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Las transformadas de Fourier pueden captarse fácilmente si se siguen ciertos pasos con un ritmo cuidadosamente organizado. Las transformadas de Fourier son la base de muchas partes de la civilización moderna. Estas incluyen la comunicación móvil y la fotografía digital, los láseres y la óptica. La transformada de Fourier se ha ramificado en otras herramientas, como las transformadas discretas de Fourier, las ondículas (conocidas por usarse en archivos JPeg y MPeg), el reconocimiento de patrones, las finanzas, los escaneos médicos y otros numerosos usos.
Pasos
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1Aprende lo que es una función periódica. Una función periódica repite su forma en un intervalo conocido de tiempo. Esto es, f ( t ) = f ( t + n T ) , donde n es cualquier número entero.
- Estos intervalos se llaman periodos. En la relación anterior, T es el periodo.
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2Aprende la idea básica de la transformada de Fourier en su propio idioma.
- Cualquier función periódica puede descomponerse, puede escribirse en términos de cierto número de funciones sinusoides básicas con periodos simples.
- Cada función sinusoide tiene la frecuencia de un número entero que es un múltiplo de la frecuencia básica.
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3La ecuación anterior dice que cualquier función periódica puede escribirse o expandirse como la suma total de:
- Un valor constante, 1/2 a 0 , también llamado el valor DC, y un número de funciones sinusoides. Dependiendo de la función original, parte de la expansión puede ser cero.
- ω 0 es la frecuencia circular básica que puede calcularse fácilmente a partir del periodo básico T .
- Solo queda calcular a 0 y una fórmula que cree el conjunto a n y el conjunto b n . Haces esto usando la propiedad de ortogonalidad de las funciones sinusoides.
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4Aprende el significado de las funciones "ortogonales". Las funciones ortogonales son perpendiculares una a otra. Esto significa que, si tomas dos funciones cualquiera, digamos f ( t ) y g ( t ) , de un conjunto de ellas, entonces:
- Las funciones sinusoides son un grupo similar de funciones ortogonales.
- Compara esto con la noción básica de vectores perpendiculares, donde el producto escalar es igual a cero. El producto escalar es la suma de los productos de componentes por pares de dos vectores. Aquí, en lugar de la suma, debe calcularse una integral.
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5Conoce la diferencia entre un "vector" y un "fasor".
- Un vector lleva un punto en una línea recta a algún otro punto.
- Un fasor gira un vector alrededor de un punto con una determinada frecuencia circular ω . Un fasor es un vector giratorio.
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6Observa que, cuando un vector de longitud fija está girando alrededor de un punto, su proyección, su sombra sobre el eje verdadero, cambia gradualmente de un valor máximo a cero y luego a un número negativo máximo y nuevamente de regreso a cero y nuevamente a un valor positivo máximo.
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7La longitud de la proyección del vector giratorio, sombreada en el eje imaginario, cambia de una forma sinusoide.
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8Concluye que una sinusoide puede escribirse como un fasor y, de esta forma, es más fácil manejar una serie de Fourier. Compara esto con la forma sinusoide. Todas las preocupaciones sobre a 0 , a n y b n se han eliminado. Solo hay un factor a k que debe calcularse. Esto se realiza calculando una integral simple de f ( t ) que proporciona todos los coeficientes al mismo tiempo.
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9Interpreta la expansión para f ( t ) . ¿Qué es lo que no se conoce en esta expansión?
- Necesitas calcular un número infinito de los factores a k .
- Todos los factores a
k
pueden calcularse fácilmente a partir de la integración de f
( t
)
para dar como resultado todo el conjunto de ellos.
- En lugar de la expresión "conjunto", se utiliza la notación { a k }.
- { a k } se conoce como el espectro de f ( t ) .
- f ( t ) es en realidad la síntesis de un número infinito de fasores de diferentes longitudes girando con frecuencias que están en armonía con la frecuencia básica ω 0 de f ( t ) en ambas direcciones, en el sentido de las agujas del reloj y en el sentido contrario, ya que k deambula tanto entre los números enteros negativos como entre los positivos.
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10Observa el par de fórmulas como una transformada en lugar de como la expansión de una serie. Cuando tienes f ( t ) , entonces tienes a k . Y, a la inversa, cuando tienes a k , obtendrás f ( t ) . Los valores de a k son la transformada de f ( t ) . El valor de f ( t ) es la transformada inversa de a k . Esto se escribe como:
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11Nota: puede parecer que hay dos dominios . f ( t ) está en el dominio del tiempo, pero los factores a k están en el dominio de los números enteros. Por lo tanto, la expansión de Fourier transforma un dominio en otro, y viceversa.
- Por esta razón, se dice que esta es una transformada "continua en el tiempo".
- Las personas que estudian ondas usan un osciloscopio para observar la onda continua en el tiempo y usan un analizador de espectro para observar las líneas o espectros de la onda en cuestión.
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12Observa el ejemplo más frecuente. Esto es una persiana rectangular que se abre y se cierra regularmente. O puede ser un reloj colocando regularmente un sello de tiempo a un evento. Es un tren de pulsos de duración fija.
- Este es el ejemplo más fácil que uno puede calcular usando conocimientos de cálculo de la secundaria, ya que, dentro de la integral, f ( t ) es igual a uno para una parte e igual a cero para otras partes, y debes calcular la integral de una función exponencial, la cual es igual a sí misma independientemente del coeficiente. En ese nivel, estás familiarizado con convertir una función exponencial compleja en una sinusoide. Lo que queda es lo que es una función sinc . Simplemente, sinc ( x ) = sin ( x ) / x . Esta modifica la escala de una función sinusoide hasta llegar a su ángulo, similar a un porcentaje.
- Dibuja la curva de | a k | para apreciar sus saltos agonizantes.
- Cada "lóbulo" de la función sinc está lleno de un determinado número de líneas del espectro.
- Hacer que cada pulso del "tren" sea más angosto hace que aumente el número de las líneas en el espectro, y este se ve más denso y parece como si fuera en realidad una función sinc continua y ya no una discreta.
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13Aprecia que ahora estás observando la expansión de la serie de Fourier de una función periódica como una transformada de dos dominios. Lo que resta observar es cuál es la transformada de una función no periódica.
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14Ratifica tu expectativa de que la expansión de una función no periódica estará en la forma de una integral en lugar de una suma.
- Tienes razón en que esta es la integral de Fourier en contraste con la serie de Fourier.
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15Por lo tanto, la transformada de Fourier para funciones continuas en el tiempo puede ser una serie de Fourier o una integral de Fourier.
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16Considera un solo pulso rectangular. Puedes ver ese pulso si una persiana rectangular se abre y se cierra solo una vez. O si un motor paso a paso se enciende y luego se apaga.Anuncio
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