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Lineare Interpolation, auch einfach Interpolation genannt, [1] X Forschungsquelle ist ein Verfahren, um einen Zwischenwert zwischen zwei explizit gegebenen Werten einer Tabelle oder eines Graphen zu bestimmen. Viele Menschen können intuitive Zwischenwerte angeben, aber dieser Artikel zeigt den formalen, mathematischen Ansatz, der Grundlage für die Intuition ist.
Vorgehensweise
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Lege den Wert fest, für den du einen entsprechenden Wert bestimmen möchtest. Interpolation kann benutzt werden, wenn man den Logarithmus oder den Wert einer trigonometrischen Funktion bestimmen will oder um den entsprechenden Gasdruck oder das Volumen bei einer gegebenen Temperatur in Chemie zu berechnen. Da wissenschaftliche Taschenrechner weitestgehend Logarithmen-Tafeln und trigonometrische Tabellen ersetzt haben, nehmen wir als Beispiel zum Bestimmen eines Interpolationswertes das Bestimmen des Gasdrucks bei gegebener Temperatur, dessen Wert nicht in der Tabelle oder als Punkt in der Grafik angegeben ist.
- In der Formel, die wir entwickeln werden, nennen wir den Wert, für den wir einen entsprechenden Wert bestimmen wollen, ‘’x’’ und den interpolierten Wert, den wir bestimmen wollen, ‘’y’’. Wir benutzen diese Bezeichnungen, denn in einem Graphen wäre der bekannte Wert auf der horizontalen Achse, der x-Achse, abgetragen, und der Wert, den wir bestimmen wollen, auf der vertikalen, der y-Achse.
- Unser ‘’x’’-Wert ist die Temperatur des Gases, die in diesem Beispiel 37 Grad Celsius ist.
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Suche nach den nächsten Werten in der Tabelle oder im Graphen, die gerade über und unter unserem x-Wert liegen. Unsere Referenz-Tabelle gibt keinen Gasdruck für 37 Grad C an, aber sie gibt Werte für 30 Grad C und 40 Grad C an. Der Gasdruck bei 30 Grad C ist 3 Kilopascal (kPa) und der Druck bei 40 Grad C ist 5 kPa.
- Da wir die Temperatur 37 Grad C mit ‘’x’’ bezeichnen, nennen wir die Temperatur 30 Grad ‘’x 1 ’’ und 40 Grad ‘’x 2 ’’.
- Da wir den Druck, den wir bestimmen wollen, mit ‘’y’’ bezeichnen, nennen wir den Druck 3 kPa bei 30 Grad C ‘’y 1 ’’ und den Druck 5 kPa bei 40 Grad C ‘’y 2 ’’.
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Bestimme den interpolierten Wert mathematisch. Die Formel für den interpolierten Wert kann folgendermaßen geschrieben werden: y = y 1 + ((x – x 1 )/(x 2 - x 1 ) * (y 2 - y 1 )) [2] X Forschungsquelle
- Wenn wir die Werte für x, x 1 und x /2 einsetzen, dann erhalten wir (37 – 30)/(40 -30) und können es zu 7/10 oder 0,7 vereinfachen.
- Wenn wir die Werte für y 1 und y 2 am Ende der Formel einsetzen, dann erhalten wir (5 – 3) oder 2.
- Wenn wir 0,7 mit 2 multiplizieren, dann erhalten wir 1,4. Wenn wir 1,4 zu y 1 ( = 3) addieren, dann erhalten wir 4,4 kPa. Wir überprüfen noch einmal, ob dieses Ergebnis sinnvoll erscheint: 4,4 liegt zwischen 3 kPa bei 30 Grad C und 5 kPa bei 40 Grad C, und da 37 näher bei 40 als bei 30 liegt, sollte das Ergebnis auch näher bei 5 kPa als bei 3 kPa sein.
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Tipps
- Wenn du Abstände in einem Graphen gut abschätzen kannst, kannst du eine ungefähre Interpolation machen, indem du die Position eines Punktes auf der x-Achse abschätzt und dann den zugehörigen y-Wert abliest. Wenn obiges Beispiel als Graph gezeichnet wäre, in dem die x-Achse in Einheiten von 10 Grad C und die y-Achse in Einheiten von 1 kPa beschriftet ist, dann könntest du die ungefähre Position von 37 Grad C bestimmen und dann auf der y-Achse einen Wert ablesen, der nicht ganz in der Mitte zwischen 4 und 5 kPa liegt. Obige Formel drückt diesen Gedankenvorgang mathematisch aus und gibt ein genaueres Ergebnis.
- Verwandt mit der Interpolation ist die Extrapolation, bei der man einen entsprechenden Wert zu einem gegebenen Wert bestimmt, der außerhalb der aufgelisteten Werte in der Tabelle oder in dem Graph liegt.
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Referenzen
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