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Das Oktalsystem ist ein System mit der Zahl 8 als Basis, in dem nur die Ziffern von 0 bis 7 eingesetzt werden. Der Hauptvorteil ist die einfache Umrechnung in das Binärsystem (mit der Basis 2), weil jede Ziffer im Oktalsystem als eine einzige dreiziffrige Binärzahl geschrieben werden kann. [1] X Forschungsquelle Dezimal- in Oktalzahlen umzurechnen ist etwas schwieriger, du brauchst aber keine weiteren Mathematikkentnisse außer schriftliche Division. Beginne mit der Divisionsmethode, bei der man jede Ziffer herausfindet, indem man durch Potenzen von 8 dividiert. Die Methode, bei der man mit dem Rest rechnet, ist einfacher und es werden ähnliche Rechnungen angewandt, es kann aber etwas schwieriger sein zu verstehen, wie sie funktioniert.
Vorgehensweise
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Verwende diese Methode, um die Konzepte zu lernen. Von den zwei Methoden auf dieser Seite ist diese leichter zu verstehen. Wenn du bereits selbstsicher bei der Arbeit mit verschiedenen Zahlensystemen bist, probiere die schnellere Methode mit dem Rest der Divisionen weiter unten aus.
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Schreibe die Dezimalzahl auf. In diesem Beispiel wandeln wir die Dezimalzahl 98 in eine Oktalzahl um.
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Liste die Potenzen von 8 auf. Erinnere dich, dass das "Dezimalsystem" von dem lateinischen Wort "decem" für 10 herstammt, weil jede Ziffer eine Zehnerpotenz darstellt. [2] X Forschungsquelle Wir nennen die ersten drei Stellen Einerstelle, Zehnerstelle und Hunderterstelle, wir könnten das aber auch als die 10 0 -Stelle, die 10 1 -Stelle und die 10 2 -Stelle bezeichnen. Beim Oktalsystem, mit der Basis 8 werden Achterpotenzen anstelle von Zehnerpotenzen eingesetzt. Schreibe ein paar dieser Potenzen von 8 in einer Reihe auf, von der größten zur kleinsten. Beachte, dass die Zahlen alle im Dezimalsystem (Basis 10) geschrieben stehen:
- 8 2 8 1 8 0
- Schreibe sie als einzelne Zahlen auf:
- 64 8 1
- Du brauchst keine Achterpotenzen, die größer sind als die Ursprungszahl (in diesem Fall 98). Da 8 3 = 512 und 512 größer ist als 98, können wir es aus dem Schaubild lassen.
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Dividiere die Dezimalzahl durch die größte Achterpotenz. Sieh dir deine Dezimalzahl an: 98. Die Neun an der Zehnerstelle sagt dir, dass es neun Zehnen in dieser Zahl gibt. Zehn passt neunmal in diese Zahl. Beim Oktalsystem wollen wir auf eine ähnliche Weise wissen, wie viele "64" in die endgültige Zahl passen. Dividiere 98 durch 64, um das herauszufinden. Die einfachste Möglichkeit ist, eine Darstellung zu machen, die von oben nach unten gelesen wird: [3] X Forschungsquelle
- 98
÷ - 64
8 1
= - 1 ← Das ist die erste Ziffer deiner Oktalzahl.
- 98
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Finde den Rest. Rechne den Rest der Divisionsaufgabe aus oder den Betrag, der übrig ist und nicht zur Gänze hineinpasst. Schreibe die Lösung oben über die zweite Spalte. Das ist, was von der Zahl übrig bleibt, nachdem die erste Ziffer berechnet wurde. In unserem Beispiel ist das 98 ÷ 64 = 1. Da 1 x 64 = 64, ist der Rest 98 - 64 = 34. Füge das zu deiner Darstellung hinzu:
- 98 34
÷ - 64 8 1
= - 1
- 98 34
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Dividiere den Rest durch die nächste Achterpotenz. Um die nächste Ziffer herauszufinden, bewegen wir uns einen Schritt weiter zur nächsten Achterpotenz. Teile den Rest durch diese Zahl und fülle die zweite Spalte deiner Darstellung:
- 98 34
÷ ÷ - 64 8
1
= = - 1 4
- 98 34
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Mache so weiter, bis du die vollständige Lösung gefunden hast. Nimm wie zuvor den Rest aus der Lösung und schreibe ihn oben über die nächste Spalte. Dividiere weiter und finde den Rest, bis du das für jede Spalte gemacht hast, auch die 8 0 (die Einerstelle). Die letzte Reihe ist die in eine Oktalzahl umgewandelte Dezimalzahl. Hier ist unser Beispiel mit der vollständig ausgefüllten Darstellung (beachte, dass 2 der Rest von 34÷8 ist):
- 98 34 2
÷ ÷ ÷ - 64 8 1
= = = - 1 4 2
- Die abschließende Lösung: 98 mit Basis 10 = 142 mit Basis 8. Du kannst das schreiben als 98 10 = 142 8
- 98 34 2
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Überprüfe deine Arbeit. Multipliziere zum Prüfen deiner Arbeit jede Ziffer in der Oktalzahl mit der Achterpotenz, die sie darstellt. Du solltest wieder die ursprüngliche Zahl erhalten. Überprüfen wir unsere Lösung, 142:
- 2 x 8 0 = 2 x 1 =2
- 4 x 8 1 = 4 x 8 = 32
- 1 x 8 2 = 1 x 64 = 64
- 2 + 32 + 64 = 98, die Zahl, mit der wir begonnen haben.
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Probiere es mit dieser Übungsaufgabe. Übe diese Methode, indem du die Dezimalzahl 327 in eine Oktalzahl umwandelst. Wenn du meinst, du hast die Lösung gefunden, markiere den unsichtbaren Text unter diesem hier, um die Ausführung der ganzen Aufgabe zu sehen.
- Markiere diesen Bereich:
- 327 7 7
÷ ÷ ÷ - 64 8 1
= = = - 5 0 7
- Die Lösung ist 507.
- (Hinweis: Es ist in Ordnung, 0 als Lösung einer Divisionsaufgabe zu haben.)
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Beginne mit einer beliebigen Dezimalzahl. Wir fangen mit der Dezimalzahl 670 an.
- Diese Methode ist schneller als die Methode mit aufeinanderfolgenden Divisionen. Die meisten Leute tun sich schwer zu verstehen, wie sie funktioniert und könnten es leichter finden, mit der oben beschriebenen Methode anzufangen.
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Dividiere diese Zahl durch 8. Ignoriere die Dezimalstellen vorerst. Du wirst bald sehen, warum diese Berechnung nützlich ist.
- In unserem Beispiel: 670 ÷ 8 = 83 .
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Finde den Rest. Jetzt wo wir so oft wir können "in Achten gezählt haben", ist der Rest die kleine Zahl, die übrig bleibt. Das ist die letzte Ziffer unserer Oktalzahl, an der Einerstelle (8 0 ). Der Rest ist immer kleiner als 8, er kann also durch eine der anderen Ziffern dargestellt werden. [4] X Forschungsquelle
- In unserem Beispiel: 670 ÷ 8 = 83, Rest 6 .
- Unsere Oktalzahl ist bis jetzt ???6.
- Wenn dein Taschenrechner eine Taste "modulus" oder "mod" hat, kannst du diesen Wert herausfinden, indem du "670 mod 8" eingibst.
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Dividiere die Lösung der Divisionsaufgabe durch 8. Schreibe den Rest auf und kehre zu der Divisionsaufgabe zurück. Nimm die Lösung und teile sie erneut durch 8. Schreibe dir die Lösung auf und finde dann den Rest. Das ist die zweitletzte Ziffer deiner Oktalzahl, die 8 1 = Achterstelle.
- In unserem Beispiel: Die Lösung unserer letzten Division war 83.
- 83 ÷ 8 = 10, Rest 3.
- Unsere Oktalzahl ist bis jetzt ??36.
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Dividiere wieder durch 8. Wie zuvor nimmst du die Lösung für die letzte Divisionsaufgabe. Dividiere sie erneut durch 8 und finde den Rest. Das ist die drittletzte Ziffer deiner Oktalzahl, die 8 2 = 64er-Stelle.
- In unserem Beispiel: Die Lösung zu der letzten Divisionsaufgabe war 10.
- 10 ÷ 8 = 1, Rest 2.
- Unsere Oktalzahl ist soweit ?236.
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Wiederhole, bis du die letzte Ziffer findest. Wenn du die letzte Divisionsaufgabe ausrechnest, wird die Lösung 0 sein. Der Rest dieser Aufgabe ist die erste Ziffer in der Oktalzahl. Du hast die Dezimalzahl nun vollständig umgewandelt.
- In unserem Beispiel: Die Lösung zur letzten Divisionaufgabe war 1.
- 1 ÷ 8 = 0, Rest 1.
- Unsere abschließende Lösung ist die Oktalzahl 1236. Wir können das schreiben als 1236 8 , um zu zeigen, dass es eine Oktalzahl ist.
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Verstehe, wie das funktioniert. Wenn du Schwierigkeiten hast, diese Methode zu verstehen, ist das hier eine Erklärung: [5] X Forschungsquelle
- Du beginnst mit einem Stapel von 670 Einheiten.
- Mit der ersten Divisionsaufgabe werden sie in Gruppen aufgeteilt, mit acht Einheiten in jeder Gruppe. Alles, was übrig bleibt, der Rest, passt nicht in die 8er-Stelle. Es muss stattdessen an der Einerstelle stehen.
- Jetzt nimmst du den Stapel aus Gruppen und teilst ihn in Abschnitte zu je acht Gruppen. Jeder Abschnitt hat nun 8 Gruppen mit je acht Einheiten oder 64 Einheiten insgesamt. Der Rest passt in diese nicht hinein, er kann also nicht an der 64er-Stelle stehen. Er muss an der 8er-Stelle sein.
- So geht es weiter, bis du die ganze Zahl ermittelt hast.
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Übungsaufgaben
- Versuche, diese Dezimalzahlen selber umzuwandeln, mit einer der oben genannten Methoden. Wenn du glaubst, du hast die Antwort, markiere den unsichtbaren Text auf der rechten Seite der Gleichung. (Beachte, dass 10 bedeutet, dass es eine Dezimalzahl ist, und 8 , dass es eine Oktalzahl ist.)
- 99 10 = 143 8
- 363 10 = 553 8
- 5210 10 = 12132 8
- 47569 10 = 134721 8
Referenzen
- ↑ http://users.ece.utexas.edu/~valvano/embed/chap3/chap3.htm#OCTAL
- ↑ https://www.ducksters.com/kidsmath/decimals_place_value.php
- ↑ http://www.free-online-calculator-use.com/decimal-to-octal-converter.html
- ↑ http://mathforum.org/library/drmath/view/55738.html
- ↑ http://mathforum.org/library/drmath/view/55738.html
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