Cómo calcular derivadas

La derivada es un operador que encuentra la razón de cambio instantánea de una cantidad. Se pueden usar las derivadas para obtener características útiles sobre una función (por ejemplo, sus raíces y extremos). Si bien puede ser tedioso encontrar la derivada a partir de su definición, existen muchas técnicas que lo circunvalan y encuentran las derivadas con mayor facilidad.

Parte 1

Parte 1 de 2:

Aprender aspectos preliminares

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1
Comprende la definición de la derivada. Esto casi nunca se usará para obtener derivadas en realidad, pero de todos modos es fundamental comprender este concepto.
- Recuerda que la función lineal tiene la forma $y=mx+b$ . Si quieres encontrar la pendiente $m$ de esta función, se toman dos puntos en la línea y se ingresan sus coordenadas en la relación $m={\frac {y_{{2}}-y_{{1}}}{x_{{2}}-x_{{1}}}}$ . Por supuesto que esto puede usarse únicamente con gráficos lineales.
- En el caso de las funciones no lineales, la línea será curva y, por tanto, si obtienes la diferencia entre dos puntos, esto solo puede darte la razón de cambio promedio entre ellos. La línea que atraviese estos dos puntos se conoce como la línea secante con una pendiente $m={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$ , en donde $\Delta x=x_{{2}}-x_{{1}}$ es el cambio en $x$ , y hemos reemplazado $y$ por $f(x)$ . Esta es la misma ecuación que la del punto anterior.
  
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- El concepto de las derivadas entra en juego cuando tomamos el límite $\Delta x\to 0$ . Cuando esto ocurre, la distancia entre ambos puntos disminuye y la línea secante aproxima mejor la razón de cambio de la función. Cuando sí llevamos el límite a 0, terminamos con la razón instantánea de cambio y obtenemos la pendiente de la línea tangente a la curva (observa la animación anterior). ^{[1]
  X
  Fuente de investigación} Luego, obtenemos la definición de la derivada, en donde el símbolo de prima denota la derivada de la función $f$ .
  - $f^{{\prime }}(x)=\lim _{{\Delta x\to 0}}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$
- Encontrar la derivada a partir de esta definición surge de expandir el numerador, cancelar y luego evaluar el límite, ya que, al evaluar el límite de inmediato, se obtiene un 0 en el denominador.
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2
Comprende la notación derivativa. Son dos las notaciones comunes para las derivadas, aunque también hay otras.
- Notación de Lagrange. En el paso anterior, empleamos esta notación para denotar la derivada de una función $f(x)$ añadiendo un símbolo de prima.
  - $f^{{\prime }}(x)$
  - Esta notación se pronuncia " $f$ prima de $x$ ". Si quieres formar derivadas de un mayor orden, tan solo debes añadir otro símbolo de prima. Cuando se toman derivadas de cuarto orden o un orden más alto, la notación se convierte en $f^{{(4)}}(x)$ , lo cual representa la cuarta derivada.
- Notación de Leibniz. Esta es la otra notación de uso común, y la emplearemos en el resto del artículo.
  - ${\frac {{\mathrm {d}}f}{{\mathrm {d}}x}}$
  - (Para obtener expresiones más cortas, la función puede colocarse en el numerador). Esta notación quiere decir literalmente "la derivada de $f$ con respecto a $x$ ". Quizás te sea de ayuda considerarlo como ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ para los valores de $x$ e $y$ que son infinitesimalmente diferentes unos de otros. Al emplear esta notación para las derivadas de mayor orden, debes escribir ${\frac {{\mathrm {d}}^{{2}}f}{{\mathrm {d}}x^{{2}}}}$ , lo cual representa la segunda derivada.
  - (Observa que "debe" haber paréntesis en el denominador, pero nadie los escribe nunca debido a que todos entienden lo que se quiere decir sin ellos).
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Parte 2

Parte 2 de 2:

Aprender técnicas básicas

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Emplear la definición

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1
Reemplaza $(x+\Delta x)$ en la función. Para este ejemplo, definiremos $f(x)=2x^{{2}}+6x$ .
- ${\begin{aligned}f(x+\Delta x)&=2(x+\Delta x)^{{2}}+6(x+\Delta x)\\&=2(x^{{2}}+2x\Delta x+(\Delta x)^{{2}})+6x+6\Delta x\\&=2x^{{2}}+4x\Delta x+2(\Delta x)^{{2}}+6x+6\Delta x.\end{aligned}}$
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2
Reemplaza la función en el límite. Luego, evalúa el límite.
- ${\begin{aligned}{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}x}}f(x)&=\lim _{{\Delta x\to 0}}{\frac {(2x^{{2}}+4x\Delta x+2(\Delta x)^{{2}}+6x+6\Delta x)-(2x^{{2}}+6x)}{\Delta x}}\\&=\lim _{{\Delta x\to 0}}{\frac {4x\Delta x+2(\Delta x)^{2}+6\Delta x}{\Delta x}}\\&=\lim _{{\Delta x\to 0}}{\frac {\Delta x(4x+2\Delta x+6)}{\Delta x}}\\&=\lim _{{\Delta x\to 0}}4x+2\Delta x+6\\&=4x+6.\end{aligned}}$
- Esto es mucho trabajo para una función tan simple. Observaremos que hay bastantes reglas derivativas como para apresurarte en este tipo de evaluación.
- Es posible encontrar la pendiente en cualquier parte de la función $f(x)=2x^{2}+6x$ . Tan solo reemplaza cualquier valor de x en la derivada ${\frac {{\mathrm {d}}f(x)}{{\mathrm {d}}x}}=4x+6$ .
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La regla de la potencia

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1
Emplea la regla de la potencia ^{[2]

X
Fuente de investigación} cuando $f(x)$ sea una función polinómica de grado n. Multiplica el exponente por el coeficiente y réstale 1 a la potencia.
- La fórmula es ${\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}x}}(x^{{n}})=nx^{{n-1}}$ .
- El método intuitivo parece aplicar únicamente para los exponentes de números naturales, pero puede generalizarse para todos los números reales; es decir, $n\in {\mathbb R}$ .
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2
Emplea el ejemplo anterior. $f(x)=2x^{{2}}+6x$ . No olvides que $x=x^{{1}}$ .
- ${\begin{aligned}f(x)&=2x^{2}+6x\\{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}x}}f(x)&=(2)2x^{{2-1}}+(1)6x^{{1-1}}\\&=4x+6.\end{aligned}}$
- Se ha empleado la propiedad de que la derivada de una suma es la suma de las derivadas (técnicamente, el motivo por el cual se puede hacer es porque la derivada es un operador lineal). Obviamente, la regla de la potencia facilita mucho más encontrar derivadas de polinomios.
- Antes de continuar, es importante mencionar que la derivada de una constante es 0, ya que la derivada mide la razón de cambio y no existe tal cosa en una constante.
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Derivadas de un orden mayor

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Obtener una derivada de mayor orden de una función simplemente quiere decir que obtienes la derivada de la derivada (para obtener la segunda derivada). Por ejemplo, en caso de que se te pida obtener la tercera derivada, tan solo diferencia la función tres veces. ^{[3]
X
Fuente de investigación} En el caso de las funciones polinómicas de grado $n$ , la derivada de orden $n+1$ será 0.
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2
Obtén la tercera derivada del ejemplo anterior $f(x)=2x^{{2}}+6x$ .
- ${\begin{aligned}{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}x}}f(x)&=4x+6\\{\frac {{\mathrm {d}}^{{2}}}{{\mathrm {d}}x^{{2}}}}f(x)&=4\\{\frac {{\mathrm {d}}^{{3}}}{{\mathrm {d}}x^{{3}}}}f(x)&=0\end{aligned}}$
- En la mayor parte de las aplicaciones de derivadas, sobre todo en la física y la ingeniería, diferenciarás como mucho dos o quizás tres veces.
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Las reglas del producto y el cociente

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1
Busca en línea para obtener una explicación completa de la regla del producto. En general, la derivada de un producto no equivale al producto de las derivadas, sino que cada función "se turna" para diferenciar.
- ${\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}x}}(fg)={\frac {{\mathrm {d}}f}{{\mathrm {d}}x}}g+f{\frac {{\mathrm {d}}g}{{\mathrm {d}}x}}$
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2
Emplea la regla del cociente para obtener derivadas de funciones racionales. Como ocurre con los productos en general, la derivada de un cociente no equivale al cociente de las derivadas.
- ${\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}x}}\left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g{\frac {{\mathrm {d}}f}{{\mathrm {d}}x}}-f{\frac {{\mathrm {d}}g}{{\mathrm {d}}x}}}{g^{{2}}}}$
- Una mnemotécnica útil para el numerador de la derivada es "abajo D arriba, arriba D abajo", ya que el signo negativo quiere decir que el orden importa.
- Por ejemplo, considera la función $f(x)={\frac {x^{2}+2x-21}{x-3}}$ . Haz que $g(x)=x^{2}+2x-21$ y $h(x)=x-3$ . Luego, emplea la regla del cociente.
  - ${\begin{aligned}{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}x}}\left({\frac {g}{h}}\right)&={\frac {(x-3)(2x+2)-(x^{{2}}+2x-21)(1)}{(x-3)^{{2}}}}\\&={\frac {x^{{2}}-6x+15}{(x-3)^{{2}}}}\end{aligned}}$
- Ten cuidado de que tu álgebra sea buena. Las derivadas como estas que tienen cocientes pueden tornarse engorrosas con rapidez en cuanto al álgebra involucrada, lo que significa que debes sentirte cómodo con factorizar las constantes y estar pendiente de los signos negativos.
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La regla de la cadena

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1
Emplea la regla de la cadena ^{[4]

X
Fuente de investigación} para las funciones que estén una dentro de otra. Por ejemplo, considera el escenario en el que $z(y)$ es una función diferenciable de $y$ e $y(x)$ es una función diferenciable de $x$ . Luego, tienes la función compuesta $z(y(x))$ o $z$ como una función de $x$ , de la cual se puede obtener la derivada.
- ${\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}x}}z(y(x))={\frac {{\mathrm {d}}z}{{\mathrm {d}}y}}{\frac {{\mathrm {d}}y}{{\mathrm {d}}x}}$
- Como ocurre con la regla del producto, esto funciona con cualquier cantidad de funciones; de ahí la regla "de la cadena". Una forma fácil de ver cómo funciona es si imaginas una ${\frac {{\mathrm {d}}y}{{\mathrm {d}}y}}$ introducida dentro de ${\frac {{\mathrm {d}}z}{{\mathrm {d}}x}}$ .
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2
Considera la función $f(x)=(2x^{{4}}-x)^{3}$ . Observa que esta función puede dividirse en dos funciones elementales, $g(x)=2x^{{4}}-x$ y $h(g)=g^{{3}}$ . Luego, queremos encontrar la derivada de la composición $f(x)=h(g(x))$ .
- Emplea la regla de la cadena ${\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}x}}h(g(x))={\frac {{\mathrm {d}}h}{{\mathrm {d}}g}}{\frac {{\mathrm {d}}g}{{\mathrm {d}}x}}$ . Ahora, hemos escrito la derivada en términos de derivadas que son más fáciles de obtener. Luego:
- ${\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}x}}h(g(x))=3(2x^{4}-x)^{2}(8x^{3}-1)$ .
- Con la práctica, te darás cuenta de que aplicar la regla de la cadena es más fácil si "pelas la cebolla". La primera capa es todo lo que está dentro de los paréntesis al cubo. La segunda capa es la función entre paréntesis. Al trabajar con funciones más complejas, pensarlo de esta forma te sirve para mantenerte encaminado y no perderte en qué funciones se obtienen con respecto a cuáles variables, etc.
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Otras derivadas importantes

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Consulta este artículo para obtener una explicación completa de la diferenciación implícita. Es indispensable comprender la regla de la cadena para diferenciar implícitamente.
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2
Consulta este artículo para obtener una explicación completa de la diferenciación de funciones exponenciales.
- ${\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}x}}e^{{x}}=e^{{x}}$
- ${\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}x}}a^{{x}}=a^{{x}}\ln a$
- ${\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}x}}\ln x={\frac {1}{x}}$
- ${\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}x}}\log _{{a}}x={\frac {1}{x\ln a}}$
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3
Memoriza derivadas trigonométricas básicas y cómo derivarlas.
- ${\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}x}}\sin x=\cos x$
- ${\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}x}}\cos x=-\sin x$
- ${\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}x}}\tan x=\sec ^{{2}}x$
- ${\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}x}}\cot x=-\csc ^{{2}}x$
- ${\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}x}}\sec x=\sec x\tan x$
- ${\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}x}}\csc x=-\csc x\cot x$
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Consejos

Todas las técnicas que se explican en este artículo para calcular derivadas pueden verificarse usando adecuadamente la definición de la derivada. Por ejemplo, en caso de que la regla de la potencia te parezca sospechosa, puedes tratar de recuperar la fórmula usando la definición.
Conoce bien tu calculadora. Prueba distintas funciones para aprender su uso. Es de particular utilidad que sepas usar las funciones de derivadas de tu calculadora, en caso de que las tenga.
Practica la regla del producto, la regla de la cadena y, sobre todo, la diferenciación implícita, ya que son más difíciles de diferenciar y se emplean ampliamente fuera de las matemáticas.
Ahora es el momento de empezar a tomar nota de cada paso de tus cálculos en caso de que de por sí no hayas estado haciéndolo. Esto, además de ser obligatorio en algunos exámenes, te será de gran ayuda para resolver la confusión. Con solo omitir un signo negativo o cometer un error (los cual es fácil con las funciones más complejas), obtendrás la respuesta incorrecta. Asimismo, si no sabes en dónde te equivocaste, te será más fácil retroceder tus pasos.

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Advertencias

Algunos estudiantes sentirán la tentación de obtener derivadas empleando programas en sus calculadoras. Estos son muy útiles para confirmar tus respuestas, pero no debes depender de ellos. Ten cuidado de comprender los conceptos de las derivadas y de poder hacerlo por tu cuenta.

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