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Der Wertebereich (das Bild) einer Funktion ist die Menge die erzeugt wird, wenn der gesamte Definitionsbereich abgebildet wird. Anders gesagt: Es ist die Menge von y-Werten, die du erhältst, wenn du jedes mögliche x in die Funktion einsetzt. Die Menge der möglichen x-Werte wird Definitionsbereich genannt. Wenn du wissen willst wie man den Wertebereich einer Funktion bestimmt, folge dieser Anleitung.
Vorgehensweise
Methode 1
Methode 1 von 4:
Den Wertebereich einer Funktion bei gegebener Funktionsvorschrift bestimmen
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Schreibe die Funktionsvorschrift hin. Angenommen, du hast folgende Funktion: f(x) = 3x 2 + 6x -2 . Das bedeutet: wenn du irgendein x in die Gleichung einsetzt, dann bekommst du einen f(x) -Wert. Hier haben wir das Beispiel einer Parabel. [1] X Forschungsquelle
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Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion, wenn es eine quadratische Funktion ist. Wenn du eine Gerade gegeben hast oder ein Polynom ungerader Ordnung wie zum Beispiel f(x) = 6x 3 +2x + 7, kannst du diesen Schritt überspringen. Aber wenn du eine Parabel hast oder irgendeine Funktionsvorschrift bei der die höchste Potenz von x quadratisch oder von gerader Ordnung ist, dann musst du zuerst den Scheitelpunkt finden. Um dies zu tun benutze die Formel -b/2a um die x-Koordinate des Scheitelpunktes der Funktion 3x 2 + 6x -2 zu bestimmen, wobei 3 = a, 6 = b und -2 = c ist. In diesem Fall ist -b gleich -6 und 2a gleich 6, und damit ist die x-Koordinate -6/6 oder -1. [2] X Forschungsquelle
- Setze jetzt -1 in die Funktionsvorschrift ein um f(x) zu berechnen an der Stelle x = -1. f(-1) = 3(-1) 2 + 6(-1) -2 = 3 - 6 -2 = -5.
- Der Scheitelpunkt ist (-1,-5). Zeichne ihn in den Graphen indem du einen Punkt machst bei der x-Koordinate -1 und der y-Koordinate -5. Er sollte sich im dritten Quadranten des Graphen befinden.
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Berechne ein paar weitere Punkte der Funktion. Um ein Gefühl für die Funktion zu bekommen setze noch andere x-Koordinaten ein, so dass du dir eine Vorstellung machen kannst wie der Graph aussieht bevor du den Wertebereich bestimmst. Da es sich um eine Parabel handelt und das Vorzeichen von x 2 positiv ist, öffnet sie sich nach oben. Aber um das noch einmal zu bestätigen, lass uns ein paar andere x-Koordinaten einsetzen um zu sehen welche Koordinaten wir für y bekommen: [3] X Forschungsquelle
- f(-2) = 3(-2) 2 + 6(-2) -2 = -2. Ein anderer Punkt auf der Kurve ist (-2, -2)
- f(0) = 3(0) 2 + 6(0) -2 = -2. Ein weiterer Punkt auf der Kurve ist (0,-2)
- f(1) = 3(1) 2 + 6(1) -2 = 7. Ein anderer Punkt auf der Kurve ist (1, 7).
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Bestimme den Wertebereich der Funktion. Schau dir die y-Koordinaten in dem Graphen an und suche den kleinsten y-Wert, den die Kurve berührt. In diesem Fall ist der kleinste y-Wert im Scheitelpunkt, -5, und die Kurve erstreckt sich bis ins Unendliche oberhalb dieses Wertes. Das bedeutet, dass der Wertebereich dieser Funktion alle reellen Zahlen ≥ -5 ist. [4] X ForschungsquelleWerbeanzeige
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Suche das Minimum der Funktion. Suche den kleinsten y-Wert in der Kurve. Angenommen, die Kurve erreicht den niedrigsten Punkt bei -3. Funktionen können auch unendlich kleine y-Werte haben, so dass sie keinen bestimmten kleinsten Wert annehmen -- eben minus unendlich.
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Suche das Maximum der Funktion. Angenommen, der größte y-Wert der Kurve ist 10. Funktionen können auch beliebig große Funktionswerte annehmen, so dass sie keinen bestimmten größten Wert haben -- nur unendlich.
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Gib den Wertebereich an. Das bedeutet, der Wertebereich der Funktion, oder der Bereich der y-Werte, geht von -3 bis 10. Damit gilt -3 ≤ f(x) ≤ 10. Das ist der Wertebereich der Funktion.
- Angenommen die Kurve erreicht ihren niedrigsten Punkt bei y = -3, geht dann aber immer weiter nach oben. Dann ist der Wertebereich f(x) ≥ -3 und fertig.
- Angenommen die Kurve erreicht ihren höchsten Punkt bei 10 und geht dann immer weiter nach unten. Dann ist der Wertebereich f(x) ≤ 10.
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Schreibe die Relation hin. Eine Relation besteht aus geordneten Paaren mit x- und y-Koordinaten. Du kannst dir eine Relation anschauen und ihren Definitions- und Wertebereich bestimmen. Angenommen, du hast folgende Relation: {(2, –3), (4, 6), (3, –1), (6, 6), (2, 3)}. [5] X Forschungsquelle
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Liste die y-Koordinaten der Relation auf. Um den Wertebereich der Relation zu bestimmen musst du nur alle y-Koordinaten der geordneten Paare aufschreiben: {-3, 6, -1, 6, 3}. [6] X Forschungsquelle
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Entferne Doppeleinträge aus der Liste. Du siehst, dass die "6" zwei mal in unserer Liste vorkommt. Entferne eine 6, und damit haben wir {-3, -1, 6, 3}. [7] X Forschungsquelle
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Schreibe den Wertebereich in aufsteigender Reihenfolge. Ändere die Reihenfolge in der Liste, so dass wir mit der kleinsten Zahl anfangen und zur größten gehen, und schon haben wir den Wertebereich bestimmt. Der Wertebereich der Relation {(2, –3), (4, 6), (3, –1), (6, 6), (2, 3)} ist {-3,-1, 3, 6}. Und schon bist du fertig. [8] X Forschungsquelle
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Vergewissere dich, dass die Relation eine Funktion ist. Damit eine Relation eine Funktion ist, muss jedes mal, wenn du einen Wert für x einsetzt, derselbe y-Wert herauskommen. Zum Beispiel ist die Relation {(2, 3) (2, 4) (6, 9)} keine Funktion, denn wenn du 2 als x-Wert einsetzt, dann bekommst du einmal eine 3 und das andere mal eine 4. Damit eine Relation eine Funktion ist, musst du jedes mal für das selbe x das selbe y erhalten. Wenn du -7 einsetzt, solltest du immer das selbe y erhalten (was auch immer das sein mag). [9] X ForschungsquelleWerbeanzeige
Methode 4
Methode 4 von 4:
Textaufgaben in denen der Wertebereich einer Funktion bestimmt werden soll
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Lies die Aufgabe. Angenommen, wir haben folgende Aufgabe: "Becky verkauft Eintrittskarten für die Talent-Show ihrer Schule, das Stück für 5 EUR. Die Gesamteinnahme ist eine Funktion der Anzahl der verkauften Eintrittskarten. Was ist der Wertbereich dieser Funktion?"
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Schreibe die Aufgabe als Funktion hin. Hier schreiben wir M für die Geldmenge, die sie einnimmt und t für die Anzahl der verkauften Eintrittskarten. Da jede Eintrittskarte 5 EUR kostet, musst du die Anzahl der verkauften Eintrittskarten mit 5 multiplizieren um die Gesamteinnahmen zu erhalten. Deshalb können wir die Funktion schreiben als M(t) = 5t.
- Wenn sie zum Beispiel 2 Eintrittskarten verkauft, dann musst du 2 mit 5 multiplizieren und erhältst 10, ihre Gesamteinnahmen.
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Bestimme den Definitionsbereich. Um den Wertebereich zu bestimmen brauchst du zuerst den Definitionsbereich. Der Definitionsbereich besteht aus allen erlaubten Werten für t. In diesem Fall kann Becky 0 oder mehr Eintrittskarten verkaufen - sie kann keine negativen Eintrittskarten verkaufen. Da wir die Anzahl der Sitze in der Schul-Halle nicht kennen, können wir annehmen, dass sie theoretisch unendlich viele Eintrittskarten verkaufen kann. Und sie kann nur ganze Eintrittskarten verkaufen; sie kann zum Beispiel nicht die Hälfte einer Eintrittskarte verkaufen. Deshalb ist der Definitionsbereich der Funktion alle nicht-negativen ganzen Zahlen .
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Bestimme den Wertebereich. Der Wertebereich sind die möglichen Gesamteinnahmen, die Becky mit ihrem Verkauf erzielen kann. Du musst mit dem Definitionsbereich arbeiten um den Wertebereich zu bestimmen. Wenn du schon weißt, dass der Definitionsbereich alle nicht-negativen ganzen Zahlen sind und dass die Funktionsvorschrift M(t) = 5t ist, dann weißt du, dass du jede nicht-negative ganze Zahl in diese Funktion einsetzen kannst um das Ergebnis, den Wertebereich, zu erhalten. Wenn sie zum Beispiel 5 Eintrittskarten verkauft, dann ist M(5) = 5 * 5 oder 25 EUR. Wenn sie 100 verkauft, dann ist M(100) = 5 * 100 oder 500 EUR. Deshalb ist der Wertebereich dieser Funktion jede nicht-negative ganze Zahl, die ein Vielfaches von fünf ist .
- Das bedeutet, dass jede nicht-negative ganze Zahl, die ein Vielfaches von fünf ist, ein möglicher Wert für eine in die Funktion eingesetzte mögliche Zahl ist.
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Tipps
- Versuche die Umkehrfunktion zu bestimmen. Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion ist der Wertebereich der Funktion.
- Überprüfe, ob sich die Funktion wiederholt. Jede Funktion, die sich wiederholt entlang der x-Achse, hat den selben Wertebereich für den gesamten Definitionsbereich wie für den Teil, der sich immer wiederholt. Zum Beispiel hat f(x) = sin(x) einen Wertebereich zwischen -1 und 1.
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Referenzen
- ↑ http://www.khanacademy.org/math/trigonometry/functions_and_graphs/domain_range/v/domain-and-range-of-a-relation
- ↑ http://www.uiowa.edu/~examserv/mathmatters/tutorial_quiz/geometry/findingvertexofparabola.html
- ↑ http://www.khanacademy.org/math/trigonometry/functions_and_graphs/domain_range/v/domain-and-range-of-a-relation
- ↑ http://www.khanacademy.org/math/trigonometry/functions_and_graphs/domain_range/v/domain-and-range-of-a-relation
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/fcns2.htm
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/fcns2.htm
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/fcns2.htm
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/fcns2.htm
- ↑ http://www.mathsisfun.com/sets/domain-range-codomain.html
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