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Die Fibonacci-Folge ist ein Muster aus Zahlen, die entsteht, indem man die beiden vorhergehenden Zahlen der Folge zusammenzählt. Die Zahlen der Folge sieht man oft in der Natur und der Kunst, dargestellt als Spiralen und mit dem Goldenen Schnitt. Die einfachste Art und Weise, die Folge zu berechnen, ist eine Tabelle aufzustellen; das ist jedoch unpraktisch, wenn du zum Beispiel das 100. Element in der Folge suchst, in dem Falle kann die Formel von Binet verwendet werden
Vorgehensweise
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Lege eine Tabelle mit zwei Spalten an. Die Anzahl der Zeilen hängt davon ab, wie viele Zahlen der Fibonacci-Folge du berechnen möchtest.
- Wenn du zum Beispiel die fünfte Zahl in der Reihe finden möchtest, wird deine Tabelle fünf Zeilen haben.
- Wenn du die Tabellenmethode verwendest, kannst du nicht eine zufällige Zahl weiter hinten in der Reihe finden, ohne alle Zahlen davor zu berechnen. Wenn du zum Beispiel die 100. Zahl in der Folge herausfinden möchtest, musst du zuerst die Zahlen von 1 bis 99 berechnen. Deswegen eignet sich die Tabellenmethode nur gut für Zahlen zu Beginn der Folge.
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Gib die Folge der Terme in die linke Spalte ein. Das heißt, dass du einfach eine Folge von aufeinanderfolgenden Ordnungszahlen eingibst, beginnend mit "1."
- Der Term nennt die Stelle der Zahl in der Fibonacci-Folge.
- Wenn du zum Beispiel die fünfte Zahl in der Folge herausfinden möchtest, dann schreibst du 1., 2., 3., 4. und 5. in die linke Spalte. So siehst du, welche der erste bis fünfte Term in der Folge sind.
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Gib 1 in die erste Reihe der rechten Spalte ein. Das ist der Anfangspunkt der Fibonacci-Folge. In anderen Worten ist der erste Term in der Folge 1.
- Die richtige Fibonacci-Folge beginnt immer bei 1. Wenn du mit einer anderen Zahl anfängst, findest du nicht das richtige Muster der Fibonacci-Folge.
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Addiere den ersten Term (1) mit 0. So erhältst du die zweite Zahl in der Folge.
- Erinnere dich daran, dass du, um eine beliebige Zahl in der Fibonacci-Folge zu finden, einfach die zwei vorhergehenden Zahlen in der Folge addierst.
- Um die Folge zu erstellen, solltest du dir denken, dass die 0 vor der 1 (dem ersten Term steht), also 1 + 0 = 1.
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Addiere den ersten Term (1) und den zweiten Term (1). So erhältst du die dritte Zahl in der Folge.
- 1 + 1 = 2. Der dritte Term ist 2.
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Addiere den zweiten Term (1) und den dritten Term (2), um die vierte Zahl in der Folge zu erhalten.
- 1 + 2 = 3. Der vierte Term ist 3.
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Addiere den dritten Term (2) und den vierten Term (3). So erhältst du die fünfte Zahl in der Folge.
- 2 + 3 = 5. Der fünfte Term ist 5.
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Addiere die beiden vorherigen Zahlen miteinander, um jede beliebige Zahl in der Fibonacci-Folge zu erhalten. Wenn du dieser Methode folgst, wendest du die Formel . an [1] X Forschungsquelle Da es sich dabei nicht um einen geschlossenen Ausdruck handelt, kannst du ihn jedoch nicht verwenden, um einen beliebigen Term in der Folge zu berechnen, ohne zuerst alle vorhergehenden Zahlen zu berechnen.Werbeanzeige
Methode 2
Methode 2 von 2:
Unter Verwendung der Formel von Binet und des Goldenen Schnitts
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Schreibe die Formel = auf. In der Formel ist = der Term in der Folge, den du herauszufinden suchst, = die Position des Terms in der Folge und = der Goldene Schnitt. [2] X Forschungsquelle
- Weil das ein geschlossener Ausdruck ist, kannst du damit einen bestimmten Term in der Folge berechnen, ohne alle vorherigen auszurechnen.
- Diese Formel ist eine vereinfachte Formel abgeleitet von Binets Formel für Fibonacci-Zahlen. [3] X Forschungsquelle
- Die Formel benutzt den Goldenen Schnitt ( ), weil das Verhältnis jeder zwei Zahlen in der Fibonacci-Folge dem Goldenen Schnitt ähnlich ist. [4] X Forschungsquelle
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Setze die Zahl für in die Formel ein. Das steht für den Term in der Folge, den du suchst.
- Wenn du zum Beispiel die fünfte Zahl in der Folge suchst, setzt du 5 ein. Deine Formel wird nun so aussehen: = .
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Setze den Goldenen Schnitt in die Formel ein. Du kannst 1,618034 als Annäherungswert des Goldenen Schnitts nehmen. [5] X Forschungsquelle
- Wenn du zum Beispiel die fünfte Zahl in der Folge suchst, wird die Formel nun so aussehen: = .
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Führe die Rechnungen innerhalb der Klammern aus. Denke daran, die Rangfolge der Operatoren einzuhalten, indem du zuerst die Berechnungen innerhalb der Klammern ausführst: .
- In dem Beispiel wird die Gleichung zu = .
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Berechne die Exponenten. Löse die Potenz der beiden eingeklammerten Zahlen im Zähler auf.
- In dem Beispiel ist ; . Die Gleichung wird also zu .
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Führe die Subtraktion aus. Bevor du teilst, musst du die eine Zahl im Zähler von der anderen subtrahieren.
- In diesem Beispiel ist , die Gleichung wird also zu = .
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Teile durch die Quadratwurzel von 5. Die Quadratwurzel von 5 lautet gerundet 2,236067.
- In der Beispielaufgabe ergibt sich .
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Runde auf die nächste ganze Zahl. Dein Ergebnis wird eine Dezimalzahl sein, aber sehr nah an einer ganzen Zahl. Diese ganze Zahl steht für die Zahl in der Fibonacci-Folge.
- Wenn du den vollständigen Goldenen Schnitt ohne zu runden angewandt hättest, würdest du eine ganze Zahl erhalten. Es ist aber praktischer zu runden, was eine Dezimalzahl ergibt. [6] X Forschungsquelle
- In dem Beispiel wirst du, wenn du einen Taschenrechner verwendest, um alle Berechnungen anzustellen, die Lösung 5,000002 erhalten. Auf die nächste Zahl gerundet ist deine Lösung, die für die fünfte Zahl in der Fibonacci-Folge steht, die 5.
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Referenzen
- ↑ http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
- ↑ https://www.mathsisfun.com/numbers/fibonacci-sequence.html
- ↑ http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
- ↑ https://www.mathsisfun.com/numbers/fibonacci-sequence.html
- ↑ https://www.mathsisfun.com/numbers/fibonacci-sequence.html
- ↑ https://www.mathsisfun.com/numbers/fibonacci-sequence.html
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