Cómo calcular la aceleración angular

Coescrito por Joseph Meyer

La mayoría de las personas comprenden los conceptos básicos de velocidad y aceleración. La velocidad mide qué tan rápido se mueve un objeto hacia una dirección y la aceleración mide qué tan rápido cambia la velocidad de ese objeto (ya sea para aumentar o disminuir). Cuando un objeto se mueve en círculo, por ejemplo, una rueda que gira o un CD que rota en una lectora, la velocidad y la aceleración se miden a través del ángulo de rotación. Esto es lo que se conoce como velocidad y aceleración angular. Si conoces la velocidad de un objeto a lo largo de un período, puedes calcular su aceleración angular promedio. Además, a través de una función se puede calcular la posición del objeto. Con esta información, puedes calcular la aceleración angular en cualquier instante dado.

Método 1

Método 1 de 3:

Calcular la aceleración angular instantánea

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1
Determina la posición de la función angular. En algunos casos, te proporcionarán una función o una fórmula que predice o asigna la posición de un objeto respecto del tiempo. En otros casos, debes obtener la función a partir de experimentos u observaciones repetidas. En este artículo se supondrá que te han proporcionado la función o que la calculaste previamente. ^{[1]
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Fuente de investigación}
- Observa el ejemplo ilustrado de aquí arriba. A través de estudios y demostraciones matemáticas, se ha llegado a la siguiente función: $\theta (t)=2t^{3}$ , donde $\theta (t)$ es la medida angular de la posición de la rotación en un momento dado y $\theta (t)$ representa al tiempo.
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Busca la función de la velocidad angular. La velocidad mide qué tan rápido cambia un objeto su posición. Eso es la velocidad en términos simples. En términos matemáticos, el cambio de posición a lo largo del tiempo se obtiene derivando la función de posición. El símbolo de la velocidad angular es $\omega$ . La velocidad angular generalmente se mide en unidades de radianes, divididas por tiempo (radianes por minuto, radianes por segundo, etc.). ^{[2]
X
Fuente de investigación}
- En este ejemplo, primero debes calcular la derivada de la función de posición $\theta (t)=2t^{3}$ :
  - $\omega (t)={\frac {d\theta }{dt}}=6t^{2}$
- Si lo deseas, puedes usar esta función para calcular la velocidad angular del objeto giratorio en un momento dado $t$ . Para este cálculo en particular, la función de velocidad angular es simplemente un paso intermedio para poder encontrar la aceleración angular.
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3
Encuentra la función de la aceleración angular. La aceleración mide qué tan rápido cambia la velocidad de un objeto a lo largo del tiempo. Puedes calcular matemáticamente la aceleración angular encontrando la derivada de la función de velocidad angular. La aceleración angular generalmente se simboliza con la letra griega alfa, $\alpha$ . La aceleración angular se expresa en unidades de velocidad por tiempo, generalmente radianes por tiempo al cuadrado (radianes por segundo al cuadrado, radianes por minuto al cuadrado, etc.). ^{[3]
X
Fuente de investigación}
- En el paso anterior usaste la función de posición para encontrar la velocidad angular $\omega (t)=6t^{2}$ . Ahora tienes que encontrar función la aceleración angular como la derivada de $\omega$ :
  - $\alpha ={\frac {d\omega }{dt}}=12t$ .
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4
Aplica los datos para encontrar la aceleración instantánea. Una vez que hayas derivado la función de aceleración instantánea como derivada de la velocidad, que a su vez es la derivada de la posición, ya estarás listo para calcular la aceleración angular instantánea del objeto en un momento dado. ^{[4]
X
Fuente de investigación}
- Para resolver el problema de ejemplo de la ilustración, supón que sabes que la función de posición del objeto giratorio es $\theta (t)=2t^{3}$ y que te piden la aceleración angular del objeto después de haber girado durante 6,5 segundos. Utiliza la fórmula derivada para $\alpha$ e inserta la información como se muestra a continuación:
  - $\alpha ={\frac {d\omega }{dt}}=12t$
  - $\alpha =(12)(6,5)$
  - $\alpha =78,0$
- Debes expresar el resultado en unidades de radianes por segundo al cuadrado. Por lo tanto, la aceleración angular de este objeto giratorio después de haber girado durante 6,5 segundos es de 78,0 radianes por segundo al cuadrado.
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Método 2

Método 2 de 3:

Calcular la aceleración angular promedio

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1
Mide la velocidad angular inicial. El primer método para calcular la aceleración angular ( $\alpha$ ) es dividir el cambio en la velocidad angular ( $\omega$ ) en algún período de tiempo, por el tiempo que vas a medir. Esta fórmula se puede escribir de la siguiente manera: ^{[5]
X
Fuente de investigación}
- $\alpha ={\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}={\frac {{\text{velocidad final-velocidad inicial}}}{{\text{tiempo transcurrido}}}}$
- Imagina un disco compacto al momento de colocarlo en el reproductor de CD. Su velocidad inicial es cero.
- Para tener otro ejemplo, imagina que después de hacer algunas mediciones de prueba sabes que las ruedas de una montaña rusa giran a una velocidad de 400 revoluciones por segundo, lo que equivale a 2513 radianes por segundo. Si quieres medir la aceleración negativa en una distancia de frenado, puedes usar este número como la velocidad inicial.
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2
Mide la velocidad angular final. El segundo dato que necesitas, es la velocidad angular que tiene objeto que gira o rota al final del período de tiempo que vas a medir. Esto es lo que se conoce como velocidad "final". ^{[6]
X
Fuente de investigación}
- Un disco compacto se reproduce en un dispositivo rotando a una velocidad angular de 160 radianes por segundo.
- La montaña rusa, después de usar sus frenos en las ruedas que giran, alcanza finalmente una velocidad angular de cero al detenerse. Esta es su velocidad angular final.
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3
Mide el tiempo transcurrido. Para calcular la velocidad angular promedio del objeto que gira o rota, es necesario saber cuánto tiempo transcurrió durante tu observación. Puedes hallarlo por observación directa y medición o por los datos que te proporcionan en un problema dado. ^{[7]
X
Fuente de investigación}
- El manual del fabricante del reproductor de CD indica como dato que el CD alcanza su velocidad de reproducción en 4,0 segundos.
- A partir de la observación de la montaña rusa donde se hicieron las pruebas, se determinó que las ruedas se detienen por completo 2,2 segundos después del momento en el que se aplican inicialmente los frenos.
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4
Calcula la aceleración angular promedio. Si conoces la velocidad angular inicial, la velocidad angular final y el tiempo transcurrido, completa esos datos en la ecuación y calcula la aceleración angular promedio: ^{[8]
X
Fuente de investigación}
- Para el ejemplo del reproductor de CD, los cálculos son los siguientes:
  - $\alpha ={\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}={\frac {{\text{velocidad final-velocidad inicial}}}{{\text{tiempo transcurrido}}}}$
  - $\alpha ={\frac {160-0}{4,0}}$
  - $\alpha ={\frac {160}{4,0}}$
  - $\alpha =40$ radianes por segundo al cuadrado
- Para el ejemplo de la montaña rusa, los cálculos son los siguientes:
  - $\alpha ={\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}={\frac {{\text{velocidad final-velocidad inicial}}}{{\text{tiempo transcurrido}}}}$
  - $\alpha ={\frac {0-2513}{2,2}}$
  - $\alpha ={\frac {-2513}{2,2}}$
  - $\alpha =-1142,3$ radianes por segundo al cuadrado
- Ten en cuenta que la aceleración siempre se expresa en unidades de alguna medida de distancia "por" tiempo al cuadrado. Con la aceleración angular la distancia generalmente se mide en radianes, aunque puedes convertirlos en cantidad de rotaciones si lo deseas.
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Método 3

Método 3 de 3:

Revisar la aceleración angular

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Cuando las personas piensan en la velocidad de un objeto, a menudo lo asocian a un movimiento lineal, es decir, un objeto que viaja la mayor parte del tiempo en línea recta. Este podría ser el caso de un automóvil, un avión, una pelota que se arroja o muchos objetos más. Sin embargo, el movimiento angular describe a un objeto que gira o rota. Imagina la Tierra girando sobre su propio eje. La posición o velocidad de la Tierra se puede medir en magnitudes angulares. Un disco compacto que gira (o un tocadiscos, si tienes edad suficiente como para haber visto uno), electrones en sus ejes, o las ruedas de un automóvil en sus ejes, son todos ejemplos de objetos que rotan y se pueden medir a través del movimiento angular. ^{[9]
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Fuente de investigación}
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2
Visualiza la posición angular. Cuando mides la posición de un vehículo en movimiento, por ejemplo, puedes medir la distancia viajada en línea recta desde el punto inicial. Con un objeto que gira, la medición generalmente debe hacerse en términos de un ángulo alrededor de un círculo. Por convención el punto inicial o "cero" generalmente es un radio horizontal que se extiende desde el centro del círculo hasta el lado derecho. La distancia recorrida se mide a través del tamaño del ángulo $\theta$ , que se calcula desde ese radio horizontal. ^{[10]
X
Fuente de investigación}
- El ángulo que se mide, normalmente se representa con el símbolo $\theta$ , que es la letra griega theta.
- El movimiento positivo se mide en dirección de las agujas del reloj. El movimiento negativo se mide en la misma dirección que las agujas del reloj.
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3
Mide el movimiento angular en radianes. El desplazamiento lineal generalmente se mide con alguna unidad de distancia, como metros, centímetros o pulgadas o cualquier otra unidad de longitud. El movimiento rotacional o angular generalmente se mide en una unidad llamada radianes. Un radián es una fracción del círculo. Como referencia estandarizada, los matemáticos usan algo llamado "circunferencia goniométrica", que tiene un radio estándar de 1 unidad. ^{[11]
X
Fuente de investigación}
- Se sabe que una rotación completa alrededor de la circunferencia goniométrica mide 2π radianes. En consecuencia, media circunferencia mide π radianes y un cuarto de circunferencia, π/2 radianes.
- A veces, es útil convertir radianes a grados. Como ya sabes, un círculo completo mide 360 grados. Con esa referencia puedes hacer la conversión de la siguiente manera:
  - $360\ {\text{grados}}=2\pi \ {\text{radianes}}$
  - ${\frac {360}{2\pi }}\ {\text{grados}}=1\ {\text{radian}}$
  - $57,3\ {\text{grados}}=1\ {\text{radian}}$
- Por lo tanto, un radián mide aproximadamente 57,3 grados.
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4
Comprende el concepto de aceleración angular. La aceleración angular mide qué tan rápido (o lento) cambia su velocidad un objeto giratorio. En otras palabras, ¿la velocidad de giro aumenta o disminuye? Si conoces la velocidad angular en un momento inicial y en otro momento posterior, puedes calcular la aceleración angular promedio para ese intervalo de tiempo. Si conoces la función de posición de ese objeto, puedes usar operaciones de cálculo para derivar la aceleración angular en cualquier momento dado. ^{[12]
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Fuente de investigación}
- Las personas a menudo utilizan la palabra "aceleración" para describir un aumento de velocidad y "desaceleración" para describir una reducción de velocidad. Sin embargo, en términos físicos y matemáticos, solo es correcto el término "aceleración". Si el objeto aumenta su velocidad, la aceleración es positiva. Si el objeto reduce su velocidad, la aceleración es negativa.
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Consejos

Recuerda usar las unidades correctas para expresar el resultado final. La posición angular generalmente se expresa en radianes. La velocidad angular se expresa en radianes por tiempo. La aceleración angular se expresa en unidades de radianes por tiempo al cuadrado.

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Pasos

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