Den Umfang eines Dreiecks berechnen

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unter Mitarbeit von Grace Imson, MA

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Den Umfang eines Dreicks zu berechnen bedeutet, die Strecke um das Dreieck herum zu bestimmen. [1] Am einfachsten kannst du den Umfang eines Dreiecks berechnen, wenn du die Länge aller Seiten zusammenrechnest. Wenn du aber die Seitenlängen nicht kennst, musst du diese erst berechnen. In diesem Artikel erklären wir dir zuerst, wie du den Umfang eines Dreiecks bestimmst, wenn du alle drei Seitenlängen kennst. Das ist der einfachste und üblichste Weg. Dann zeigen wir dir, wie du den Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks berechnest, wenn du nur zwei Seitenlängen kennst. Zu guter Letzt wird dir erklärt, wie du mit dem Kosinussatz den Umfang eines Dreiecks berechnen kannst, wenn du zwei Seitenlängen und den Winkel zwischen ihnen kennst (ein „SWS Dreieck“)

Methode 1
Methode 1 von 3:

Den Umfang bestimmen, wenn drei Seitenlängen bekannt sind

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  1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/3\/38\/Find-the-Perimeter-of-a-Triangle-Step-1-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Perimeter-of-a-Triangle-Step-1-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/3\/38\/Find-the-Perimeter-of-a-Triangle-Step-1-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Perimeter-of-a-Triangle-Step-1-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Bei einem Dreieck mit den Seiten a , b und c , wird der Umfang u folgendermaßen definiert: U = a + b + c .
    • Einfacher ausgedrückt bedeutet diese Formel, dass du die Längen der drei Seiten zusammenzählst, um den Umfang des Dreiecks zu erhalten.
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    In diesem Beispiel ist die Länge von Seite a = 5 , die Länge von Seite b = 5 und die Länge von Seite c = 5 .
    • Dieses bestimmte Beispiel wird gleichseitiges Dreieck genannt, da alle drei Seiten die gleiche Länge haben. Aber denk daran, dass die Formel für den Umfang für alle Dreiecksarten gleich ist.
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    In diesem Beispiel ist 5 + 5 + 5 = 15 . Also folgt U = 15 .
    • In einem anderen Beispiel, bei dem a = 4 , b = 3 und c=5 ist, wäre der Umfang: U = 3 + 4 + 5 oder 12 .
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    Wenn die Seiten des Dreiecks in Zentimetern gemessen werden, dann sollte deine Antwort ebenfalls in Zentimetern sein. Wenn die Seiten mit einer Variablen x angegeben werden, sollte deine Antwort auch mit x angegeben werden.
    • In diesem Beispiel ist die Seitenlänge jeweils 5 cm, so dass der korrekte Wert für den Umfang 15 cm ist.
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Methode 2
Methode 2 von 3:

Den Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen, wenn man zwei Seitenlängen kennt

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    Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck, dass einen rechten (90 Grad) Winkel hat. Die Seite des Dreiecks, die gegenüber dem rechten Winkes liegt, ist immer die längste Seite und wird Hypotenuse genannt. Rechtwinklige Dreiecke kommen häufig in Mathetests vor und zum Glück gibt es eine sehr praktische Formel, um die Länge unbekannter Seiten zu bestimmen!
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    Der Satz des Pythagoras besagt, dass bei jedem rechtwinkligen Dreieck, dessen Seiten die Längen a und b und die Hypothenuse die Länge c hat, a 2 + b 2 = c 2 gilt. [2]
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    Denk daran, dass die längste Seite des Dreiecks Hypothenuse genannt wird. Sie liegt gegenüber dem rechten Winkel und muss mit c bezeichnet werden. Bezeichne die beiden kürzeren Seiten mit a und b. Es ist egal, welche wie bezeichnet wird, die Berechnung bleibt dieselbe!
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    Denk daran, dass a 2 + b 2 = c 2 . Ersetze in der Gleichung die Buchstaben durch die entsprechenden Seitenlängen.
    • Wenn du zum Beispiel weißt, das die Seite a = 3 und Seite b = 4 , dann gib diese Werte folgendermaßen in die Formel ein: 3 2 + 4 2 = c 2 .
    • Wenn du weißt, dass die Länge von Seite a = 6 und die Hypothenuse c = 10 , dann sollte die Gleichung so aussehen: 6 2 + b 2 = 10 2 .
  5. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/5\/50\/Find-the-Perimeter-of-a-Triangle-Step-9.jpg\/v4-460px-Find-the-Perimeter-of-a-Triangle-Step-9.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/5\/50\/Find-the-Perimeter-of-a-Triangle-Step-9.jpg\/v4-728px-Find-the-Perimeter-of-a-Triangle-Step-9.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Du musst zuerst die bekannten Seitenlängen quadrieren, was bedeutet, dass sie mit sich selbst multipliziert werden (zum Beispiel 3 2 = 3 x 3 = 9). Wenn du die Hypothenuse bestimmen willst, musst du nur diese beiden Werte zusammenrechnen und die Quadratwurzel der Zahl bestimmen, um die Länge herauszubekommen. Wenn eine Seitenlänge fehlt, muss du einfach eine einfache Subtraktion durchführen und dann die Quadratwurzel ziehen, um die Seitenlänge zu bestimmen.
    • Beim ersten Beispiel musst du die Werte in 3 2 + 4 2 = c 2 quadrieren, um herauszubekommen, dass 25= c 2 . Berechen dann die Quadratwurzel von 25 und du erhältst, dass c = 5 .
    • Im zweiten Beispiel musst du die Werte in der Gleichung 6 2 + b 2 = 10 2 quadrieren, um herauszufinden, dass 36 + b 2 = 100 . Ziehe 36 von jeder Seite ab, so dass b 2 = 64 herauskommt. Zieh dann die Quadratwurzel aus 64, um festzustellen, dass b = 8 .
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    Denk daran, dass der Umfang U = a + b + c . Nun da du die Längen der Seiten a , b und c kennst, musst du die Längen einfach nur zusammenzählen, um den Umfang zu erhalten.
    • Im ersten Beispiel ist U = 3 + 4 + 5 oder 12 .
    • Im zweiten Beispiel ist U = 6 + 8 + 10 oder 24 .
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Methode 3
Methode 3 von 3:

Den Umfang eines SWS Dreiecks mit dem Kosinussatz bestimmen

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    Der Kosinussatz ermöglicht es dir, jedes Dreieck zu berechnen, wenn du zwei Seitenlängen und den Winkel zwischen ihnen kennst. Er funktioniert bei jedem Dreieck und ist eine sehr nützliche Formel. Der Kosinussatz besagt, dass bei jedem Dreieck mit den Seiten a , b und c mit den gegenüberliegenden Winkeln A , B und C Folgendes gilt: c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos (C) . [3] [4]
  2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/9\/93\/Find-the-Perimeter-of-a-Triangle-Step-12.jpg\/v4-460px-Find-the-Perimeter-of-a-Triangle-Step-12.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/9\/93\/Find-the-Perimeter-of-a-Triangle-Step-12.jpg\/v4-728px-Find-the-Perimeter-of-a-Triangle-Step-12.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Die erste Seite, die du kennst, solltest du mit a bezeichnen und den gegenüberliegenden Winkel mit A . Die zweite Seite, die du kennst, solltest du mit b bezeichnen und den gegenüberliegenden Winkel mit B . Der Winkel, den du kennst, solltest du mit C bezeichnen und die dritte Seite, die du bestimmen musst, um den Umfang des Dreiecks zu berechnen, ist Seite c .
    • Stell dir zum Beispiel ein Dreieck mit den Seitenlängen 10 und 12 und einem Winkel von 97° zwischen ihnen vor. Wir weisen die Variablen folgendermaßen zu: a = 10 , b = 12 , C = 97°.
  3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/78\/Find-the-Perimeter-of-a-Triangle-Step-13.jpg\/v4-460px-Find-the-Perimeter-of-a-Triangle-Step-13.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/78\/Find-the-Perimeter-of-a-Triangle-Step-13.jpg\/v4-728px-Find-the-Perimeter-of-a-Triangle-Step-13.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Du musst zuerst die Quadrahtzahlen von a und b bestimmen und sie zusammenrechnen. Dann musst du den Kosinus von C finden, indem du die „cos“ Funktion auf deinem Taschenrechner oder einen online Kosinus-Rechner verwendest. [5] Multipliziere cos (C) mit 2ab und ziehe das Produkt von der Summe aus a 2 + b 2 ab. Das Ergebnis ist c 2 . Finde die Quadratwurzel dieses Wertes und du hast die Länge der Seite c . Wenn wir unser Beispiel-Dreieck benutzen:
    • c 2 = 10 2 + 12 2 - 2 × 10 × 12 × cos (97) .
    • c 2 = 100 + 144 – (240 × -0,12187) (Runde den Kosinus auf fünf Dezimalstellen.)
    • c 2 = 244 – (-29,25)
    • c 2 = 244 + 29,25 (Führe das Minussymbol weiter, wenn cos (C) negativ ist!)
    • c 2 = 273,25
    • c = 16,53
  4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/6\/66\/Find-the-Perimeter-of-a-Triangle-Step-14.jpg\/v4-460px-Find-the-Perimeter-of-a-Triangle-Step-14.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/6\/66\/Find-the-Perimeter-of-a-Triangle-Step-14.jpg\/v4-728px-Find-the-Perimeter-of-a-Triangle-Step-14.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Denk daran, dass der Umfang U = a + b + c ist, so dass du nur die Länge, die du gerade für c berechnet hast, zu den Werten, die du bereits für a und b hattest, addieren musst.
    • In unserem Beispiel: 10 + 12 + 16,53 = 38,53 , der Umfang unseres Dreiecks!
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Referenzen

  1. ↑ http://www.mathsisfun.com/geometry/perimeter.html
  2. ↑ http://www.wikihow.com/Use-the-Pythagorean-Theorem
  3. ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/trig-cosine-law.html
  4. ↑ http://www.cimt.plymouth.ac.uk/projects/mepres/step-up/sect4/index.htm
  5. ↑ http://www.rapidtables.com/calc/math/Cos_Calculator.htm

Über dieses wikiHow

Zusammenfassung X

Addiere, um den Umfang eines Dreiecks zu finden, die Längen aller drei Seiten. Wenn du nicht die Länge jeder Seite hast, musst du die Länge der fehlenden Seite finden, um den Umfang ermitteln zu können. Bei einem rechtwinkeligen Dreieck findet man die Länge der fehlenden Seite mit der Formel a^2 + b^2 = c^2, auch bekannt als der Satz des Pythagoras. Wenn du es mit einem Dreieck ohne rechten Winkel zu tun hast, wendest du den Cosinussatz an, um die Länge der fehlenden Seite herauszufinden: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab.

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