Cómo calcular factoriales

Coescrito por Jake Adams

Los factoriales se utilizan generalmente para calcular probabilidades y permutaciones, o incluso posibles órdenes de eventos. ^{[1]
X
Fuente de investigación} La forma de denotar un factorial es mediante el signo $!$ , el cual significa multiplicar todos los números que descienden del número factorial. Una vez que comprendas qué es un factorial, te será sencillo calcularlo, sobre todo si utilizas una calculadora científica.

Método 1

Método 1 de 3:

Calcular un factorial

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1
Determina el número para el que calcularás el factorial. Un factorial se denota con un número entero positivo y un signo de exclamación.
- Por ejemplo, si necesitas calcular el factorial de 5, verás $5!$
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2
Escribe la secuencia de números que multiplicarás. Un factorial simplemente consiste en multiplicar los números naturales que descienden secuencialmente del número factorial hasta llegar a 1. ^{[2]
X
Fuente de investigación} En términos de fórmulas, $n!=n(n-1)\cdot \cdot \cdot 2\cdot 1$ , donde $n$ equivale a cualquier número entero positivo. ^{[3]
X
Fuente de investigación}
- Por ejemplo, si quieres calcular $5!$ , deberías hacerlo así $5(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)$ o denotarlo de forma más sencilla como: $5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$ .
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3
Multiplica los números. Para calcular un factorial rápidamente, utiliza una calculadora científica, la cual debe tener un signo $x!$ Para hacer las cosas más sencillas si quieres hacer el cálculo a mano, comienza buscando pares de factores que se multipliquen y den como resultado 10. ^{[4]
X
Fuente de investigación} Desde luego, también puedes omitir el 1, ya que cualquier número multiplicado por 1 es igual a ese mismo número.
- Por ejemplo, si quieres calcular $5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$ , omite el 1 y calcula primero $5\cdot 2=10$ . Ahora lo único que queda es $4\cdot 3=12$ . Como $10\cdot 12=120$ , sabes que $5!=120$ .
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Método 2

Método 2 de 3:

Simplificar un factorial

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1
Determina la expresión que quieres simplificar. Por lo general, esta se expresará como una fracción.
- Por ejemplo, probablemente necesites simplificar ${\frac {7!}{5!\cdot 4!}}$ .
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2
Escribe los factores de cada factorial. Como el factorial $n!$ es un factor de cualquier factorial más grande que él, necesitarás buscar factores que puedas cancelar. ^{[5]
X
Fuente de investigación} Esto será fácil de hacer si escribes cada término. ^{[6]
X
Fuente de investigación}
- Por ejemplo, si quieres simplificar ${\frac {7!}{5!\cdot 4!}}$ , escríbelo como ${\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}{(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5)\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)}}$
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3
Cancela los términos comunes para el numerados y denominador. ^{[7]
X
Fuente de investigación} Esto simplificará los números restantes que necesitas multiplicar.
- Por ejemplo, como $5!$ es un factor de $7!$ , puedes cancelar $5!$ en el numerador y denominador:
  ${\frac {{\cancel {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}}\cdot 6\cdot 7}{({\cancel {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}})\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)}}={\frac {6\cdot 7}{(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)}}$
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4
Completa los cálculos. Simplifícalos si es posible. De esta manera, obtendrás la expresión final simplificada.
- Por ejemplo:
  ${\frac {6\cdot 7}{(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)}}$
  $={\frac {42}{24}}$
  $={\frac {7}{4}}$
  Por consiguiente, ${\frac {7!}{5!\cdot 4!}}$ simplificado es ${\frac {7}{4}}$ .
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Método 3

Método 3 de 3:

Solucionar problemas factoriales de muestra

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1
Evalúa la expresión 8!
- Si utilizas una calculadora científica, pulsa la tecla $8$ , y luego la tecla $x!$
- Si quieres hacer el cálculo a mano, escribe los factores que se multiplicarán:
  $8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$
- Omite el 1:
  $8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2{\cancel {\cdot 1}}$
- Extrae el $5\cdot 2$ :
  $(5\cdot 2)8\cdot 7\cdot 6\cdot 4\cdot 3$
  $=(10)8\cdot 7\cdot 6\cdot 4\cdot 3$
- En primer lugar, agrupa cualquier otro número que se multiplique con facilidad, y luego multiplica todos los productos:
  $(10)(4\cdot 3)(7\cdot 6)(8)$
  $=(10)(12)(42)(8)$
  $=(120)(336)$
  $=40320$
  So, $8!=40,320$ .
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2
Simplifica la expresión: ${\frac {12!}{6!3!}}$ .
- Anota los factores de cada factorial:
  ${\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12}{(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6)(1\cdot 2\cdot 3)}}$
- Cancela los términos comunes en el numerados y denominador:
  ${\frac {{\cancel {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot }}7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12}{({\cancel {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}})(1\cdot 2\cdot 3)}}={\frac {7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12}{1\cdot 2\cdot 3}}$
- Termina los cálculos:
  ${\frac {7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12}{1\cdot 2\cdot 3}}$
  $={\frac {665,280}{6}}$
  $=110,880$
  Por consiguiente, la expresión ${\frac {12!}{6!3!}}$ se simplifica a $110,880$ .
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3
Resuelve un problema. Tienes 6 pinturas que te gustaría exhibir en secuencia en la pared. ¿Cuántas formas distintas hay de ordenarlas?
- Como buscas diferentes formas de ordenar objetos, para determinarlo, simplemente puedes hallar el factorial para la cantidad de objetos.
- Puedes hallar el número de posibles disposiciones para las 6 pinturas colgadas en secuencia calculando $6!$
- Si utilizas una calculadora científica, pulsa la tecla $6$ , seguida de la tecla $x!$
- Si haces el cálculo a mano, anota los factores que multiplicarás:
  $6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$
- Omite el 1:
  $6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2{\cancel {\cdot 1}}$
- Extrae el $5\cdot 2$ :
  $(5\cdot 2)6\cdot 4\cdot 3$
  $=(10)6\cdot 4\cdot 3$
- En primer lugar, agrupa cualquier otro número que se multiplique con facilidad, y luego multiplica todos los productos:
  $(10)(4\cdot 3)(6)$
  $=(10)(12)(6)$
  $=(120)(6)$
  $=720$
  Por consiguiente, las 6 pinturas colgadas en secuencia pueden ordenarse de 720 formas distintas.
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4
Resuelve otro problema. Tienes 6 pinturas y te gustaría exhibir 3 de ellas en secuencia en la pared. ¿Cuántas formas distintas hay de ordenarlas?
- Como tienes 6 pinturas distintas, pero solo quieres exhibir 3 de ellas, lo único que necesitarás es multiplicar los 3 primeros números en la secuencia para el factorial de 6. También puedes utilizar la fórmula ${\frac {n!}{(n-r)!}}$ , donde $n$ equivale a la cantidad de objetos totales que hay y $r$ , al número de objetos que utilizarás. Esta fórmula solo funciona si no hay repeticiones (un objeto no puede ser elegido más de una vez). Asimismo, el orden sí importa (es decir, debes determinar cuántas formas distintas hay de ordenar las 3 pinturas). ^{[8]
  X
  Fuente de investigación}
- Para hallar, la cantidad de posibles disposiciones para las 3 pinturas elegidas de las 6 existentes y colgadas en una fila, calcula ${\frac {6!}{(6-3)!}}$ .
- Resta los números en el denominador:
  ${\frac {6!}{(6-3)!}}$
  $={\frac {6!}{3!}}$
- Anota los factores de cada factorial:
  ${\frac {6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1}}$
- Cancela los términos comunes en el numerador y denominador:
  ${\frac {6\cdot 5\cdot 4\cdot {\cancel {3\cdot 2\cdot 1}}}{\cancel {3\cdot 2\cdot 1}}}$
- Termina los cálculos: $6\cdot 5\cdot 4=120$
  Por consiguiente, las 3 pinturas elegidas de las 6 totales pueden ordenarse en 120 formas diferentes si se las cuelga en fila.
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Consejos

1! =1, por todas las definiciones.
Los factoriales se utilizan para resolver problemas de combinaciones, así que practica esta habilidad.
No olvides verificar tu respuesta.
Si bien puede parecer un poco contradictorio, puedes suponer que 0! = 1, a menos que se indique lo contrario.

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Pasos

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