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Beim Lösen von Polynomen höheren Grades hat man dasselbe Ziel, wie bei einer quadratischen oder linearen Gleichung: sie so weit wie möglich in Faktoren zu teilen und dann die Faktoren zu nutzen, um die Lösung zu dem Polynom bei y = 0 zu finden. Es gibt viele Ansätze zum Lösen von Polynomen mit einem Term oder höher. Unter Umständen musst du mehrere anwenden, um herauszufinden, welcher bei deiner Aufgabe funktioniert.
Vorgehensweise
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Klammere gemeinsame Faktoren aus allen Termen aus. Wenn jeder Term in dem Polynom einen gemeinsamen Faktor hat, dann klammere ihn einfach aus der Aufgabe aus. Das ist nicht bei allen Polynomen möglich, das zu prüfen ist aber eine gute Herangehensweise.
- Beispiel 1:
Löse in dem Polynom
nach x.
Jeder Term ist durch 2x teilbar, klammere das also aus:
Jetzt löst du die quadratische Gleichung mithilfe der Quadratformel oder durch das Zerlegen in Faktoren:
Die Lösungen sind bei 2x = 0, x+4=0 und x+2=0.
Die Lösungen sind x=0, x=-4, and x=-2 .
- Beispiel 1:
Löse in dem Polynom
nach x.
-
Mache Polynome ausfindig, die wie quadratische Gleichungen agieren. Du weißt wahrscheinlich bereits, wie man Polynome zweiten Grades in der Form löst. Man kann Polynome höheren Grades auf dieselbe Weise lösen, wenn sie in der Form stehen. [1] X Forschungsquelle Hier sind ein paar Beispiele:
- Beispiel 2:
Lasse sein:
Löse die quadratische Gleichung mit einer beliebigen Methode:
also a = -2 oder a = 2/3
Setze für a ein: oder
x = ±√(2/3) . Die andere Gleichung, , hat keine echte Lösung. (Wenn du komplexe Zahlen verwendest, dann löse sie als x = ±i√2 ). - Beispiel 3:
folgt nicht diesem Muster, beachte aber, dass du ein x ausklammern kannst:
Nun kannst du wie eine quadratische Gleichung behandeln, wie in Beispiel 2 gezeigt wurde.
- Beispiel 2:
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Zerlege Summen oder Differenzen von dritten Potenzen. Diese Sonderfälle sehen schwer in Faktoren zu zerlegen aus, haben aber Eigenschaften, die die Aufgabe viel einfacher machen:
- Summe von dritten Potenzen: Ein Polynom in der Form lässt sich zu faktorisieren. [2] X Forschungsquelle
- Differenzen von dritten Potenzen: Ein Polynom in der Form lässt sich zu faktorisieren. [3] X Forschungsquelle
- Beachte, dass sich der quadratische Teil des Ergebnisses nicht faktorisieren lässt. [4] X Forschungsquelle
- Beachte, dass , und x hoch irgendeiner Potenz, die durch 3 teilbar ist, alle in diese Muster passen.
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Suche nach Mustern, um weitere Faktoren zu finden. Polynome, die nicht wie die oben genannten Beispiele aussehen, haben vielleicht keine offensichtlichen Faktoren. Bevor du aber die unten genannten Methoden ausprobierst, kannst du versuchen, nach einem Faktor aus zwei Termen (wie "x+3") zu suchen. Terme in unterschiedlichen Reihenfolgen anzuordnen und Teile des Polynoms auszuklammern kann helfen, welche zu finden. [5] X Forschungsquelle Dieser Ansatz ist nicht immer durchführbar, verbringe also nicht zu viel Zeit damit, es zu versuchen, wenn kein gemeinsamer Faktor geeignet erscheint.
- Beispiel 4:
Dieses hat keinen offensichtlichen Faktor, du kannst aber die zwei ersten Terme faktorisieren und nachsehen, was geschieht:
Nun faktorisierst du die letzten beiden Terme (6x+2) und strebst einen gemeinsamen Faktor an:
Jetzt schreibst du die Gleichung um unter Verwendung des gemeinsamen Faktors 3x+1:
Werbeanzeige - Beispiel 4:
-
Versuche eine Nullstelle des Polynoms zu bestimmen. Polynomdivision ist eine nützliche Art und Weise, Polynome höheren Grades zu faktorisieren, sie funktioniert aber nur, wenn du eine der Nullstellen bereits kennst. Du könntest diese herausfinden, indem du wie oben beschrieben faktorisierst oder in der Aufgabe könnte einer angegeben sein. Wenn ja, dann gehe direkt zu den Anweisungen für die Polynomdivision . Wenn du keine Nullstelle kennst, dann gehe zum nächsten Schritt über und finde eine.
- Die Nullstelle eines Polynoms ist der Wert von x, für den y = 0. Eine Nullstelle c zu kennen gibt dir auch einen Faktor des Polynoms (x - c).
Nach rationalen Nullstellen suchen
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Schreibe die Faktoren des konstanten Terms auf. Das Prüfen der "rationalen Nullstellen" ist eine Art, mögliche Werte für die Nullstellen zu finden. Zu Beginn schreibst du alle Faktoren der Konstante auf (den Term ohne Variable). [6] X Forschungsquelle
- Beispiel: Das Polynom had den konstanten Term 9. Seine Faktoren sind 1, 3 und 9.
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Schreibe die Faktoren des ersten Koeffizienten auf. Das ist der Koeffizient im ersten Term des Polynoms, wenn es von dem Term mit der höchsten Potenz zur niedrigsten geordnet ist. Schreibe alle Faktoren dieser Zahl in einer eigenen Zeile auf.
- Beispiel (forts.): hat einen ersten Koeffizienten von 2. Seine Faktoren sind 1 und 2.
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Finde mögliche Nullstellen. Wenn das Polynom eine rationale Nullstelle hat (die es vielleicht nicht hat), muss sie gleich ± (ein Faktor der Konstante)/(ein Faktor des ersten Koeffizienten) sein. Nur eine Zahl c in dieser Form kann in dem Faktor (x-c) des ursprünglichen Polynoms auftreten.
- Beispiel (forts.): Alle rationalen Nullstellen dieses Polynoms sind in der Form (1, 3 oder 9) geteilt durch (1 oder 2). Zu den möglichen Nullstellen gehören ±1/1, ±1/2, ±3/1, ±3/2, ±9/1 oder ±9/2. Vergiss nicht das "±": jede dieser Möglichkeiten könnte positiv oder negativ sein.
-
Prüfe Nullstellen, bis du eine findest, die passt. Keine dieser ist garantiert eine Nullstelle, du musst sie also in das ursprüngliche Polynom einsetzen.
- Beispiel:
(1/1=1) ist eine mögliche Nullstelle. Wenn es sich als tatsächliche Nullstelle erweist, sollte sie in das Polynom einzusetzen 0 ergeben.
also ist bestätigt, dass 1 eine Nullstelle ist.
Das bedeutet, dass das Polynom den Faktor (x-1). - Wenn keine der Möglichkeiten passt, hat das Polynom keine rationalen Nullstellen und kann nicht in Faktoren zerlegt werden.
Werbeanzeige - Beispiel:
(1/1=1) ist eine mögliche Nullstelle. Wenn es sich als tatsächliche Nullstelle erweist, sollte sie in das Polynom einzusetzen 0 ergeben.
Polynomdivision
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Stelle eine Aufgabe zur Polynomdivision auf. Polynomdivision ist eine Möglichkeit, alle Faktoren eines Polynoms zu finden, wenn du bereits eine davon kennst. Um sie aufzustellen, schreibst du eine Nullstelle des Polynoms. Zeichne eine senkrechte Linie rechts davon und schreibe dann die Koeffizienten deines Polynoms vom Exponenten höchsten Grades bis zum niedrigsten auf. (Du musst nicht die Terme selbst aufschreiben, nur ihre Koeffizienten.)
- Achtung: Unter Umständen musst du die Terme mit einem Koeffizienten von Null aufschreiben. Schreibe zum Beispiel das Polynom zu um.
- Beispiel (forts.)
: Das Prüfen der Nullstellen oben hat uns gezeigt, dass das Polynom
die Nullstelle 1 hat.
Schreibe die Nullstelle 1, gefolgt von einer senkrechten Linie, gefolgt von den Koeffizienten des Polynoms:
-
Schreibe den ersten Koeffizienten nach unten. Kopiere den ersten Koeffizienten in die Lösungszeile. Lasse eine Leerzeile zwischen den beiden Zahlen für spätere Berechnungen.
- Beispiel (forts.)
: Schreibe die 2 nach unten in die Lösungszeile:
- Beispiel (forts.)
: Schreibe die 2 nach unten in die Lösungszeile:
-
Multipliziere diese Zahl mit der Nullstelle. Schreibe die Lösung direkt unter den nächsten Term, aber nicht in die Lösungszeile.
- Beispiel (forts.)
: Multipliziere 2 mit der Nullstelle, 1, und du erhältst wieder 2. Schreibe diese 2 in die folgenden Spalte, aber in die zweite Reihe und nicht in die Lösungszeile:
- Beispiel (forts.)
: Multipliziere 2 mit der Nullstelle, 1, und du erhältst wieder 2. Schreibe diese 2 in die folgenden Spalte, aber in die zweite Reihe und nicht in die Lösungszeile:
-
Addiere den Inhalt der zweiten Zeile und erhalte den nächsten Teil der Lösung. Die zweite Spalte von Koeffizienten enthält nun zwei Zahlen. Addiere sie und schreibe das Ergebnis in die Lösungszeile direkt unter sie.
- Beispiel (forts.)
: 1 + 2 = 3
- Beispiel (forts.)
: 1 + 2 = 3
-
Multipliziere das Ergebnis mit der Nullstelle. Wie du es vorhin gemacht hast, multiplizierst du die letzte Zahl in der Lösungszeile mit der Nullstelle. Schreibe die Lösung unter den nächsten Koeffizienten.
- Beispiel (forts.)
: 1 x 3 = 3:
- Beispiel (forts.)
: 1 x 3 = 3:
-
Finde die Summe der nächsten Spalte. Wie zuvor addierst du die beiden Zahlen in der Spalte und schreibst das Ergebnis in die Lösungszeile.
- Beispiel (forts.)
: -12 + 3 = -9:
- Beispiel (forts.)
: -12 + 3 = -9:
-
Wiederhole diesen Vorgang, bis du in der letzten Spalte ankommst. Die letzte Zahl in der Lösungszeile wird immer Null sein. Wenn du ein anderes Ergebnis erhältst, dann überprüfe deine Arbeit nach Fehlern.
- Beispiel (forts.)
: Multipliziere -9 mit der Nullstelle 1, schreibe die Lösung unter die letzte Spalte und überprüfe dann, ob die Summe in der letzten Spalte Null ist:
- Beispiel (forts.)
: Multipliziere -9 mit der Nullstelle 1, schreibe die Lösung unter die letzte Spalte und überprüfe dann, ob die Summe in der letzten Spalte Null ist:
-
Finde mithilfe der Lösungszeile einen weiteren Faktor. Jetzt hast du das Polynom durch den Term (x – c) dividiert, wobei c der Faktor ist. Die Lösungszeile nennt dir den Koeffizienten von jedem Term in deiner Lösung. Der Teil mit dem x hat in jedem Term einen Exponenten, der eins tiefer liegt als der ursprüngliche Term direkt darüber.
- Beispiel (forts.)
: Die Lösungszeile ist 2 3 -9 0, du kannst aber die Null am Ende ignorieren. Da der erste Term des ursprünglichen Polynoms ein
enthalten hat, ist der erste Term deiner Lösung einen Grad niedriger:
. Somit ist der erste Term
Wiederhole diesen Vorgang und erhalte die Lösung
.
Du hast jetzt zu faktorisiert.
- Beispiel (forts.)
: Die Lösungszeile ist 2 3 -9 0, du kannst aber die Null am Ende ignorieren. Da der erste Term des ursprünglichen Polynoms ein
enthalten hat, ist der erste Term deiner Lösung einen Grad niedriger:
. Somit ist der erste Term
Wiederhole diesen Vorgang und erhalte die Lösung
.
-
Wiederhole wenn notwendig. Du könntest deine Lösung mit dieser Methode der Polynomdivision in kleinere Teile faktorisieren. Vielleicht kannst du aber auch eine schnellere Methode anwenden, um die Aufgabe fertig zu stellen. Wenn du zum Beispiel einen quadratischen Ausdruck hast, kannst du ihn mit der Quadratformel in Faktoren zerlegen.
- Erinnere dich, um die Polynomdivision zu beginnen, musst du bereits eine Nullstelle kennen. Verwende die Prüfung der rationalen Nullstellen erneut, um diese zu erhalten. Wenn keine der Möglichkeiten für rationale Nullstellen ein richtiges Ergebnis abgibt, kann dieser Ausdruck nicht in Faktoren zerlegt werden.
- Beispiel (forts.)
Du hast die Faktoren
gefunden, der zweite Faktor kann aber weiter zerlegt werden. Versuche es mit der Quadratgleichung, gewöhnlichem Faktoriesieren
oder Polynomdivision.
Die endgültige Lösung ist , die Nullstellen des Polynoms sind also x = 1, x = -3 und x = 3/2 .
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Tipps
- Die Begriffe Nullstellen und Lösungen beziehen sich alle auf Werte von x, die f(x) = 0 machen. Sie können austauschbar verwendet werden.
- Kubische und quartische Formeln existieren, ähnlich der Quadratformel, sind aber weitaus komplizierter und werden außer von Computern nicht oft verwendet. Polynome 5. Grades und höher haben keine allgemeine Lösung unter Verwendung einfacher algebraischer Methoden, ein paar Beispiele können aber mit den oben genannten Herangehensweisen in Faktoren zerlegt werden.
- Die Vorzeichenregel von Descartes kann dir nicht die Lösung nennen, kann aber vorhersagen, wie viele eindeutige, reelle Lösungen es gibt. Befolge diese Schritte, um herauszufinden, ob du alle möglichen Lösungen gefunden hast: [7]
X
Forschungsquelle
- Ordne das Polynom vom Term höchsten Grades zu dem niedrigsten Grades:
- Ignoriere die Terme und schreibe nur ihre Vorzeichen (positiv oder negativ) auf
+--++ - Zähle die Anzahl der Male, an denen das Vorzeichen von + zu – oder umgekehrt gewechselt hat, von links nach rechts:
In der Reihe +--++ verändert es sich zweimal. - Die Anzahl der reellen Lösungen ist entweder
gleich diese Zahl oder gleich der Zahl minus 2 n
, wobei n eine ganze Zahl ist.
In diesem Beispiel könnte es 2 Lösungen geben oder 0.
In einer weiteren theoretischen Aufgabe, in der sich die Vorzeichen sieben Mal verändern, ist die Anzahl der Lösungen 7, 5, 3 oder 1.
- Ordne das Polynom vom Term höchsten Grades zu dem niedrigsten Grades:
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Warnungen
- Wenn du eine imaginäre Nullstelle erhältst (und an einer Aufgabe arbeitest, in der imaginäre Nullstellen von Bedeutung sind), dann vergiss nicht, dass eine Null bei dieser Zahl und ihrer konjugierten Zahl sein wird. Wenn (x-3i) eine Nullstelle ist, ist es (x+3i) ebenfalls.
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Referenzen
- ↑ http://www.regentsprep.org/regents/math/algtrig/ate13/highpolylesson.htm
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/algebra2/polynomial-functions/advanced-polynomial-factorization-methods/v/factoring-sum-of-cubes
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/algebra2/polynomial-functions/advanced-polynomial-factorization-methods/v/difference-of-cubes-factoring
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/specfact2.htm
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/algebra2/polynomial-functions/advanced-polynomial-factorization-methods/v/factoring-5th-degree-polynomial-to-find-real-zeros
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/rtnlroot.htm
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/drofsign.htm
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