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Ein Sechseck ist ein Polygon, welches sechs Seiten und sechs Winkel hat. Reguläre Sechsecke haben sechs gleichlange Seiten und gleichgroße Winkel und sind aus sechs gleichseitigen Dreiecken zusammen gesetzt. Es gibt viele Möglichkeiten die Fläche eines Sechsecks zu berechnen, sowohl für regelmäßige als auch unregelmäßige Sechsecke. Wenn du wissen möchtest wie die Fläche eines Sechsecks berechnet wird, brauchst du nur dieser Anleitung zu folgen.
Vorgehensweise
Methode 1
Methode 1 von 4:
Berechnung eines regulären Sechsecks mit gegebener Seitenlänge
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Schreibe die Formel für die Flächenberechnung auf bei gegebener Seitenlänge. Da ein reguläres Sechseck aus sechs gleichseitigen Dreiecken besteht, ist die Formel für die Fläche des Sechsecks hergeleitet von der Formel zur Flächenberechnung eines gleichseitigen Dreiecks. Die Formel für die Fläche eines Sechsecks ist Fläche = (3√3 s 2 )/ 2 wobei s die Länge einer Seite im regulären Sechseck ist. [1] X Forschungsquelle
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Bestimme die Länge einer Seite. Wenn du die Seitenlänge schon kennst, kannst du sie einfach aufschreiben. In diesem Beispiel ist die Seitenlänge 9 cm. Wenn du die Seitenlänge nicht kennst, aber den Umfang des Sechsecks oder die Länge der Höhe des gleichseitigen Dreiecks, die senkrecht steht auf der Seite, kannst du immer noch die Seitenlänge bestimmen. Hier wird beschrieben wie es geht:
- Wenn du den Umfang kennst, teile ihn einfach durch 6 um die Länge einer Seite zu erhalten. Wenn die Länge des Umfangs beispielsweise 54 cm ist, dann teile durch 6 und erhalte 9 cm, die Länge einer Seite.
- Wenn du nur die Höhe im gleichseitigen Dreieck kennst, kannst du die Seitenlänge bestimmen indem du sie einfach in die Formel a = x√3 einsetzt und das Ergebnis mit zwei multiplizierst, denn die Höhe repräsentiert die x√3-Seite eines 30-60-90-Dreiecks, das durch sie erzeugt wird. Wenn die Höhe 10√3 ist zum Beispiel, dann ist x = 10 und die Länge einer Seite ist 10 * 2 oder 20.
- Wenn du den Umfang kennst, teile ihn einfach durch 6 um die Länge einer Seite zu erhalten. Wenn die Länge des Umfangs beispielsweise 54 cm ist, dann teile durch 6 und erhalte 9 cm, die Länge einer Seite.
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Setze die Länge der Seite in die Formel ein. Da du schon weißt dass die Seitenlänge 9 ist, setze sie einfach in die ursprüngliche Formel ein. Sie sieht dann folgendermaßen aus: Fläche = (3√3 x 9 2 )/2
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Vereinfache das Ergebnis. Berechne den Wert und schreibe das numerische Ergebnis auf. Da es sich um eine Fläche handelt, solltest du dein Ergebnis in Quadrat-Einheiten angeben. Hier siehst du wie es geht:
- (3√3 x 9 2 )/2 =
- (3√3 x 81)/2 =
- (243√3)/2 =
- 420.8/2 =
- 210.4 cm 2
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Methode 2
Methode 2 von 4:
Berechnung für ein reguläres Sechseck mit gegebener Dreieckshöhe
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Schreibe die Formel auf für die Flächenberechnung eines Sechsecks mit gegebener Höhe des Dreiecks. Die Formel ist einfach Fläche = 1/2 x Umfang x Höhe . [2] X Forschungsquelle
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Schreibe die Höhe auf. Angenommen sie ist 5√3 cm.
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Benutze die Höhe um den Umfang zu bestimmen. Da die Höhe senkrecht auf den Seiten des Sechsecks steht, erzeugt sie eine Seite eines 30-60-90-Dreiecks. Die Seiten eines 30-60-90-Dreiecks stehen im Verhältnis x-x√3-2x, wobei die Länge der kurzen Seite, welche gegenüber des 30-Grad-Winkels ist, x genannt wird, die Länge der langen Seite, welche gegenüber des 60-Grad-Winkels ist, dann x√3 ist und die Hypotenuse 2x ist. [3] X Forschungsquelle
- Die Höhe ist die Seite x√3. Setze also die Länge der Höhe in die Formel a = x√3 und löse nach x auf. Wenn die Länge der Höhe 5√3 ist, zum Beispiel, setze es in die Formel ein und erhalte 5√3 cm = x√3 oder x = 5 cm.
- Durch das Auflösen nach x hast du die Länge der kurzen Seite des Dreiecks gefunden, 5. Da sie halb so lang ist wie die Länge einer Sechseckseite, multipliziere sie mit 2 um die volle Seitenlänge zu erhalten, 5 cm x 2 = 10 cm.
- Da du jetzt weißt dass die Länge einer Seite 10 ist, kannst du sie einfach mit sechs multiplizieren um den Umfang des Sechsecks zu erhalten, 10 cm x 6 = 60 cm
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Setze nun alle Größen in die Formel ein. Der schwierigste Teil war das Ermitteln des Umfangs. Jetzt musst du nur noch die Höhe und den Umfang in die Formel einsetzen und ausrechnen:
- Fläche = 1/2 x Umfang x Höhe
- Fläche = 1/2 x 60 cm x 5√3 cm
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Vereinfache dein Ergebnis. Vereinfache den Ausdruck bis keine Wurzeln mehr darin vorkommen. Gib das Ergebnis in Quadrat-Einheiten an.
- 1/2 x 60 cm x 5√3 cm =
- 30 x 5√3 cm =
- 150√3 cm =
- 259. 8 cm 2
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Methode 3
Methode 3 von 4:
Flächenberechnung eines irregulären Sechsecks mit gegebenen Eckpunkten
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Schreibe die x- und y-Koordinaten aller Eckpunkte auf. Wenn du die Ecken des Sechsecks kennst, solltest du zuerst eine Tabelle mit zwei Spalten und sieben Zeilen machen. Jede Zeile bekommt den Namen eines Punktes (Punkt A, Punkt B, Punkt C, etc.) und jede Spalte den Namen x- oder y-Koordinate der Punkte. Schreibe die x- und y-Koordinaten von Punkt A rechts von Punkt A, die x- und y-Koordinaten von Punkt B rechts von Punkt B, und so weiter. Wiederhole die Koordinaten des ersten Punktes am Ende der Liste. Angenommen, du hast folgende Punkte im (x, y)-Format: [4] X Forschungsquelle
- A: (4, 10)
- B: (9, 7)
- C: (11, 2)
- D: (2, 2)
- E: (1, 5)
- F: (4, 7)
- A (noch einmal): (4, 10)
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Multipliziere die x-Koordinate jedes Punktes mit der y-Koordinate des nächsten Punktes. Du kannst dir vorstellen, dass du eine Diagonale von jeder x-Koordinate nach rechts unten ziehst zur nächsten Zeile. Schreibe die Ergebnisse rechts in die Tabelle. Dann addiere die Ergebnisse.
- 4 x 7 = 28
- 9 x 2 = 18
- 11 x 2 = 22
- 2 x 5 = 10
- 1 x 7 = 7
- 4 x 10 = 40
- 28 + 18 + 22 + 10 + 7 + 40 = 125
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Multipliziere die y-Koordinaten jedes Punktes mit der x-Koordinate des nächsten Punktes. Stell dir vor, du würdest eine Diagonale von jeder y-Koordinate nach links unten zur nächsten Zeile ziehen. Multipliziere die Koordinaten und addiere die Ergebnisse.
- 10 x 9 = 90
- 7 x 11 = 77
- 2 x 2 = 4
- 2 x 1 = 2
- 5 x 4 = 20
- 7 x 4 = 28
- 90 + 77 + 4 + 2 + 20 + 28 = 221
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Subtrahiere die Summe der zweiten Koordinatengruppe von der Summe der ersten Koordinatengruppe. Subtrahiere einfach 221 von 125. 125 - 221 = -96. Nimm jetzt den Betrag des Ergebnisses: 96. Die Fläche kann immer nur positiv sein.
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Teile die Differenz durch zwei. Teile einfach 96 durch 2 und du erhältst die Fläche des irregulären Sechsecks. 96/2 = 48. Vergiss nicht dein Ergebnis in Quadrat-Einheiten zu schreiben. Das Endergebnis ist 48 Quadrat-Einheiten.Werbeanzeige
Methode 4
Methode 4 von 4:
Andere Methoden zur Flächenberechnung eines irregulären Sechsecks
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Berechne die Fläche eines regulären Sechsecks, dem aber ein Dreieck fehlt. Wenn du weißt du hast ein reguläres Sechseck, dem ein oder mehrere Dreiecke fehlen, dann musst du zuerst die Fläche des kompletten regulären Sechsecks berechnen, dann die Fläche der fehlenden Dreiecke berechnen und sie voneinander abziehen. Damit erhältst du dann die Fläche des irregulären Sechsecks.
- Wenn du zum Beispiel berechnet hast, dass die Fläche des regulären Sechsecks 60 cm 2 ist und die Fläche des fehlenden Dreiecks 10 cm 2 ist, ziehe einfach die Fläche des fehlenden Dreiecks von der Fläche des kompletten regulären Sechsecks ab: 60 cm 2 - 10 cm 2 = 50 cm 2 .
- Wenn du weißt, dass dem Sechseck genau ein Dreieck fehlt, dann kannst du die Fläche des irregulären Sechsecks auch bestimmen indem du die Gesamtfläche mit 5/6 multiplizierst, denn das Sechseck enthält die Fläche von 5 seiner 6 Dreiecken. Wenn zwei Dreiecke fehlen, kannst du die Gesamtfläche mit 4/6 (2/3) multiplizieren und so weiter.
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Zerlege ein irreguläres Sechseck in andere Dreiecke. Vielleicht entdeckst du, dass das irreguläre Sechseck eigentlich aus vier ungleichmäßigen Dreiecken zusammengesetzt ist. Um die Fläche des irregulären Sechsecks zu berechnen, musst du die Fläche von jedem Dreieck bestimmen und sie dann addieren. Es gibt viele Möglichkeiten die Fläche eines Dreiecks zu berechnen in Abhängigkeit der Informationen die du hast.
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Suche nach anderen Formen in dem irregulären Sechseck. Wenn du nicht so einfach ein paar Dreiecke erkennen kannst, probiere ob du andere Formen erkennen kannst -- vielleicht ein Dreieck, ein Rechteck und/oder ein Quadrat. Sobald du die Formen erkannt hast, berechne ihre Flächen und addiere sie um die Fläche des Sechsecks zu erhalten.
- Eine bestimmte Art von Sechseck besteht aus zwei Parallelogrammen. Um die Fläche eines Parallelogramms zu berechnen multipliziere ihre Basis mit ihrer Höhe, genauso wie du es machen würdest um die Fläche eines Rechtecks zu bestimmen und dann addiere die Flächen.
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Referenzen
Über dieses wikiHow
Zusammenfassung
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Verwende, um die Fläche eines Sechsecks zu berechnen, die Formel a = 3 × Quadratwurzel von 3 × s hoch 2 geteilt durch 2, wobei a die Fläche ist und s die Länge einer Seite des Sechsecks. Setze einfach die Länge einer der Seiten ein und löse die Gleichung, um die Fläche zu finden. Wenn du nicht die Länge der Seiten hast, aber das Apothema angegeben ist, kannst du die Formel a = ½ x Umfang x Apothema anwenden, wobei a die Fläche ist.
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