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Die Geschwindigkeit ist definiert als die Geschwindigkeit eines Objektes in eine vorgebene Richtung. [1] X Forschungsquelle Für den "Haushaltsgebrauch" verwenden wir zur Bestimmung der Geschwindigkeit die Gleichung v = s/t, wobei v für die Geschwindigkeit, s für die Gesamtverschiebung des Objekts von seiner Startposition und t für die vergangene Zeit steht. Damit erhält man technisch gesehen allerdings nur die Durchschnittsgeschwindigkeit des Objektes auf dem zurückgelegten Pfad. Mit Hilfe der Differentialrechnung können wir die Geschwindigkeit eines Objektes in jedem Moment berechnen. Sie wird Momentan-Geschwindigkeit genannt und wird durch die Gleichung v = (ds)/(dt) ausgedrückt, oder, in anderen Worten, der Ableitung der Gleichung für die Durchschnittsgeschwindigkeit des Objekts.
Vorgehensweise
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Beginnen wir mit einer Gleichung für die Geschwindigkeit bezüglich der Verschiebung. Um die Momentan-Geschwindigkeit eines Objekts zu berechnen, benötigen wir zunächst eine Gleichung, die uns dessen Position (bezogen auf die Verschiebung) zu einem bestimmten Zeitpunkt gibt. Das bedeutet, die Gleichung muss die Variable s isoliert auf einer Seite und t auf der anderen Seite (nicht unbedingt isoliert) haben, wie z.B.
s = -1.5t 2 + 10t + 4
- In dieser Gleichung haben wir folgende Variablen:
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- Verschiebung = s . Die Entfernung, die ein Objekt von seiner Startposition aus zurückgelegt hat. Wenn sich ein Objekt z.B. 10 Meter nach vorne und 7 Meter zurück bewegt, ist seine Verschiebung 10-7 = 3 Meter (nicht 10+7 = 17 Meter).
- Zeit = t . Selbsterklärend. Normalerweise in Sekunden gemessen.
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- In dieser Gleichung haben wir folgende Variablen:
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Leite die Gleichung ab. Die Ableitung einer Gleichung ist einfach eine weitere Gleichung, die die Steigung der Funktion zu jedem Zeitpunkt angibt. Um die Ableitung deiner Gleichung für die Verschiebung zu bestimmen, musst du die Funktion mit dieser allgemeinen Ableitungsregel differenzieren: Wenn y = a*x n , dann ist die Ableitung = a*n*x n-1 . Diese Regel muss für jeden Term auf der t -Seite der Gleichung angewandt werden.
- In anderen Worten, gehe auf der t
-Seite deiner Gleichung von links nach rechts alle Terme durch. Immer wenn du auf ein t
stößt, subtrahiere 1 von seinem Exponenten und multipliziere den gesamten Term mit dem Ausgangsexponenten. Jeder konstante Term (Terme ohne t
) verschwinden, weil sie mit 0 multipliziert werden. Dieser Vorgang ist nicht so schwer, wie er vielleicht klingt – leiten wir die Gleichung von oben als Beispiel ab:
s = -1,5t 2 + 10t + 4
(2)-1,5t (2-1) + (1)10t 1 - 1 + (0)4t 0
-3t 1 + 10t 0
-3t + 10
- In anderen Worten, gehe auf der t
-Seite deiner Gleichung von links nach rechts alle Terme durch. Immer wenn du auf ein t
stößt, subtrahiere 1 von seinem Exponenten und multipliziere den gesamten Term mit dem Ausgangsexponenten. Jeder konstante Term (Terme ohne t
) verschwinden, weil sie mit 0 multipliziert werden. Dieser Vorgang ist nicht so schwer, wie er vielleicht klingt – leiten wir die Gleichung von oben als Beispiel ab:
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Ersetze s mit ds/dt . Um deutlich zu machen, dass unsere neue Gleichung eine Ableitung der Ausgangsgleichung ist, ersetzen wir s mit der Bezeichnung ds/dt . Technisch gesehen bedeutet diese Bezeichnung, „Die Ableitung von s nach t.“ Eine einfachere Art, sich ds/dt vorzustellen, ist den Ausdruck als die Steigung der ersten Gleichung zu jedem Zeitpunkt zu sehen. Um z.B. die Steigung des Graphen bei s = -1.5t 2 + 10t + 4 zu t = 5 zu bestimmen, würden wir einfach t=5 in die Ableitung einsetzen.
- In unserem Beispiel, sollte die Gleichung für die Ableitung jetzt so aussehen:
ds/dt = -3t + 10
- In unserem Beispiel, sollte die Gleichung für die Ableitung jetzt so aussehen:
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Setze einen Wert für t in deine neue Gleichung ein, um die Momentan-Geschwindigkeit zu finden. Nachdem du deine Ableitung bestimmt hast, ist die Momentan-Geschwindigkeit für einen bestimmten Zeitpunkt zu finden, gar kein Problem mehr. Du musst dafür nur einen Wert für t wählen und ihn in die Gleichung für die Ableitung einsetzen. Wenn wir z.B. die Momentan-Geschwindigkeit für t=5 finden wollen, setzen wir einfach 5 für t in die Gleichung ds/dt = -3t + 10 ein. Dann, lösen wir die Gleichung so:
ds/dt = -3t + 10
ds/dt = -3(5) + 10
ds/dt = -15 + 10 = -5 Meter/Sekunde- Achte darauf, dass wir die Einheit „Meter/Sekunde“ verwenden. Da wir es mit einer Verschiebung in Metern und einer Zeit in Sekunden zu tun haben und die Geschwindigkeit im Allgemeinen einfach die Verschiebung über die Zeit ist, ist diese Einheit passend.
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Trage die Verschiebung deines Objekts über die Zeit auf. Oben haben wir erwähnt, dass Ableitungen einfach Formeln sind, die uns die Steigung der Gleichung zu jedem Zeitpunkt angeben, deren Ableitung wir gebildet haben. Es ist sogar so, dass wenn du die Verschiebung eines Objekts mit einer Linie in einem Graphen angibst, die Steigung der Linie zu einem beliebigen Zeitpunkt, gleich der Momentan-Geschwindigkeit des Objekts zu diesem Zeitpunkt ist .
- Um den Graph für die Verschiebung des Objekts zu zeichnen, verwende die x-Achse, um die Zeit anzugeben und die y-Achse, um die Verschiebung anzugeben. Dann zeichne Punkte ein, indem du Werte für t in deine Gleichung für die Verschiebung einsetzt. Dadurch bekommst du Werte für s als Lösung und kannst t,s (x,y)-Punkte in den Graphen eintragen.
- Achte darauf, dass der Graph unter die x-Achse fallen kann. Wenn deine Linie für die Bewegung des Objekts unter die x-Achse fällt, bedeutet das, dass dein Objekt sich rückwärts bewegt. Grundsätzlich sollte dein Graph nicht hinter die y-Achse gehen, wir messen selten die Geschwindigkeit für Objekte, die sich in der Zeit zurückbewegen.
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Wähle einen Punkt P und einen Punkt Q, der nahe zu P auf der Linie ist. Um die Steigung an einem einzelnen Punkt P zu finden, verwenden wir einen mathematischen Trick, genannt „den Grenzwert bestimmen“. Dazu benötigen wir zwei Punkte (P, plus Q, einem Punkt nahe P) auf der Kurve. Wir bestimmen dann die Steigung der Linie zwischen ihnen, immer und immer wieder, während die Entfernung zwischen P und Q kleiner wird.
- Nehmen wir an, der Graph für die Verschiebung beinhaltet die Punkte (1/3) und (4/7). Wenn wir in diesem Fall die Steigung in (1/3) finden wollen, können wir sagen: (1/3) = P und (4/7) = Q .
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Finde die Steigung zwischen P und Q. Die Steigung zwischen P und Q, ist die Differenz der y-Werte von P und Q, über die Differenz der x-Werte von P und Q. In anderen Worten, H = (y Q - y P )/(x Q - x P ) , mit H als die Steigung zwischen den beiden Punkten. In unserem Beispiel, ist die Steigung zwischen P und Q:
H = (y Q - y P )/(x Q - x P )
H = (7 - 3)/(4 - 1)
H = (4)/(3) = 1,33 -
Wiederhole diesen Vorgang mehrere Male, wobei du Q an P annäherst. Dein Ziel ist es, die Entfernung zwischen P und Q immer kleiner und kleiner zu machen, bis die beiden Punkte nur noch ein Punkt sind. Je kleiner die Entfernung zwischen P und Q wird, desto näher kommt die Steigung deines kleinen Segments, der Steigung am Punkt P. Machen wir das ein paar Mal für unsere Beispielgleichung. Wir verwenden hierzu die Punkte (2/4,8), (1,5/3,95), und (1,25/3,49) für Q und unseren Ausgangspunkt (1/3) für P:
Q = (2/4.,8): H = (4,8 - 3)/(2 - 1)
H = (1,8)/(1) = 1,8
Q = (1,5/3,95): H = (3,95 – 3)/(1,5 - 1)
H = (0,95)/(0,5) = 1,9
Q = (1,25/3,49): H = (3,49 – 3)/(1,25 - 1)
H = (0,49)/(0,25) = 1,96 -
Schätze die Steigung für einen unendlich kleinen Intervall auf der Linie ab. Während Q sich immer näher und näher an P annähert, kommt H der Steigung am Punkt P immer näher und näher. Irgendwann, für einen unendlich kleinen Intervall, wird H gleich der Steigung an P. Da wird kein unendlich kleines Intervall messen oder berechnen können, schätzen wir die Steigung von P ab, sobald sie aus den Punkten ersichtlich wird, die wir ausprobiert haben.
- In unserem Beispiel, wenn wir Q näher an P legen, bekommen wir die Werte 1,8/1,9 und 1,96 für H. Da diese Zahlen sich scheinbar an 2 annähern, können wir 2 als eine gute Annäherung für die Steigung an P annehmen.
- Denke daran, dass die Steigung an einem bestimmten Punkt des Graphen, gleich der Ableitung der Gleichung des Graphen an diesem Punkt ist. Da unser Graph die Verschiebung des Objekts mit der Zeit zeigt und, wie wir im Abschnitt oben gesehen haben, die Momentan-Geschwindigkeit eines Objekt die Ableitung seiner Verschiebung zu einem bestimmten Zeitpunkt ist, können wir also auch sagen, dass 2 Meter/Sekunde eine gute Abschätzung für die Momentan-Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t=1 ist.
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Finde die Momentan-Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 4, bei gegebener Gleichung für die Verschiebung s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9. Diese Beispiel ist wie das Beispiel aus Abschnitt 1, nur dass wir es jetzt mit einer kubischen Gleichung, statt einer quadratischen Gleichung zu tun haben. Wir können sie also auf dieselbe Art und Weise lösen.
- Zunächst bestimmen wir die Ableitung unserer Gleichung:
s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9
s = (3)5t (3 - 1) - (2)3t (2 - 1) + (1)2t (1 - 1) + (0)9t 0 - 1
15t (2) - 6t (1) + 2t (0)
15t (2) - 6t + 2 - Dann setzen wir den Wert für t ein (4):
s = 15t (2) - 6t + 2
15(4) (2) - 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 Meter/Sekunde
- Zunächst bestimmen wir die Ableitung unserer Gleichung:
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Verwende grafische Abschätzungen, um die Momentan-Geschwindigkeit an (1/3), für die Verschiebungsgleichung s = 4t 2 - t, zu finden. Für diese Aufgabe verwenden wir (1/3) als unseren P-Punkt, aber wir benötigen weitere Punkte als Q-Punkte, um uns anzunähern. Dann müssen wir nur noch die H-Werte finden und eine Abschätzung treffen.
- Lass uns zunächst Q-Punkte für t=1,5/1,1 und 1,01 finden.
s = 4t 2 - t
t = 2: s = 4(2) 2 - (2)
4(4) - 2 = 16 - 2 = 14, also Q = (2/14)
t = 1,5: s = 4(1,5) 2 - (1,5)
4(2,25) - 1.5 = 9 – 1,5 = 7.5, also Q = (1,5/7,5)
t = 1,1: s = 4(1,1) 2 - (1,1)
4(1,21) – 1,1 = 4,84 – 1,1 = 3,74, also Q = (1,1/3,74)
t = 1,01: s = 4(1,01) 2 - (1,01)
4(1,0201) – 1,01 = 4,0804 – 1,01 = 3,0704, also Q = (1,01/3,0704) - Als nächstes, bestimmen wir unsere H-Werte:
Q = (2/14): H = (14 - 3)/(2 - 1)
H = (11)/(1) = 11
Q = (1,5/7,5): H = (7,5 – 3)/(1,5 - 1)
H = (4,5)/(0,5) = 9
Q = (1,1/3,74): H = (3,74 – 3)/(1,1 - 1)
H = (0,74)/(0,1) = 7,3
Q = (1,01/3,0704): H = (3,0704 – 3)/(1,01 - 1)
H = (0,0704)/(0,01) = 7,04 - Da sich unsere H-Werte der 7 annähern, können wir sagen, dass 7 Meter/Sekunde eine gute Annäherung für die Momentan-Geschwindigkeit an (1/3) ist.
Werbeanzeige - Lass uns zunächst Q-Punkte für t=1,5/1,1 und 1,01 finden.
Tipps
- Verschiebung ist so ähnlich wie Abstand, aber sie hat eine Richtung, und damit wird die Verschiebung zu einem Vektor und Geschwindigkeit ist ein Skalar. Die Verschiebung kann negativ sein, aber der Abstand ist immer positiv.
- Die Gleichung, die den Zusammenhang zwischen Y (Verschiebung) und X (Zeit) beschreibt, kann sehr einfach sein, zum Beispiel Y= 6x + 3. In diesem Fall ist die Steigung konstant und es ist nicht nötig, die Ableitung zu berechnen, um die Steigung zu berechnen, die nach der Basisform für Geraden, Y = mx + b, 6 ist.
- Um die Beschleunigung zu bestimmen (die Änderung der Geschwindigkeit über die Zeit), kannst du die Methode von Teil 1, die Ableitung der Verschiebungsfunktion berechnen, anwenden. Bilde dann noch eine Ableitung, dieses Mal von deiner Ableitungsfunktion. Damit hast du eine Gleichung, um die Beschleunigung zu jedem Zeitpunkt zu bestimmen - du musst nur deinen Zeitpunkt einsetzen.
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