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Bevor es Computer und Taschenrechner gab, konnte man Logarithmen schnell mit der Hilfe von Logarithmen-Tafeln berechnen. Diese Tabellen können immer noch nützlich sein für das schnelle Berechnen von Logarithmen oder das Multiplizieren großer Zahlen, wenn du einmal heraus gefunden hast, wie man sie benutzen kann.
Vorgehensweise
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Bedeutung des Logarithmus. 10 2 ist 100. 10 3 ist 1000. Die Exponenten 2 und 3 sind die Logarithmen zur Basis 10 von 100 und 1000. [1] X Forschungsquelle Im Allgemeinen kann a b = c geschrieben werden als log a c = b . Es ist also äquivalent, wenn man sagt "zehn hoch zwei ist 100" und "der 10er-Logarithmus von 100 ist zwei". Logarithmen-Tafeln sind zur Basis 10, damit ist a immer 10.
- Multipliziere zwei Zahlen, indem du die Exponenten addierst. Zum Beispiel: 10 2 * 10 3 = 10 5 , oder 100 * 1000 = 100.000.
- Der natürliche Logarithmus, bezeichnet durch "ln", ist der Logarithmus zur Basis e, wobei e die Konstante 2,718 ist. e ist nützlich in vielen Bereichen der Mathematik und Physik. Du kannst die Tafeln für den natürlichen Logarithmus genauso benutzen wie für den 10er-Logarithmus.
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Bestimme die Charakteristik der Zahl, deren Logarithmus du berechnen willst. 15 liegt zwischen 10 (10 1 ) und 100 (10 2 ), also liegt sein Logarithmus zwischen 1 und 2, ist also eins Komma irgendetwas. 150 liegt zwischen 100 (10 2 ) und 1000 (10 3 ), also liegt sein Logarithmus zwischen 2 und 3, ist also zwei Komma irgendetwas. Das "irgendetwas" wird Mantisse genannt; und genau die findest du in den Logarithmen-Tafeln. Das, was vor dem Komma steht (1 im ersten Beispiel, 2 im zweiten) ist die Charakteristik.
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Gehe mit deinem Finger zur passenden Reihe in der linken Spalte in der Tafel. Diese Spalte zeigt die ersten beiden oder bei manchen großen Tafeln die ersten drei Ziffern der Zahl, deren Logarithmus du bestimmen willst. Wenn du log 15,27 in einer Tafel für den dekadischen Logarithmus bestimmen willst, gehe zu der Zeile, die mit 15 markiert ist. Wenn du log 2,57 nachschlagen willst, gehe zu der Zeile, die mit 25 markiert ist.
- Manchmal enthalten die Zahlen in dieser Zeile ein Komma, das heißt du suchst nach 2,5 und nicht 25. Du kannst das Komma ignorieren, denn es ändert dein Ergebnis nicht.
- Ignoriere ebenfalls etwaige Kommas in den Zahlen, deren Logarithmus du bestimmen willst, denn die Mantisse für log 1,527 ist dieselbe wie für 152,7.
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Gehe in der passenden Reihe zu der passenden Spalte. Die Spalte ist diejenige, die mit der nächsten Ziffer der Zahl, deren Logarithmus du heraus finden willst, markiert ist. Wenn du zum Beispiel log 15,27 berechnen willst, dann ist dein Finger in der Zeile, die mit 15 markiert ist. Gehe in der Zeile soweit nach rechts bis du die Spalte 2 gefunden hast. Du zeigst dann auf die Zahl 1818. Notiere sie.
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Wenn deine Tafel auch die mittleren Differenzen enthält, gehe mit deinem Finger zu der Spalte in der Tabelle, die mit der nächsten Ziffer der Zahl, für die du den Logarithmus bestimmen willst, markiert ist. Bei 15,27 ist es 7. Dein Finger ist gerade in Zeile 15 und Spalte 2. Gehe weiter zu Zeile 15 und mittlere-Differenz-Spalte 7. Du zeigst dann auf die Zahl 20. Notiere sie.
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Addiere die Zahlen, die du in den vorhergehenden Schritten gefunden hast. Bei 15,27 erhalten wir 1838. Dies ist die Mantisse des Logarithmus von 15,27.
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Füge die Charakteristik hinzu. Da 15 zwischen 10 und 100 (10 1 und 10 2 ) liegt, muss log 15 zwischen 1 und 2 liegen, also eins Komma irgendetwas, also ist die Charakteristik 1. Setze die Charakteristik und die Mantisse zusammen, um das Ergebnis zu erhalten. log 15,27 ist 1,1838.Werbeanzeige
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Die Tabellen des inversen Logarithmus. Du kannst sie benutzen, wenn du den Logarithmus einer Zahl kennst, aber nicht die Zahl selbst. In der Gleichung 10 n = x ist n der dekadische Logarithmus von x. Wenn du x kennst, kannst du n mit Hilfe der Logarithmen-Tafel bestimmen. Wenn du n kennst, kannst du x mit Hilfe der Tafeln des inversen Logarithmus bestimmen.
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Notiere die Charakteristik. Das ist die Zahl vor dem Komma. Wenn du den inversen Logarithmus von 2,8699 bestimmen willst, dann ist die Charakteristik 2. Entferne sie von der Zahl, die du nachschlagen willst, aber vergewissere dich, dass du sie notierst, damit du sie nicht vergisst - wir brauche sie später noch.
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Suche die Zeile, die dem ersten Teil der Mantisse entspricht. Bei 2,8699 ist die Mantisse 8699. Die meisten Tafeln des inversen Logarithmus, genau wie die meisten Logarithmen-Tafeln, haben zwei Stellen in der linken Spalte. Gehe also mit dem Finger so weit nach unten, bis du bei 86 angelangt bist.
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Gehe mit dem Finger nach rechts bis zu der Spalte, die mit der nächsten Ziffer der Mantisse bezeichnet ist. Bei 2,8699 musst du in der Zeile, die mit 86 markiert ist, so weit nach rechts gehen bis du bei Spalte 9 angekommen bist. Da sollte nun 7396 stehen. Notiere es.
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Wenn deine Tafeln des inversen Logarithmus eine Tabelle mit den mittleren Differenzen hat, dann gehe mit deinem Finger weiter bis zu der Spalte in der Tabelle, die mit der nächsten Ziffer in der Mantisse bezeichnet ist. Pass auf, dass du mit dem Finger in derselben Zeile bleibst. In diesem Fall gehst du mit dem Finger bis zur letzten Spalte in der Tabelle, Spalte 9. An dem Schnittpunkt von Zeile 86 und der mittleren-Differenz-Spalte 9 steht 15. Notiere es.
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Addiere die Zahlen, die du in den vorhergehenden Schritten gefunden hast. In unserem Beispiel sind es 7396 und 15. Addiere sie und erhalte 7411.
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Benutze die Charakteristik, um die Stelle für das Komma zu finden. Unsere Charakteristik war 2. Das bedeutet, dass das Ergebnis zwischen 10 2 und 10 3 oder zwischen 100 und 1000 liegt. Damit die Zahl 7411 zwischen 100 und 1000 liegt, müssen wir das Komma nach den ersten drei Ziffern setzen, damit die Zahl etwa 700 ist und nicht 70, das zu klein ist oder 7000, das zu groß ist. Damit ist das Ergebnis 741,1.Werbeanzeige
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Das Multiplizieren zweier Zahlen mit Hilfe ihrer Logarithmen. Wir wissen, dass 10 * 100 = 1000. Wenn wir es mit Exponenten (oder Logarithmen) schreiben, dann ist 10 1 * 10 2 = 10 3 . Wir wissen auch, dass 1 + 2 = 3. Im Allgemeinen gilt 10 x * 10 y = 10 x + y . Damit ist die Summe der Logarithmen zweier Zahlen der Logarithmus des Produktes dieser Zahlen. Wir können zwei Zahlen, die die selbe Basis haben, multiplizieren, indem wir ihre Exponenten addieren.
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Bestimme die Logarithmen der zwei Zahlen, die du multiplizieren willst. Benutze obige Methode, um die Logarithmen zu bestimmen. Wenn du zum Beispiel 15,27 und 48,54 multiplizieren willst, dann bestimme erst den Logarithmus von 15,27 (nämlich 1,1838) und den Logarithmus von 48,54 (1,6861).
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Addiere die beiden Logarithmen, um den Logarithmus des Ergebnisses zu erhalten. Wir addieren in diesem Beispiel 1,1838 und 1,6861 und erhalten 2,8699. Diese Zahl ist der Logarithmus des Ergebnisses.
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Bestimme den inversen Logarithmus des Ergebnisses des vorherigen Schrittes, um das Ergebnis zu erhalten. Du kannst dies tun, indem du die Zahl innerhalb der Tabelle, die der Mantisse dieser Zahl (8699) am nächsten ist, suchst. Die effizientere und verlässlichere Methode ist allerdings, das Ergebnis mit den Tafeln des inversen Logarithmus, wie oben beschrieben, zu bestimmen. In diesem Beispiel erhalten wir 741,1.Werbeanzeige
Tipps
- Mache alle Rechnungen schriftlich und nicht nur im Kopf, denn die Zahlen sind groß und kompliziert, und es kann schwierig werden.
- Lies die Seiten-Überschriften sorgfältig. Ein Buch mit Logarithmen-Tafeln hat etwa 30 Seiten, und wenn du die falsche Seite benutzt, dann ist dein Ergebnis falsch.
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Warnungen
- Vergewissere dich, dass du alles in derselben Zeile abliest. Man kann leicht in den Zeilen oder Spalten verrutschen, denn sie sind klein geschrieben und haben wenig Abstand.
- Benutze die hier beschriebenen Methoden für Tafeln des dekadischen Logarithmus (Basis 10), und vergewissere dich, dass die Zahlen, die du suchst, zur Basis 10 sind oder in wissenschaftlicher Notation.
- Die meisten Tafeln sind nur auf drei oder vier Stellen genau. Wenn du den inversen Logarithmus von 2,8699 mit einem Taschenrechner bestimmst, dann wird das Ergebnis zu 741,2 gerundet, aber das Ergebnis mit Hilfe der Logarithmen-Tafeln ist 741,1. Das kommt daher, dass in den Tabellen gerundet wird. Wenn du ein genaueres Ergebnis brauchst, benutze einen Taschenrechner oder eine andere Methode als Logarithmen-Tafeln.
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Was du brauchst
- Logarithmen-Tafeln
- Notizzettel
Referenzen
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