Die Fläche eines Quadrats mittels der Länge seiner Diagonale berechnen

unter Mitarbeit von David Jia

Die am häufigsten verwendete Formel für die Fläche eines Quadrats ist einfach: Es ist die Seitenlänge quadriert oder s ² . Aber manchmal kennst du nur die Länge der Diagonale des Quadrats, die zwischen den gegenüberliegenden Ecken verläuft. Wenn du rechtwinklige Dreiecke gelernt hast, dann kannst du eine neue Flächenformel finden, die die Diagonale als einzige Variable verwendet.

Teil 1

Teil 1 von 2:

Die Fläche mittels der Diagonale ermitteln

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Ein Quadrat hat vier gleiche Seiten. Angenommen, jede hat eine Länge von "s".
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Die Fläche eines Quadrats ist gleich seine Länge mal seine Breite. Da jede Seite s ist, lautet die Formel: Fläche = s x s = s ² Das wird später nützlich sein.
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Lasse das Maß dieser Diagonale d Einheiten sein. Diese Diagonale teilt das Quadrat in zwei rechtwinklige Dreiecke auf.
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Wende den Satz des Pythagoras auf eines der Dreiecke an . Der Satz des Pythagoras ist eine Formel für die Suche nach der Hypotenuse (längste Seite) eines rechtwinkligen Dreiecks: (Seite 1) ² + (Seite 2) ² = (Hypotenuse) ² , oder $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . Nun, da das Quadrat in zwei Hälften geteilt ist, kannst du diese Formel für eins der zwei rechtwinkligen Dreiecke anwenden:
- Die beiden kürzeren Seiten des Dreiecks sind die Seiten des Quadrats: jede hat eine Länge von s .
- Die Hypotenuse ist die Diagonale des Quadrats, d .
- $s^{2}+s^{2}=d^{2}$
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5
Stelle die Gleichung so um, dass s ² auf einer Seite ist. Vergiss nicht, wir wissen schon, dass die Fläche des Quadrats gleich s ² ist. Wenn du s ² alleine auf eine Seite bekommen kannst, hast du eine neue Flächengleichung:
- $s^{2}+s^{2}=d^{2}$
- Vereinfache: $2s^{2}=d^{2}$
- Beide Seiten durch zwei dividieren: $s^{2}={\frac {d^{2}}{2}}$
- Fläche = $s^{2}={\frac {d^{2}}{2}}$
- Fläche = ${\frac {d^{2}}{2}}$
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Wende diese Formel bei einem Beispielsquadrat an. Diese Schritte haben bewiesen, dass die Flächenformel ${\frac {d^{2}}{2}}$ bei allen Quadraten funktioniert. Setze einfach die Länge der Diagonale für d ein und löse die Gleichung.
- Sagen wir zum Beispiel, dass ein Quadrat eine Diagonale hat, die 10 cm misst.
- Fläche = ${\frac {10^{2}}{2}}$
  = ${\frac {100}{2}}$
  = 50 Quadratzentimeter.
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Teil 2

Teil 2 von 2:

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1
Berechne die Diagonale mittels der Seitenlänge. Der Satz des Pythagoras für ein Quadrat mit einer Seite s und Diagonale d gibt dir die Formel $2s^{2}=d^{2}$ . Löse für d, wenn du die Seitenlänge kennst und die Länge der Diagonale herausfinden möchtest:
- $2s^{2}=d^{2}$
  ${\sqrt {2S^{2}}}={\sqrt {d^{2}}}$
  $S{\sqrt {2}}=d$
- Zum Beispiel, wenn ein Quadrat eine Seitenlänge von 7 cm hat, dann ist seine Diagonale d = 7√2 cm oder ca. 9,9 cm.
- Wenn du keinen Taschenrechner hast, kannst du 1,4 als Schätzwert für √2 nehmen.
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Berechne die Seitenlänge mittels der Diagonale. Wenn die Diagonale angegeben ist und du weißt, dass die Diagonale eines Quadrats $s{\sqrt {2}}$ beträgt, dann kannst du beide Seiten durch ${\sqrt {2}}$ teilen, um $s={\frac {d}{{\sqrt {2}}}}$ zu bekommen.
- Ein Quadrat mit einer Diagonale von 10 cm hat beispielsweise Seiten mit einer Länge von ${\frac {10}{{\sqrt {2}}}}=7,071$ cm.
- Wenn du sowohl die Seitenlänge als auch die Fläche mittels der Diagonale berechnen musst, dann kannst du zuerst diese Formel anwenden und die Lösung dann gleich quadrieren, um die Fläche zu erhalten: Fläche = $s^{2}=7.071^{2}=50$ Quadratzentimeter. Das ist ein bisschen weniger genau, weil ${\sqrt {2}}$ eine irrationale Zahl ist, die zu Rundungsfehlern führen kann.
3
Interpretiere die Flächenformel. Die Mathematik beweist die Flächenformel ${\frac {d^{2}}{2}}$ , aber gibt es einen Weg, um das direkt zu überprüfen? Nun, $d^{2}$ ist der Bereich eines zweiten Quadrat mit der Diagonale als einer Seite. Da die vollständige Formel ${\frac {d^{2}}{2}}$ lautet, kannst du folgern, dass dieses zweite Quadrat genau zweimal die Fläche des ursprünglichen Quadrats hat. Du kannst das selbst überprüfen:
- Zeichne ein Quadrat auf ein Blatt Papier. Stelle sicher, dass alle Seiten gleich sind.
- Miss die Diagonale. Zeichne ein zweites Quadrat, wobei du dieses Maß als die Seitenlänge des Quadrats nimmst.
- Zeichne eine Kopie deines ersten Quadrats ab, so dass du zwei davon hast. Schneide alle drei Quadrate aus.
- Schneide die zwei kleineren Quadrate in solchen Formen auseinander, so dass du sie im großen Quadrat wieder zusammensetzen kannst. Sie sollten den Raum perfekt füllen und zeigen, dass die Fläche des größeren Quadrats genau zweimal die Fläche des kleineren Quadrats beträgt.
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Tipps

Diese einfache Gleichung wird in vielen Bereichen angewendet, wie zum Beispiel in der Kristallographie, Chemie und Kunst. Zum Beispiel kannst du sie anwenden, um die Fläche von Land zu berechnen, das du vermisst oder wenn du eine Perspektive in der Fotografie oder Malerei verwendest – indem du die Distanz misst, die du gegangen bist und dir dann ein Raster mit dieser Distanz als Diagonale vorstellst.
Wenn dir ein visueller Ansatz bei der Mathematik lieber ist oder du lernen willst, wie du Diagramme und Grafiken in der Kunst einsetzen kannst, dann sieh dir Artikel in den folgenden Kategorien durch: Kategorie:Mathematik oder Kategorie:Zeichnen .
Wenn du keinen Taschenrechner besitzt und einen genaueren Schätzwert für die Quadratwurzel von 2 brauchst, dann gibt es zwei Arten, um diesen abzuschätzen. Die Newton-Raphson-Methode ist ein Beispiel. ^{[1]
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