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Gebrochen rationale Ausdrücke sind Brüche, die Variablen im Zähler oder Nenner haben. Sie sollten, wenn möglich, in der einfachsten Form dargestellt werden, und das funktioniert ähnlich wie das Kürzen bei Brüchen, die nur aus Zahlen bestehen. Das ist ziemlich einfach, wenn im Zähler und Nenner nur einfache Faktoren vorkommen, aber es wird ein bisschen komplizierter, wenn die Ausdrücke mehrere Terme enthalten. Hier siehst du was du tun musst je nach dem wie die gebrochen rationalen Ausdrücke aussehen.
Vorgehensweise
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Schau dir die Aufgabe an. [1] X Forschungsquelle Rationale Ausdrücke, die nur aus Monomen bestehen sind am leichtesten zu vereinfachen. Wenn die Ausdrücke im Zähler und Nenner jeweils nur aus einem Term bestehen, dann kann man direkt kürzen.
- Beachte, dass Monom bedeutet, dass der Ausdruck nur einen Summanden hat.
- Beispiel: 4x/(8x 2 )
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Kürze gemeinsame Variablen. Wenn dieselbe Variable im Zähler und Nenner vorkommt, dann kannst du den Anteil, der im Zähler und Nenner vorkommt, einfach weglassen.
- Mit anderen Worten: Wenn die Variable nur jeweils einmal im Zähler und Nenner vorkommt, dann verschwindet sie komplett: x/x = 1/1 = 1
- Wenn allerdings die Variable mehrmals im Zähler oder Nenner vorkommt und mindestens einmal in dem anderen Teil vorkommt, subtrahiere den Exponenten von dem kleineren Teil vom Exponenten von dem größeren Teil: x 4 /x 2 = x 2 /1
- Beispiel: x/x 2 = 1/x
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Kürze die Konstanten. Wenn die numerischen Faktoren gleiche Teiler haben, dann teile Zähler und Nenner durch diese gemeinsamen Teiler: 8/12 = 2/3
- Wenn die Konstanten keinen gemeinsamen Teiler haben, können sie nicht vereinfacht werden: 7/5
- Wenn eine Konstante die andere teilt, dann gilt das auch als gemeinsamer Teiler: 3/6 = 1/2
- Beispiel: 4/8 = 1/2
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Schreibe dein Ergebnis auf. Für dein endgültiges Ergebnis musst du die gekürzten Variablen und Konstanten wieder zusammenfügen. [2] X Forschungsquelle
- Beispiel: 4x/8x 2 = 1/2x
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Methode 2
Methode 2 von 3:
Binomische oder polynomiale Ausdrücke mit monomischen Teilern
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Schau dir die Aufgabe an. Wenn der Zähler oder der Nenner ein Monom ist, aber der andere Teil ein binomischer oder polynomialer Ausdruck, dann solltest du versuchen aus beiden Teilen ein Monom auszuklammern.
- Hier bedeutet mono “eins” oder “einfach”, bi bedeutet “zwei” und poly “viele”.
- Beispiel: (3x)/(3x + 6x 2 )
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Schreibe alle gemeinsamen Variablen separat hin. Wenn eine Variable in allen Summanden vorkommt, dann kannst du sie ausklammern.
- Das funktioniert nur, wenn die Variable in jedem Term vorkommt: x/(x 3 – x 2 + x) = x/[(x)(x 2 – x + 1)]
- Wenn einer der Terme die Variable nicht enthält, kannst du sie nicht ausklammern: x/(x 2 + 1)
- Beispiel: x/(x + x 2 ) = [(x)(1)] / [(x)(1 + x)]
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Klammere gemeinsame Konstanten aus. Wenn die numerischen Konstanten in allen Termen gemeinsame Teiler haben, teile jede Konstante durch diesen Teiler um den Zähler und Nenner zu kürzen.
- Wenn eine Konstante die andere teilt, dann gilt das auch als gemeinsamer Teiler: 2 / (2 + 4) = 2 / 2 * [1 / (1 + 2)]
- Beachte, dass das nur funktioniert, wenn alle Terme wenigstens einen gemeinsamen Teiler haben: 9 / (6 – 12) = 3 / 3 * [3 / (2 – 4)]
- Das funktioniert nicht, wenn auch nur ein Term dabei ist, der nicht einen gemeinsamen Teiler mit den anderen hat: 5 / (7 + 3)
- Beispiel: 3/(3 + 6) = [(3)(1)] / [(3)(1 + 2)]
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Klammere die gemeinsamen Teile aus. Füge die ausgeklammerten Variablen und die ausgeklammerten Konstanten wieder zusammen um den gemeinsamen Teiler zu erhalten. Kürze den Bruch um diesen gemeinsamen Teiler, so dass nur noch die Variablen und Konstanten übrig bleiben, die nicht in allen Termen vorkommen.
- Beispiel: (3x)/(3x + 6x 2 ) = [(3x)(1)] / [(3x)(1 + x)]
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Schreibe dein Ergebnis auf. Um das endgültige Ergebnis zu erhalten entferne die gemeinsamen Teiler komplett aus dem Bruch.
- Beispiel: [(3x)(1)] / [(3x)(1 + x)] = 1/(1 + x)
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Methode 3
Methode 3 von 3:
Binomische oder polynomiale Ausdrücke mit binomischen Teilern
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Schau dir die Aufgabe an. Wenn du keine Monome ausklammern kannst, dann kannst du versuchen Binome auszuklammern.
- Hier bedeutet mono “eins” oder “einfach”, bi bedeutet “zwei” und poly “viele”.
- Beispiel: (x 2 - 4) / (x 2 - 2x - 8)
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Zerlege den Zähler in Binome. Um den Zähler in seine Faktoren zu zerlegen, musst du den Zähler gleich Null setzen und diese Gleichung nach x auflösen.
- Beispiel:
(x 2
– 4) = (x - 2) * (x + 2)
- Um dieses Ergebnis zu erhalten, musst du zuerst die Variable auf die eine Seite und die Konstante auf die andere Seite der Gleichung bringen: x 2 = 4
- Ziehe die Wurzel um den Exponenten zu reduzieren: √x 2 = √4
- Vergiss nicht, dass die Wurzel positiv oder negativ sein kann. Damit sind die möglichen Ergebnisse für x : -2, +2
- Und damit ist die Faktorzerlegung für (x 2 – 4) = (x - 2) * (x + 2)
- Überprüfe das Ergebnis noch einmal indem du die Faktoren ausmultiplizierst. Wenn du nicht sicher bist, ob du bei der Zerlegung alles richtig gemacht hast, kannst du die Faktoren mit einander multiplizieren und vergleichen, ob du wieder den ursprünglichen Ausdruck erhältst.
- Beispiel: (x - 2) * (x + 2) = x 2 + 2x - 2x – 4 = x 2 – 4
- Beispiel:
(x 2
– 4) = (x - 2) * (x + 2)
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Zerlege den Nenner in binomische Faktoren. Um den Nenner in seine Faktoren zu zerlegen, musst du den Zähler gleich Null setzen und diese Gleichung nach x auflösen.
- Beispiel:
(x 2
- 2x – 8) = (x + 2) * (x – 4)
- Um dieses Ergebnis zu erhalten, musst du zuerst die Konstante auf eine Seite bringen und alle anderen Terme mit Variablen auf die andere Seite: x 2 − 2x = 8
- Quadriere die Hälfte des Koeffizienten von dem x-Term und addiere diese Zahl auf beiden Seiten: x 2 − 2x + 1 = 8 + 1
- Vereinfache die rechte Seite und wende die binomische Formel auf der linken Seite an: (x − 1) 2 = 9
- Ziehe die Wurzel auf beiden Seiten: x − 1 = ±√9
- Löse nach x auf: x = 1 ±√9
- x hat zwei mögliche Lösungen. [3] X Forschungsquelle
- x = 1 - 3 = -2
- x = 1 + 3 = 4
- Damit ist (x 2 - 2x – 8) = (x + 2) * (x – 4)
- Überprüfe das Ergebnis noch einmal indem du die Faktoren ausmultiplizierst. Wenn du nicht sicher bist, ob du bei der Zerlegung alles richtig gemacht hast, kannst du die Faktoren mit einander multiplizieren und vergleichen, ob du wieder den ursprünglichen Ausdruck erhältst.
- Beispiel: (x + 2) * (x – 4) = x 2 – 4x + 2x – 8 = x 2 - 2x - 8
- Beispiel:
(x 2
- 2x – 8) = (x + 2) * (x – 4)
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Kürze die gemeinsamen Faktoren. Schaue, ob es im Zähler und Nenner gemeinsame Faktoren gibt. Wenn ja, klammere sie vor den Bruch, so dass nur noch die Faktoren übrig bleiben, die verschieden sind.
- Beispiel: [(x - 2)(x + 2)] / [(x + 2)(x – 4)] = (x + 2)/(x + 2) * [(x – 2) / (x – 4)]
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Schreibe dein Ergebnis auf. Um das endgültige Ergebnis zu erhalten entferne die gemeinsamen Teiler komplett aus dem Bruch. [4] X Forschungsquelle
- Beispiel: (x + 2)/(x + 2) * [(x – 2) / (x – 4)] = (x – 2) / (x – 4)
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