لا تكون الإجابات في الجبر والصور الأخرى المتقدمة من الرياضيات أرقامًا سهلة مقربة، فكثيرًا ما تكون أرقامًا عشرية أو كسورًا أو أرقامًا صماء. يمكن أن تساعدك الآلة الحاسبة في إيجاد هذه الإجابات المعقدة لكن تذكر أن المعلم قد يطلب منك إعطاء الإجابة الدقيقة وليس في صورة أعداد عشرية غير عملية.
- لنقل مثلًا أننا اختصرنا معادلة جبرية لتصبح س= 1250 7 . سنحصل على سلسلة ضخمة من الأرقام العشرية إذا كتبنا هذا الرقم على الآلة الحاسبة (وكذلك لن تظهر الإجابة كلها نظرًا لحجم الشاشة) وفي هذه الحالة قد نرغب في تمثيل الرقم بالصورة البسيطة 1250 7 أو تبسيط الإجابة بكتابتها بصورة الاصطلاح العلمي.
-
حاول أن تزيد مهاراتك. جرب التحليل حين تثق من قدراتك في أساسيات الجبر. التحليل هو أحد أصعب مهارات الجبر وهو نوعٌ من الاختصار لتحويل المعادلات المعقدة إلى صيغ بسيطة. يعد التحليل من مواضيع ما قبل الجبر شبه المتقدمة لذا ضع في اعتبارك مراجعة المقالة المضاف رابطها أعلاه إذا كنت تواجه صعوبة في إتقانه. إليك بضع أفكار سريعة لتحليل المعادلات أدناه:
- تحلل المعادلات من الصورة أ س + ب أ لتصبح أ(س + ب). مثال: 2س + 4 = 2(س + 2)
- تحلل المعادلات من الصورة أ س 2 + ب س لتصبح ج س ((أ ÷ ج)س + (ب ÷ ج)) حيث ج هو أكبر رقم يقبل أ و ب القسمة عليه. مثال: 3ص 2 + 12ص = 3ص(ص + 4)
- تحلل المعادلات من الصورة س 2 + ب س + ج لتصبح (س + ص)(س + ع) حيث ص × ع = ج وحيث ص س + ع س = ب س. مثال: س 2 + 4س + 3 = (س+3)(س+1).
-
تدرب وتدرب وتدرب. يتطلب التقدم في الجبر (وأي نوع آخر من الرياضيات) الكثير من العمل الجاد والتكرار. لا تقلق فسيصبح الجبر شديد السهولة عن طريق الانتباه في الصف وإتمام كل الفروض وطلب مساعدة المعلم أو الطلاب الآخرين عند الحاجة إليها.
-
اطلب من معلمك أن يساعدك على فهم موضوعات الجبر الصعبة. لا تقلق إذا كنت تواجه صعوبة في إتقان الجبر فليس عليك أن تتعلمه بمفردك. معلمك هو أول شخص يجب أن تذهب إليه بأسئلتك. اطلب مساعدة معلمك بتهذيب بعد الصف وعادة ما يعتزم المعلمون الجيدون إعادة شرح موضوع اليوم في مواعيد ما بعد المدرسة، حتى أنهم قد يمنحوك موادًا إضافية للتدرب.
- حاول أن تسأل معلمك عن خيارات الشرح الأخرى المتاحة في مدرستك إذا لم يستطع أن يساعدك لأي سبب. تتيح العديد من المدارس نوعًا من برامج ما بعد المدرسة والتي قد تساعدك في الحصول على الوقت والانتباه الإضافي اللذين تحتاجهما لتبرع في الجبر. تذكر أن استخدام المساعدة المجانية المتاحة لك ليست شيئًا يحرجك، وإنما هو علامة على كونك ذكيًا بما يكفي لحل مشاكلك.
-
تعلم رسم معادلات س وص. يمكن للرسوم البيانية أن تكون أدوات قيمة في الجبر لأنها تمكنك من عرض الأفكار التي تحتاج أرقامًا في الغالب لعمل صور سهلة الفهم. عادة ما تقتصر مسائل الرسم البياني في بداية الجبر على المعادلات في متغيرين (س وص عادة) وتتم على رسم بسيط ثنائي الأبعاد على محوري السينات والصادات. كل ما عليك فعله في هذه المعادلات هو التعويض عن قيمة س ثم إيجاد قيمة ص (أو العكس) للحصول على رقمين يناظران نقطة على الرسم.
- فمثلًا في المعادلة ص = 3س إذا عوضنا عن س ب2 فإن ص = 6. يعني هذا النقطة (2,6) (مسافتين إلى يمين نقطة الأصل وست مسافات فوقها)
- المعادلات من الصورة ص = م س + ب (حيث م وب أرقام) شائعة على نحو خاص في الجبر. دومًا ما يكون ميل هذه المعادلات هو م وتقطع محور الصادات عند ص = ب.
-
تعلم حل المتباينات. ماذا تفعل حين لا تجد علامة التساوي في معادلتك؟ سيتضح أن الأمر لن يختلف كثيرًا عما تفعله عادة. قم بحل المتبيانات التي تستخدم علامات< (أكبر من) و< (أصغر من) كالمعتاد وسيتبقى لديك إجابة أصغر من المتغير أو أكبر منه.
- سنحل المعادلة 5س – 2>3 مثلًا كأي معادلة عادية:
-
- 5س – 2>3
- 5س >5
- س >1 أو 1< س.
-
- يعني هذا أن "كل الأرقام الأقل من 1" تحقق س. بعبارة أخرى يمكن أن تكون س = 0 أو -1 أو -2 وهكذا. سنحصل على إجابة أقل من 3 دومًا إذا عوضنا عن س بهذه الأرقام.
- سنحل المعادلة 5س – 2>3 مثلًا كأي معادلة عادية:
-
تعلم المعادلات التربيعية. يعد حل المعادلات التربيعية أحد مواضيع الجبر التي يعاني منها الكثير من المبتدئين. المعادلات التربيعية هي المعادلات من الصورة أ س 2 + ب س + ج = 0 حيث أ وب وج أرقام (باستثناء أنه لا يمكن أن تساوي أ الصفر). تحل هذه المعادلات بالصورة س = [-ب +/-√(ب 2 -4أ ج)]/2أ. انتبه أن علامة +/- تعني أن عليك إيجاد الإجابة بالجمع "و"الطرح لذا يمكن أن تجد إجابتين لهذه النوع من المسائل.
- لنحل المعادلة التربيعية 3س 2
+ 2س – 1 = 0 كمثال.
-
- س = [-ب +/-√(ب 2 -4أ ج)]/2أ
- س = [-2 +/-√(2 2 -4(3)(-1))]/أ(3)
- س = [-2 +/-√(4 - (-12))]/6
- س = [-2 +/-√( 16))]/6
- س = [-2 +/-4]/6
- س = -1 و 1/3
-
- لنحل المعادلة التربيعية 3س 2
+ 2س – 1 = 0 كمثال.
-
جرب أنظمة المعادلات. قد يدبو حل أكثر من معادلة أمرًا فائق الصعوبة لكن حين تعمل على معادلات الجبر البسيطة فلن يكون الأمر بهذه الصعوبة. عادة ما يستخدم المعلمون الرسم البياني لحل هذه المعادلات، فعند حل نظام مكون من معادلتين تكون الحلول هي نقاط تقاطع خطي المعادلتين على الرسم.
- لنقل مثلًا أنك تعمل على نظام يضم المعادلات ص = 3س – 2 و ص = -س – 6. سنحصل إذا رسمنا هذين الخطين بيانيًا على خط متصاعد بزاوية حادة وآخر ينزل بزاوية بسيطة وحيث أنهما يتقاطعان في النقطة (-1،-5) فهي حل النظام. [١] X مصدر بحثي
- يمكننا التحقق من مسألتنا إذا أردنا من خلال التعويض بإجابتنا في معادلات النظام ويجب أن تحقق الإجابة الصحيحة كليهما.
-
- ص = 3س -2
- -5 = 3(-1) – 2
- -5 = -3 – 2
- -5 = -5
- ص = -س -6
- -5 = -(-1) – 6
- -5 = 1-6
- -5 = -5
-
- تحققت المعادلتان لذا فإن الإجابة صحيحة.
أفكار مفيدة
- هناك مئات المصادر لتعليم الجبر على الإنترنت. يمكن لبحث بسيط عن "شرح الجبر" مثلًا أن يقدم عشرات النتائج الرائعة. كما قد ترغب في أن تجرب تصفح اختيارات موقع ويكي هاو من مقالات الرياضيات . هناك كمٌ هائلٌ من المعلومات لذا ابدأ استكشافه اليوم.
- يعد موقع خان أكاديمي (khanacademy.com) أحد أروع المواقع للمبتدئين في الجبر. يقدم هذا الموقع المجاني عشرات من الدروس سهلة المتابعة والخاصة بمجموعة ضخمة من المواضيع بما فيها الجبر. هناك فيديوهات لكل شيء تقريبًا بدءًا من الأساسيات البسيطة إلى المواضيع المتقدمة والخاصة بمستوى الجامعة لذا لا تخف من الانغماس في مواد خان أكاديمي وابدأ استخدام كل المساعدة التي يتيحها هذا الموقع.
- لا تنسَ حين تحاول تعلم الجبر أن أفضل مصادرك قد تتمثل فيمن ترتاح لرفقتهم بالفعل. جرب التحدث مع الأصدقاء أو الزملاء الذي يرتادون معك نفس الصف إذا احتجت لمساعدة إضافية في فهم الدرس الأخير.
- لا تنتظر حتى آخر لحظة لتطلب المساعدة إذا احتجتها.
