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In der Geometrie ist ein Winkel der Raum zwischen zwei Strahlen (oder zwei Strecken), die denselben Endpunkt haben (auch Vertex oder Scheitelpunkt genannt). Winkel werden meistens in Grad gemessen, wobei ein ganzer Kreis 360 Grad entspricht. Du kannst das Winkelmaß in einem Polygon berechnen, wenn du die Form des Polygons kennst und die Größe der anderen Winkel oder wenn du, im Falle eines rechtwinkeligen Dreiecks, die Länge von zwei seiner Seiten kennst. Darüber hinaus kannst du Winkel mit einem Winkelmesser messen oder ohne Winkelmesser mit einem grafikfähigen Taschenrechner berechnen.
Vorgehensweise
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Zähle die Anzahl der Seiten. Um die Innenwinkel eines Polygons (Vielecks) zu berechnen, musst du zuerst feststellen, wie viele Seiten dieses Polygon hat. Beachte, dass ein Polygon gleich viele Seiten wie Winkel hat. [1] X Forschungsquelle
- Ein Dreieck hat zum Beispiel drei Seiten und drei Innenwinkel, während ein Quadrat vier Seiten und vier Innenwinkel hat.
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Finde die Winkelsumme aller Innenwinkel des Polygons. Die Formel für die Winkelsumme aller Innenwinkel eines Polygons ist: (n-2) x 180. Dabei steht n für die Anzahl der Seiten, die das Vieleck hat. Ein paar geläufige Winkelsummen von Polygonen sind: [2] X Forschungsquelle
- Die Winkel eine Dreiecks (eines dreiseitigen Polygons) messen zusammen 180 Grad.
- Die Winkel eines Vierecks (eines vierseitigen Polygons) messen zusammen 360 Grad.
- Die Winkel eines Fünfecks (eines fünfseitigen Polygons) messen zusammen 540 Grad.
- Die Winkel eines Sechsecks (eines sechsseitigen Polygons) messen zusammen 720 Grad.
- Die Winkel eines Achtecks (eines achtseitigen Polygons) messen zusammen 1080 Grad.
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Teile die Winkelsumme bei einem regelmäßigen Polygon durch die Anzahl der Winkel. Ein regelmäßiges Polygon ist ein Vieleck, dessen Seiten alle dieselbe Länge haben und dessen Winkel alle gleich groß sind. Die Winkel eines gleichseitigen Dreiecks messen zum Beispiel 180 ÷ 3 oder 60 Grad und das Winkelmaß jedes Winkels in einem Quadrat beträgt 360 ÷ 4 oder 90 Grad. [3] X Forschungsquelle
- Gleichseitige Dreiecke und Quadrate sind Beispiele für regelmäßige Polygone, während das Pentagon in Washington ein Beispiel für ein regelmäßiges Fünfeck (=Pentagon) ist und ein Stoppschild ein Beispiel für ein regelmäßiges Achteck.
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Subtrahiere bei einem unregelmäßigen Polygon die Summe der bekannten Winkel von der Winkelsumme. Wenn die Seiten des Polygons nicht gleich lang sind und die Winkel nicht dasselbe Maß haben, musst du alle bekannten Winkel in dem Polygon addieren. Dann subtrahierst du diese Zahl von dem Winkelmaß und findest so den fehlenden Winkel heraus. [4] X Forschungsquelle
- Wenn du zum Beispiel weißt, dass vier der Winkel in einem Fünfeck 80, 100, 120 und 140 Grad groß sind, addierst du die Zahlen und erhältst die Summe 440. Subtrahiere das dann von der Winkelsumme eines Fünfecks, die 540 Grad beträgt: 540 – 440 = 100 Grad. Der fehlende Winkel ist also 100 Grad groß.
Tipp: Bei manchen Vielecken bieten sich dir „Hilfestellungen“, um einen unbekannten Winkel zu messen. Ein gleichschenkeliges Dreieck ist ein Dreieck mit zwei Seiten mit gleicher Länge und zwei Winkeln mit gleichem Winkelmaß. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die jeweils entgegengesetzten Seiten die gleiche Länge haben und die diagonal gegenüber voneinander liegenden Winkel das gleiche Maß haben.
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Methode 2
Methode 2 von 2:
Die Winkel in einem rechtwinkeligen Dreieck herausfinden
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Erinnere dich, dass jedes rechtwinkelige Dreieck einen Winkel hat, der 90 Grad misst. Definitionsgemäß hat ein rechtwinkeliges Dreieck immer einen Winkel, der 90 Grad groß ist, auch wenn er nicht genau bestimmt ist. Du kennst also immer mindestens einen Winkel und kannst Trigonometrie einsetzen, um die anderen zwei Winkel zu finden. [5] X Forschungsquelle
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Miss die Länge zweier Seiten des Dreiecks. Die längste Seite eines Dreiecks bezeichnet man als „Hypotenuse“. Die „Ankathete“ ist die Seite neben dem Winkel, den du versuchst herauszufinden. [6] X Forschungsquelle Die „Gegenkathete“ liegt gegenüber von dem Winkel, den du versuchst zu messen. Miss zwei der Seiten, um das Maß der übrigen Winkel im Dreieck festzustellen.
Tipp: Du kannst einen grafikfähigen Taschenrechner verwenden, um die Gleichungen zu lösen oder du suchst im Internet eine Tabelle, in der die Werte für verschiedene Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktionen angegeben sind.
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Verwende die Sinusfunktion, wenn du die Länge der Gegenkathete und der Hypotenuse kennst. Setze die Werte in diese Gleichung ein: sin (x) = Gegenkathete ÷ Hypotenuse. Nehmen wir an, die Länge der Gegenkathete ist 5 und die Länge der Hypotenuse ist 10. Teile 5 durch 10, das entspricht 0,5. Jetzt weißt du, dass sin (x) = 0,5, was dasselbe ist wie x = sin -1 (0,5). [7] X Forschungsquelle
- Wenn du einen grafikfähigen Taschenrechner hast, gib einfach 0,5 ein und drücke auf sin -1 . Wenn du keinen grafikfähigen Taschenrechner hast, verwende eine Tabelle aus dem Internet, um den Wert zu finden. Auf beiden Wegen findest du heraus, dass x = 30 Grad ist.
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Verwende die Cosinusfunktion, wenn du die Länge der Ankathete und der Hypotenuse kennst. Für diese Art von Aufgabe verwendest du die Gleichung: cos (x) = Ankathete ÷ Hypotenuse. Wenn die Länge der Ankathete 1,666 und die Länge der Hypotenuse 2,0 ist, teile 1,666 durch 2, was 0,833 entspricht. Also ist cos (x) = 0,833 oder x = cos -1 (0,833). [8] X Forschungsquelle
- Gib 0,833 in deinen grafikfähigen Taschenrechner ein und drücke cos -1 . Anderenfalls kannst du den Wert in einer Cosinus-Tabelle nachschlagen. Die Lösung ist 33,6 Grad.
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Verwende die Tangensfunktion, wenn du die Länge der Gegenkathete und der Ankathete kennst. Die Gleichung für die Tangensfunktion lautet tan (x) = Gegenkathete ÷ Ankathete. Nehmen wir an, du weißt, dass die Länge der Gegenkathete 75 ist und die Länge der Ankathete 100. Teile 75 durch 100, was 0,75 ist. Das bedeutet, dass tan (x) 0,75 ist, was dasselbe ist wie x = tan -1 (0.75). [9] X Forschungsquelle
- Finde den Wert in einer Targens-Tabelle oder gib 0,75 in einen grafikfähigen Taschenrechner ein und drücke anschließend tan -1 . Das entspricht 36,9 Grad.
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Tipps
- Winkel erhalten abhängig davon, wie viel Grad sie haben, eine bestimmte Bezeichnung. Wie oben erwähnt, misst ein rechter Winkel 90 Grad. Ein Winkel, der mehr als 0, aber weniger als 90 Grad hat, ist ein spitzer Winkel. Ein Winkel, der mehr als 90, aber weniger als 180 Grad hat, ist ein stumpfer Winkel. Ein Winkel, der 180 Grad hat, ist ein gestreckter Winkel und ein Winkel, der mehr als 180 Grad hat, ist ein überstumpfer Winkel.
- Zwei Winkel, die zusammen 90 Grad ergeben, werden als Ergänzungs- oder Komplementärwinkel bezeichnet. Die zwei Winkel in einem rechtwinkeligen Dreieck zum Beispiel, die nicht der rechte Winkel sind, sind Komplementärwinkel. Zwei Winkel, die zusammen 180 Grad ergeben, werden als Ergänzungs- oder Supplementwinkel bezeichnet.
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Referenzen
- ↑ https://www.mathsisfun.com/geometry/interior-angles-polygons.html
- ↑ https://www.mathsisfun.com/geometry/interior-angles-polygons.html
- ↑ https://www.bbc.co.uk/bitesize/guides/zshb97h/revision/6
- ↑ https://www.mathopenref.com/polygoninteriorangles.html
- ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/trig-finding-angle-right-triangle.html
- ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/trig-finding-angle-right-triangle.html
- ↑ https://sciencing.com/angle-right-triangle-8159743.html
- ↑ https://sciencing.com/angle-right-triangle-8159743.html
- ↑ https://sciencing.com/angle-right-triangle-8159743.html
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