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Der Radius einer Kugel (abgekürzt durch die Variable r oder R ) ist der Abstand des exakten Mittelpunkts der Kugel zu einem Punkt an der Außenseite dieser Kugel. Wie bei einem Kreis ist der Radius einer Kugel oftmals eine wichtige Anfangsinformation zur Berechnung des Durchmessers der Form, ihres Umfangs, der Oberfläche und/oder ihres Volumens. Du kannst allerdings auch vom Durchmesser, dem Umfang etc. rückwärts vorgehen, um den Radius der Kugel herauszufinden. Verwende die Formel, die mit den dir vorliegenden Informationen funktioniert.
Vorgehensweise
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Finde den Radius, wenn du den Durchmesser kennst. Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers, wende also die Formel r = D/2 an. Dies ist identisch mit der Methode, die zur Berechnung des Radius eines Kreises aus seinem Durchmesser angewandt wird. [1] X Forschungsquelle
- Wenn du eine Kugel mit einem Durchmesser von 16 cm hast, finde den Radius, indem du 16 durch 2 teilst. Das Ergebnis ist 8 cm . Wenn der Durchmesser 42 ist, ist der Radius 21 .
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Finde den Radius, wenn du den Umfang kennst. Wende die Formel C/2π an. Da der Umfang πD entspricht, was wiederum 2πr entspricht, erhältst du den Radius, wenn du Umfang durch 2π teilst. [2] X Forschungsquelle
- Wenn du eine Kugel mit einem Umfang von 20 m hast, finde den Radius so: 20/2π = 3,183 m .
- Wende die gleiche Formal an, um den Radius eines Kreises aus seinem Umfang zu bestimmen.
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Berechne den Radius, wenn du das Volumen einer Kugel kennst. Wende die Formel ((V/π)(3/4)) 1/3 an. [3] X Forschungsquelle Das Volumen einer Kugel wird abgeleitet aus der Gleichung V = (4/3)πr 3 . Wenn du diese Gleichung nach der Variablen r auflöst, bekommst du ((V/π)(3/4)) 1/3 = r, was bedeutet, dass der Radius einer Kugel dem Volumen geteilt durch π mal 3/4 und davon die Kubikwurzel genommen entspricht. [4] X Forschungsquelle
- Wenn du eine Kugel mit einem Volumen von 100 cm 3
hast, löse wie folgt nach dem Radius auf:
- ((V/π)(3/4)) 1/3 = r
- ((100/π)(3/4)) 1/3 = r
- ((31,83)(3/4)) 1/3 = r
- (23,87) 1/3 = r
- 2,88 cm = r
- Wenn du eine Kugel mit einem Volumen von 100 cm 3
hast, löse wie folgt nach dem Radius auf:
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Finde den Radius über die Oberfläche. Wende die Formel r = √(A/(4π)) an. Die Oberfläche einer Kugel wird mit der Gleichung A = 4πr 2 bestimmt. Wenn du die Gleichung nach der Variablen r auflöst, erhältst du √(A/(4π)) = r, was bedeutet, dass der Radius einer Kugel der Quadratwurzel der Oberfläche geteilt durch 4 entspricht.
- Wenn du eine Kugel mit einer Oberfläche von 1.200 cm 2
hast, löse die Gleichung so nach dem Radius auf:
- √(A/(4π)) = r
- √(1200/(4π)) = r
- √(300/(π)) = r
- √(95,49) = r
- 9,77 cm = r
Werbeanzeige - Wenn du eine Kugel mit einer Oberfläche von 1.200 cm 2
hast, löse die Gleichung so nach dem Radius auf:
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Identifiziere die Grundmaße einer Kugel. Der Radius ( r ) ist der Abstand vom exakten Mittelpunkt der Kugel zu einem beliebigen Punkt auf der Oberfläche der Kugel. Allgemein gesagt kannst du den Radius einer Kugel herausfinden, wenn du den Durchmesser kennst, den Umfang, das Volumen oder die Oberfläche.
- Durchmesser (D) : Die Entfernung quer durch die Kugel - das Doppelte des Radius. Der Durchmesser ist die Länge einer Linie durch die Mitte der Kugel: von einem Punkt an der Außenseite der Kugel an einen anderen, direkt gegenüberliegenden Punkt. D.h. die größtmögliche Entfernung zwischen zwei Punkten auf der Kugel.
- Umfang (C) : Die eindimensionale Entfernung um die Kugel herum an ihrem breitesten Punkt. D.h. der Umfang eines durch die Mitte der Kugel verlaufenden Querschnitts.
- Volumen (V) : Der in der Kugel umschlossene dreidimensionale Raum. Dies ist der Raum, den die Kugel einnimmt. [5] X Forschungsquelle
- Oberfläche (A) : Der zweidimensionale Bereich an der Außenseite der Kugel. Die Oberfläche bezeichnet die Menge des flachen Raums, der die Außenseite der Kugel bedeckt.
- Pi (π) : Eine Konstante, die das Verhältnis des Umfangs des Kreises zum Durchmesser des Kreises ausdrückt. Die ersten zehn Stellen von Pi sind immer 3,141592653, auch wenn Pi normalerweise auf 3,14 gerundet wird.
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Verwende verschiedene Maße, um den Radius herauszufinden. Du kannst den Durchmesser, den Umfang, das Volumen und die Oberfläche verwenden, um den Radius einer Kugel zu berechnen. Du kannst auch jede dieser Zahlen berechnen, wenn du den Radius selbst kennst. Um also den Radius herauszufinden, versuche die Formeln für die Berechnung dieser Komponenten entsprechend umzukehren. Lerne die Formeln, die mithilfe des Radius den Durchmesser, den Umfang, das Volumen und die Oberfläche bestimmen.
- D = 2r . Wie bei einem Kreis ist der Durchmesser einer Kugel das Doppelte des Radius.
- C = πD or 2πr . Wie bei einem Kreis entspricht der Umfang einer Kugel π mal dem Durchmesser. Da der Durchmesser das Doppelte des Radius ist, können wir auch sagen, dass der Umfang zweimal der Radius mal π ist.
- V = (4/3)πr 3 . Das Volumen einer Kugel ist der Radius hoch drei (zweimal mit sich selbst multipliziert), mal π mal 4/3. [6] X Forschungsquelle
- A = 4πr 2 . Die Oberfläche einer Kugel ist der Radius im Quadrat (mit sich selbst multipliziert) mal π mal 4. Da die Fläche eines Kreises πr 2 ist, können wir auch sagen, dass die Oberfläche einer Kugel vier mal die Fläche des Kreises nach seinem Umfang ist.
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Methode 3
Methode 3 von 3:
Den Radius als Entfernung zwischen zwei Punkten herausfinden
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Finde die (x,y,z) Koordinaten des Mittelpunkts der Kugel. Eine Möglichkeit, sich den Radius einer Kugel vorzustellen, ist als Entfernung zwischen dem Punkt in der Mitte der Kugel und einem beliebigen Punkt an der Außenseite der Kugel. Da dies wahr ist - und wenn du die Koordinaten des Mittelpunkts und eines beliebigen Punkts an der Außenseite kennst -, kannst du den Radius der Kugel herausfinden, indem du einfach den Abstand zwischen diesen beiden Punkten mit einer einfachen Variante der grundlegenden Entfernungsformel berechnest. Finde zu Anfang die Koordinaten des Mittelpunkts der Kugel. Achte darauf, dass die Koordinate aus drei Stellen (x, y, z) besteht, weil Kugeln dreidimensional sind.
- Das Ganze ist anhand eines Beispiels einfacher zu verstehen. Nehmen wir z. B. an, dass wir eine Kugel mit dem Mittelpunkt (4, -1, 12) haben. In den nächsten Schritten werden wir mithilfe dieses Punkts den Radius herausfinden.
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Finde die Koordinaten eines Punkts auf der Oberfläche der Kugel. Als Nächstes musst du die (x,y,z) Koordinaten eines Punkts auf der Oberfläche der Kugel herausfinden. Dies kann jeder beliebige Punkt auf der Oberfläche der Kugel sein. Da die Punkte auf der Oberfläche einer Kugel per Definition alle die gleiche Entfernung zum Mittelpunkt haben, kannst du zur Bestimmung des Radius jeden beliebigen Punkt nehmen.
- Nehmen wir in unserem Beispiel an, dass wir wissen, dass der Punkt (3, 3, 0) auf der Oberfläche der Kugel liegt. Indem wir die Entfernung zwischen diesem Punkt und dem Mittelpunkt berechnen, können wir den Radius herausfinden.
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Finde den Radius mit der Formel d = √((x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2 + (z 2 - z 1 ) 2 ). Jetzt, wo du den Mittelpunkt der Kugel und einen Punkt auf der Oberfläche kennst, findest du durch die Berechnung der Entfernung zwischen diesen beiden den Radius heraus. Verwende die dreidimensionale Entfernungsformel d = √((x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2 + (z 2 - z 1 ) 2 ), wobei d für die Entfernung steht, (x 1 ,y 1 ,z 1 ) für die Koordinaten des Mittelpunkts und (x 2 ,y 2 ,z 2 ) für die Koordinaten des Punkts an der Oberfläche, um die Entfernung zwischen diesen beiden Punkten herauszufinden.
- In unserem Beispiel würden wir wie folgt einsetzen: (4, -1, 12) für (x 1
,y 1
,z 1
) und (3, 3, 0) für (x 2
,y 2
,z 2
) und so lösen:
- d = √((x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2 + (z 2 - z 1 ) 2 )
- d = √((3 - 4) 2 + (3 - -1) 2 + (0 - 12) 2 )
- d = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2 )
- d = √(1 + 16 + 144)
- d = √(161)
- d = 12,69 . Dies ist der Radius unserer Kugel.
- In unserem Beispiel würden wir wie folgt einsetzen: (4, -1, 12) für (x 1
,y 1
,z 1
) und (3, 3, 0) für (x 2
,y 2
,z 2
) und so lösen:
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Wisse, dass in allgemeinen Fällen r = √((x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2 + (z 2 - z 1 ) 2 ) ist. Bei einer Kugel hat jeder Punkt auf der Oberfläche der Kugel den gleichen Abstand zum Mittelpunkt. Wenn wir die dreidimensionale Entfernungsformel oben verwenden und die Variable "d" durch die Variable "r" für den Radius ersetzen, erhalten wir eine Form der Gleichung, mit der wir für jeden beliebigen Mittelpunkt (x 1 ,y 1 ,z 1 ) und jeden beliebigen Punkt an der Oberfläche (x 2 ,y 2 ,z 2 ) den Radius herausfinden können.
- Indem wir beide Seiten der Gleichung zum Quadrat nehmen, erhalten wir r 2 = (x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2 + (z 2 - z 1 ) 2 . Beachte, dass dies im Wesentlichen der einfachen Kugelgleichung r 2 = x 2 + y 2 + z 2 , die von einem Mittelpunkt (0,0,0) ausgeht, entspricht.
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Tipps
- Die Reihenfolge, in der die Operationen durchgeführt werden, ist wichtig. Wenn du dir nicht sicher bist, wie Prioritäten funktionieren und dein Taschenrechner Klammern unterstützt, dann verwende sie!
- Dieser Artikel wurde auf Nachfrage erstellt. Wenn du allerdings zum ersten Mal versuchst, der Raumgeometrie von Körpern auf die Spur zu kommen, ist es zweifellos besser, wenn du auf der anderen Seite anfängst: über den Radius die Eigenschaften einer Kugel berechnen.
- π oder pi ist ein griechischer Buchstabe, der für das Verhältnis des Durchmessers eines Kreises zu seinem Umfang steht. Pi ist eine irrationale Zahl und kann nicht als Verhältnis von echten Zahlen geschrieben werden. Es gibt viele Näherungen. Heutzutage verwenden die meisten Leute die Näherung 3,14, welche üblicherweise ausreichend genau für alltägliche Zwecke ist.
- Wenn du die fragliche Kugel greifbar hast, kannst du ihre Maße auch durch die Wasserverdrängung herausfinden. Vorausgesetzt, die Größe ermöglicht dies, kannst du die Kugel in einen vollen Wasserbehälter untertauchen und das überlaufende Wasser sammeln. Miss dann das Volumen dieses Wassers. Wandle von Milliliter in Kubikzentimeter oder ein Maß deiner Wahl für die Kugel um und du kannst diesen Wert nutzen, um die Gleichung v=pi*r^3 nach r aufzulösen. Dies ist etwas komplizierter als das Messen des Umfangs mit einem Maßband, kann aber genauer sein, da du dir keine Gedanken darum machen musst, ob dein Maßband von der Mitte abgerutscht ist.
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Referenzen
- ↑ http://www.rkm.com.au/CALCULATORS/CALCULATOR-circle-sphere.html
- ↑ http://www.calculatorsoup.com/calculators/geometry-solids/sphere.php
- ↑ http://www.varsitytutors.com/sat_math-help/how-to-find-the-radius-of-a-sphere
- ↑ http://mathcentral.uregina.ca/QQ/database/QQ.09.07/h/cey2.html
- ↑ http://www.web-formulas.com/Math_Formulas/Geometry_Volume_of_Sphere.aspx
- ↑ http://mathforum.org/library/drmath/view/54892.html
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