PDF herunterladen
PDF herunterladen
Der Erwartungswert ist ein Konzept in der Statistik, und er ist nützlich bei der Entscheidung, wie nützlich oder schädlich die Auswirkungen einer Aktion sein könnten. Um einen Erwartungswert zu berechnen, musst du wissen welche Ergebnisse in einer bestimmten Situation vorkommen können und wie wahrscheinlich sie sind. Diese Anleitung führt dich durch einige Beispiel-Aufgaben, um dir das Konzept des Erwartungswertes zu verdeutlichen.
Vorgehensweise
-
Mache dich mit der Aufgabenstellung vertraut. Bevor du anfängst über die möglichen Ergebnisse und Wahrscheinlichkeiten nachzudenken, vergewissere dich, dass du die Aufgabe verstanden hast. Lass uns zum Beispiel ein Würfel-Spiel betrachten, bei dem jedes Spiel 10 EUR kostet. Ein 6-seitiger Würfel wird einmal geworfen und dein Gewinn hängt von der gewürfelten Augenzahl ab. Wenn eine 6 fällt, gewinnst du 30 EUR; bei einer 5 gewinnst du 20 EUR; bei allen anderen Zahlen bekommst du nichts.
-
Liste alle möglichen Ergebnisse auf. Es hilft, wenn du dir eine Liste aller möglichen Ergebnisse bei diesem Spiel machst. [1] X Forschungsquelle In unserem Beispiel gibt es 6 mögliche Ausgänge. Sie sind: (1) Eine 1 wird gewürfelt und du verlierst die 10 EUR, (2) eine 2 wird gewürfelt und du verlierst die 10 EUR, (3) eine 3 wird gewürfelt und du verlierst die 10 EUR, (4) eine 4 wird gewürfelt und du verlierst die 10 EUR, (5) eine 5 wird gewürfelt und du gewinnst 10 EUR und (6) eine 6 wird gewürfelt und du gewinnst 20 EUR.
- Beachte, dass hier jeder Ausgang 10 EUR weniger als weiter oben beschrieben ist, denn du musst immer 10 EUR bezahlen, um das Spiel zu spielen, egal was du würfelst.
-
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für jeden Ausgang. In diesem Fall sind die Wahrscheinlichkeiten für jeden der 6 Ausgänge gleich. Beim Würfeln mit einem 6-seitigen Würfel ist die Chance, dass eine bestimmte Zahl fällt, 1 zu 6. Um leichter schreiben und rechnen zu können, verwandeln wir diesen Bruch (1/6) in eine Dezimalzahl, indem wir sie in einen Taschenrechner eingeben: 0,167. Schreibe diese Wahrscheinlichkeit neben jeden Ausgang, besonders, wenn du eine Aufgabe hast, wo die Ausgänge verschiedene Wahrscheinlichkeiten haben.
- Wenn du 1/6 in einen Taschenrechner eingibst, dann erhältst du vermutlich eher so etwas wie 0,166667. Wir runden die Zahl aber zu 0,167, um die Berechnungen leichter zu machen. Da es immer noch nahe bei der wirklichen Zahl ist, werden wir immer noch ein recht genaues Ergebnis bekommen.
- Wenn du ein sehr genaues Ergebnis haben willst, und du hast einen Taschenrechner mit Klammer-Funktion, dann tippe (1/6) statt 0,167, wenn du die Berechnungen durchführst.
-
Schreibe den Wert von jedem Ausgang auf. Multipliziere den Euro-Betrag eines Ausgangs mit der Wahrscheinlichkeit, dass dieser Ausgang vorkommt, um herauszufinden, wieviel EUR dieser Ausgang zum Erwartungswert beiträgt. Zum Beispiel ist das Ergebnis bei einer gewürfelten 1 gleich -$10 und die Wahrscheinlichkeit, eine 1 zu würfeln, ist 0,167. Der Wert der gewürfelten 1 ist deshalb (-10) * (0,167) EUR.
- Du musst es noch nicht sofort ausrechnen, wenn du einen Taschenrechner hast, der mehrere Operationen auf einmal machen kann. Du bekommst auch ein genaueres Ergebnis, wenn du später alles auf einmal eintippst.
-
Addiere die Werte für alle Ausgänge, um den Erwartungswert für das Experiment zu bekommen. Wenn wir mit unserem Beispiel weiter machen, dann ist der Erwartungswert für das Würfelspiel: (-10 * 0,167) + (-10 * 0,167) + (-10 * 0,167) + (-10 * 0,167) + (10 * 0,167) + (20 * 0,167), ausgerechnet -1,67 EUR. Deshalb solltest du beim Spielen dieses Spiels erwarten, dass du pro Spiel 1,67 EUR verlierst.
-
Die Implikationen des Erwartungswertes. In unserem Beispiel haben wir ausgerechnet, dass der zu erwartende Gewinn -1,67 EUR pro Wurf ist. Das kann natürlich bei einem bestimmten Spiel nicht herauskommen; du kannst nur entweder 10 EUR verlieren oder 10 EUR gewinnen oder 20 EUR gewinnen. Der Erwartungswert ist allerdings nützlich als ein Durchschnitt über lange Zeit. Wenn du dieses Spiel immer und immer wieder spielst, dann verlierst du im Schnitt ungefähr 1,67 EUR pro Spiel. Eine andere Betrachtungsweise ist, dem Spiel bestimmte Kosten (oder Nutzen) zu zu weisen; du solltest dich nur dafür entscheiden, dieses Spiel zu spielen, wenn der Spaß, es zu spielen, dir jedes Mal 1,67 EUR wert ist.
- Je öfter die Situation wiederholt wird, desto genauer spiegelt der Erwartungswert das Durchschnittsergebnis wieder. Du spielst zum Beispiel dieses Spiel fünfmal hinter einander und verlierst jedes Mal und hast damit einen Durchschnittsverlust von 10 EUR pro Spiel. Wenn du es aber 1.000 Mal oder öfter spielst, dann wird dein Durchschnittsergebnis fast immer nahe bei den erwarteten -1,.67 EUR pro Spiel liegen. Dieses Prinzip heißt "Gesetz der großen Zahlen".
Werbeanzeige
Methode 2
Methode 2 von 3:
Die erwartete Anzahl von Münzwürfen berechnen bis ein bestimmtes Muster erreicht wird
PDF herunterladen
-
Hier wollen wir die durchschnittliche Anzahl von Münzwürfen berechnen bis ein bestimmtes Muster bei den Ergebnissen erscheint. Du kannst diese Methode zum Beispiel dafür verwenden, zu berechnen, wie groß der Erwartungswert für die Anzahl der Münzwürfe ist, bis du zweimal hintereinander Kopf bekommst. Das ist ein etwas komplizierteres Beispiel als die einfache Erwartungswert-Berechnung. Lies also den Abschnitt oben, wenn du noch nicht so vertraut mit Erwartungswerten bist.
-
Sei x das Ergebnis, das wir bestimmen wollen. Angenommen, wir wollen herausfinden, wie oft wir im Durchschnitt eine Münze werfen müssen bis zweimal hintereinander Kopf kommt. Wir werden eine Formel entwickeln, die uns hilft, das Ergebnis zu berechnen. Das gesuchte Ergebnis, die durchschnittlich Zahl der Münzwürfe, nennen wir x. Wir werden die Formel Schritt für Schritt entwickeln. Bisher haben wir:
- x = ___
-
Was passiert, wenn der erste Wurf Zahl ist? Wenn du eine Münze wirfst, dann wird in der Hälfte der Zeit der erste Wurf Zahl sein. Wenn das passiert, dann haben wir einen Wurf "verschwendet", während die Chance, zweimal hinter einander Kopf zu werfen, sich nicht verändert hat. Genau wie vor diesem Münzwurf erwarten wir eine durchschnittliche Zahl an Münzwürfen zu machen bevor zweimal Kopf kommt. Mit anderen Worten heißt das, dass wir erwarten, noch x Mal eine Münze zu werfen, plus die eine, die wir gerade geworfen haben. [2] X Forschungsquelle Wenn wir "in der Hälfte aller Versuche musst du x Münzwürfe plus 1 machen" in die Formel schreiben wollen, dann sieht es so aus:
- x = (0,5)(x+1) + ___
- Wir werden den leeren Platz ausfüllen, wenn wir weiter über andere Situationen nachdenken.
- Du kannst Brüche anstelle von Dezimalzahlen benutzen, wenn das leichter für dich ist. 0,5 ist das gleiche wie 1/2.
-
Was passiert, wenn der erste Wurf Kopf ist? Die Wahrscheinlichkeit ist 0,5 (oder 1/2), dass der erste Wurf Kopf zeigt. Damit sind wir unserem Ziel, zweimal hinter einander Kopf zu werfen, schon näher, aber wieviel näher? Der leichteste Weg, dies herauszufinden, ist darüber nach zu denken, was beim zweiten Wurf passieren kann:
- Wenn der zweite Wurf Zahl ist, dann sind wir wieder am Anfang, haben aber zwei Würfe verschwendet.
- Wenn der zweite Wurf auch Kopf ist, sind wir fertig!
-
Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Ereignisse eintreffen? Wir wissen, dass bei einem Münzwurf die Wahrscheinlichkeit Kopf zu werfen, 0,5 ist, aber was ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Münzwürfe beide Kopf ergeben? Um die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen von zwei unabhängigen Ereignissen zu bestimmen, multiplizieren wir die beiden Einzelwahrscheinlichkeiten. In diesem Fall ist es 0,5 * 0,5 = 0,25. Das ist auch die Wahrscheinlichkeit zuerst Kopf und dann Zahl zu werfen, denn auch diese beiden haben jeweils eine 0,5-Wahrscheinlichkeit einzutreffen: 0,5 * 0,5 = 0,25.
-
Füge das Ergebnis für "erst Kopf, dann Zahl" zur Formel hinzu. Da wir jetzt die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis wissen, können wir unsere Formel erweitern. Es gibt eine Wahrscheinlichkeit von 0,25 (oder 1/4), dass wir zwei Würfe verschwenden ohne unserem Ziel näher gekommen zu sein. Mit derselben Logik, die wir vorher benutzt haben, als wir darüber nachgedacht haben, was passiert, wenn der erste Wurf Zahl ist, brauchen wir immer noch weitere x Münzwürfe im Durchschnitt, um zu unserem Ergebnis zu gelangen, plus die 2, die wir schon geworfen haben. Für unsere Formel bedeutet das (0,25)(x+2), das wir hinzufügen können:
- x = (0,5)(x+1) + (0,25)(x+2) + ___
-
Füge das Ergebnis für "Kopf, Kopf" zur Formel hinzu. Wenn wir Kopf, Kopf bei den ersten zwei Würfen erhalten, dann sind wir fertig. Wir haben das Ziel mit genau zwei Würfen erreicht. Wie wir vorher schon berechnet haben, ist die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis 0,25, und deshalb fügen wir (0,25)(2) in die Formel ein. Sie ist nun vollständig:
- x = (0,5)(x+1) + (0,25)(x+2) + (0,25)(2)
- Wenn du dir nicht sicher bist, ob du an alle möglichen Fälle gedacht hast, dann gibt es eine leichte Möglichkeit zu überprüfen, ob die Formel vollständig ist. Die erste Zahl in jedem Summanden der Formel repräsentiert die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis eintritt. Sie sollten sich immer zu 1 addieren. Hier haben wir 0,5 + 0,25 + 0,25 = 1, deshalb könne wir sicher sein, dass wir an alle Fälle gedacht haben
-
Vereinfache die Formel. Lass uns die Formel vereinfachen, indem wir sie ausmultiplizieren. Wenn du Klammern in dieser Anordnung siehst: (0,5)(x+1), dann können wir 0,5 mit jedem Term in der zweiten klammer multiplizieren und erhalten 0,5x + (0,5)(1) oder 0,5x + 0,5. Lass uns dies mit allen Termen machen und sie dann zusammen fassen, um es so leicht wie möglich zu machen:
- x = 0,5x + (0,5)(1) + 0,25x + (0,25)(2) + (0,25)(2)
- x = 0,5x + 0,5 + 0,25x + 0,5 + 0,5
- x = 0,75x + 1,5
-
Löse nach x auf. Wie bei jeder anderen Gleichung, wenn du x bestimmen willst, musst du x auf eine Seite der Gleichung bringen. x bedeutete "die Durchschnittszahl an Münzwürfen, die wir brauchen, um zweimal hinter einander Kopf zu werfen". Wenn wir x berechnet haben, dann haben wir unser Ergebnis.
- x = 0,75x + 1,5
- x - 0,75x = 0,75x + 1,5 - 0,75x
- 0,25x = 1,5
- (0,25x)/(0,25) = (1,5)/(0,25)
- x = 6
- Im Mittel solltest du erwarten, dass du die Münze sechsmal werfen musst, bis zweimal hinter einander Kopf kommt.
Werbeanzeige
-
Der Erwartungswert. Der Erwartungswert ist nicht unbedingt das Ergebnis, das am Wahrscheinlichsten eintritt. Manchmal ist der Erwartungswert sogar ein unmögliches Ereignis, zum Beispiel kann der Erwartungswert bei einem Spiel +5 EUR sein, wenn es nur einen 10 EUR-Preis gibt. Der Erwartungswert gibt an, wieviel Geld du auf dieses Ereignis setzen solltest. Wenn das Spiel einen Erwartungswert von +5 EUR hat, dann solltest du es spielen, wenn du denkst es ist die Zeit und Mühe wert, 5 EUR zu bekommen. Wenn ein anderes Spiel den Erwartungswert von -20 EUR hat, dann solltest du es nur spielen, wenn du denkst, der Spaß ist 20 EUR wert.
-
Unabhängige Ereignisse. Im täglichen Leben glaubt man leicht, dass man einen Glückstag hat, wenn ein paar gute Sachen passieren, und wir denken vielleicht, dass die Glückssträhne anhält und weitere gute Dinge geschehen. Alternativ denken wir vielleicht, dass wir heute schon genug Pech hatten und dass deshalb für eine Weile keine weiteren schlechten Sachen passieren. Vom mathematischen Standpunkt funktioniert die Welt so nicht. Wenn du eine normale Münze wirfst, dann ist die Wahrscheinlichkeit immer genau 1/2, Kopf zu bekommen, und 1/2, Zahl zu bekommen. Es spielt keine Rolle, ob die letzten 20 Würfe jeweils alle Kopf oder Zahl oder eine Mischung von beiden waren: Beim nächsten Münzwurf haben wir genau wieder dieselben Wahrscheinlichkeiten. Der Münzwurf ist "unabhängig" von den anderen Münzwürfen, er wird von ihnen nicht beeinflusst.
- Der Glaube, dass du eine Glücks- oder Pechsträhne bei den Münzwürfen hast (oder bei anderen unabhängigen Zufallsereignissen), oder dass du dein "Pech schon verbraucht" hast und jetzt nur noch gute Ergebnisse haben wirst, wird Trugschluss des Spielers genannt (gambler's fallacy). Der Ausdruck kommt von der Neigung der Menschen, riskante oder dumme Spielentscheidungen zu treffen, wenn sie glauben, dass sie eine "Glückssträhne" haben oder wenn sie glauben, dass sich ihr "Glück gerade wendet".
-
Das Gesetz der großen Zahlen. Du denkst vielleicht, dass der Erwartungswert nicht besonders nützlich ist, denn er sagt dir meistens nichts über den Ausgang des Experimentes. Wenn du ausrechnest, dass der Erwartungswert eines Roulette-Spiels -1 EUR ist, dann aber nach drei Spielen bei -10 EUR oder +60 EUR stehst oder irgendeinen anderen Ergebnis. Das "Gesetz der großen Zahlen" hilft zu erklären, warum Erwartungswerte nützlicher sind als du vielleicht denkst: je mehr Spiele du spielst, desto näher kommst du dem Erwartungswert (dem Durchschnittsergebnis). Wenn du dir viele Ereignisse anschaust, dann ist das Ergebnis wahrscheinlich nahe am Erwartungswert.Werbeanzeige
Tipps
- In Situationen mit vielen Ausgängen kannst du eine Excel-Tabelle machen, um den Erwartungswert mit Hilfe der Ausgänge und ihren Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.
- In den Bildern steht $ (Dollar) als Einheit, aber natürlich funktioniert es genauso für alle anderen Währungen.
Werbeanzeige
Was du brauchst
- Stift
- Papier
- Taschenrechner
Referenzen
Werbeanzeige
Melde dich für den kostenlosen wikiHow Newsletter an!
Du erhältst hilfreiche Tipps und Anleitungen jede Woche direkt in deine Inbox.
Registriere mich!
