Cómo calcular la transformada de Laplace de una función

Coescrito por Joseph Meyer

La transformada de Laplace es una transformada integral que se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes. Asimismo, esta transformada es muy útil en la física y la ingeniería.

Las tablas de las transformadas de Laplace están ampliamente disponibles, pero es importante que comprendas las propiedades de la transformada de Laplace para así poder construir tu propia tabla.

Preliminares

Deja que $f(t)$ sea una función definida por $t\geq 0$ . Luego, se define la transformada de Laplace de $f(t)$ como la siguiente función para cada valor de $s$ en donde la integral converge.
- $F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\mathrm {d} t$
Al aplicar la transformada de Laplace a una función, se transforma una función del dominio t (o el dominio en el tiempo) al dominio s (el dominio de Laplace), en donde $F(s)$ es una función compleja de una variable compleja. Al hacerlo, se transforma el problema a un dominio en el que, con suerte, será más fácil de resolver.
Evidentemente, la transformada de Laplace es un operador lineal y, por ende, podemos considerar la transformada de una suma de términos realizando cada integral por separado.
- $\int _{0}^{\infty }[af(t)+bg(t)]e^{-st}\mathrm {d} t=a\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\mathrm {d} t+b\int _{0}^{\infty }g(t)e^{-st}\mathrm {d} t$
No olvides que la transformada de Laplace existe únicamente si la integral converge. En caso de que la función $f(t)$ sea discontinua en cualquier parte, debes tener mucho cuidado de asegurarte de dividir los límites de la integral para evitar la ampliación.

Parte 1

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Lo básico

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Reemplaza la función en la definición de la transformada de Laplace. Conceptualmente, es muy fácil calcular la transformada de Laplace de una función. Se usará la función de ejemplo $f(t)=e^{at}$ , en donde $a$ es una constante (compleja) de tal forma que $\operatorname {Re} (s)<\operatorname {Re} (a)$ .
- ${\mathcal {L}}\{e^{at}\}=\int _{0}^{\infty }e^{at}e^{-st}\mathrm {d} t$
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Evalúa la integral usando cualquier medio posible. En el ejemplo, la evaluación es muy simple y únicamente es necesario usar el teorema fundamental de cálculo. En otros casos más complicados, se puede usar técnicas como la integración por partes o la diferenciación bajo la integral. La restricción de que $\operatorname {Re} (s)<\operatorname {Re} (a)$ implica que la integral converge; es decir, llega a 0 como $t\to \infty$ .
- ${\begin{aligned}{\mathcal {L}}\{e^{at}\}&=\int _{0}^{\infty }e^{(a-s)t}\mathrm {d} t\\&={\frac {e^{(a-s)t}}{a-s}}{\Bigg |}_{0}^{\infty }\\&={\frac {1}{s-a}}\end{aligned}}$
- Observa que esto produce dos transformadas de Laplace de manera "gratuita": las funciones del seno y el coseno, si se considera la función relacionada $e^{iat}$ a través de la fórmula de Euler. Luego, en el denominador, se tendría $s-ia,$ , y lo único que queda es tomar las partes reales e imaginarias de este resultado. Asimismo, es posible tan solo evaluar directamente, aunque esto requeriría un poco más de trabajo.
  - ${\mathcal {L}}\{\cos at\}=\operatorname {Re} \left({\frac {1}{s-ia}}\right)={\frac {s}{s^{2}+a^{2}}}$
  - ${\mathcal {L}}\{\sin at\}=\operatorname {Im} \left({\frac {1}{s-ia}}\right)={\frac {a}{s^{2}+a^{2}}}$
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Evalúa la transformada de Laplace de la función de potencia. Antes de seguir adelante, es necesario determinar la transformada de la función de potencia, ya que la propiedad de linealidad permite determinar la transformada para todos los polinomios. La función de potencia es la función $t^{n}$ , en donde $n$ es cualquier número entero positivo. Es posible usar la integración por partes para determinar una regla recursiva.
- ${\mathcal {L}}\{t^{n}\}=\int _{0}^{\infty }t^{n}e^{-st}\mathrm {d} t={\frac {n}{s}}{\mathcal {L}}\{t^{n-1}\}$
- El resultado no está escrito de manera explícita pero, al reemplazar unos cuantos valores de $n$ , surge un patrón claro (pruébalo tú mismo) del cual se puede determinar el siguiente resultado.
  - ${\mathcal {L}}\{t^{n}\}={\frac {n!}{s^{n+1}}}$
- Asimismo, es posible determinar las transformadas de Laplace de potencias fraccionarias usando la función gamma. De este modo, podemos encontrar transformadas de funciones como $f(t)={\sqrt {t}}$ .
  - ${\mathcal {L}}\{t^{n}\}={\frac {\Gamma (n+1)}{s^{n+1}}}$
  - ${\mathcal {L}}\{t^{1/2}\}={\frac {\Gamma (3/2)}{s^{3/2}}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2s{\sqrt {s}}}}$
- Las funciones con potencias fraccionarias deben contener cortes de rama (recuerda que, para cualquier número complejo $z$ y $\alpha$ , se reescribe $z^{\alpha }$ como $e^{\alpha \operatorname {Log} z}$ ), pero siempre es posible definirlas de forma que los cortes de rama se encuentren en el semiplano izquierdo para evitar los problemas de analiticidad.
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Parte 2

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Propiedades de la transformada de Laplace

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Determina la transformada de Laplace de una función multiplicada por $e^{at}$ . Los resultados en la sección anterior permitieron tener un vistazo de algunas propiedades interesantes de la transformada de Laplace. La transformada de Laplace de funciones como el coseno, el seno y la función exponencial parece ser más simple que la transformada de la función de potencia. Se observará que la multiplicación por $e^{at}$ en el dominio t corresponde con un cambio en el dominio s .
- ${\mathcal {L}}\{e^{at}f(t)\}=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-(s-a)t}\mathrm {d} t=F(s-a)$
- Esta propiedad permite de inmediato encontrar las transformadas de funciones como $f(t)=e^{3t}\sin 2t$ sin tener que evaluar la integral de manera directa.
  - ${\mathcal {L}}\{e^{3t}\sin 2t\}={\frac {2}{(s-3)^{2}+4}}$
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Determina la transformada de Laplace de una función multiplicada por $t^{n}$ . Considera primero la multiplicación por $t$ . Luego, a partir de la definición, es posible diferenciar bajo la integral para obtener un resultado sorprendentemente limpio.
- ${\begin{aligned}{\mathcal {L}}\{tf(t)\}&=\int _{0}^{\infty }tf(t)e^{-st}\mathrm {d} t\\&=-\int _{0}^{\infty }f(t){\frac {\partial }{\partial s}}e^{-st}\mathrm {d} t\\&=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\mathrm {d} t\\&=-{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} s}}\end{aligned}}$
- Al repetir este procedimiento, se obtiene el resultado general.
  - ${\mathcal {L}}\{t^{n}f(t)\}=(-1)^{n}{\frac {\mathrm {d} ^{n}F}{\mathrm {d} s^{n}}}$
- El intercambio de la integral y los operadores de diferenciación requiere un poco de justificación en lo que respecta al rigor, pero aquí no se justificará salvo para mencionar que la operación está permitida siempre y cuando la respuesta final tenga sentido. Se puede encontrar un poco de consuelo en el hecho de que $s$ y $t$ son variables independientes una de otra.
- Por supuesto que, al usar esta propiedad, la transformada de Laplace de funciones como $t^{2}\cos 2t$ se encuentra con facilidad sin tener que emplear la integración por partes repetidas veces.
  - ${\mathcal {L}}\{t^{2}\cos 2t\}={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} s^{2}}}{\frac {s}{s^{2}+4}}={\frac {2s^{3}-24s}{(s^{2}+4)^{3}}}$
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Determina la transformada de Laplace de una función estirada $f(at)$ . Usando la definición, también es posible determinar con facilidad esta transformada usando una sustitución u.
- ${\begin{aligned}{\mathcal {L}}\{f(at)\}&=\int _{0}^{\infty }f(at)e^{-st}\mathrm {d} t,\ \ u=at\\&={\frac {1}{a}}\int _{0}^{\infty }f(u)e^{-su/a}\mathrm {d} u\\&={\frac {1}{a}}F\left({\frac {s}{a}}\right)\end{aligned}}$
- Anteriormente, se encontró la transformada de Laplace de $\sin at$ y $\cos at$ de manera directa a partir de la función exponencial. Es posible usar esta propiedad para obtener el mismo resultado, empezando por encontrar las partes reales e imaginarias de ${\mathcal {L}}\{e^{it}\}={\frac {1}{s-i}}$ .
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Determina la transformada de Laplace de una derivada $f^{\prime }(t)$ . A diferencia de los resultados anteriores que ahorraron un poco de trabajo de la integración por partes, aquí se debe usar la integración por partes.
- ${\begin{aligned}{\mathcal {L}}\{f^{\prime }(t)\}&=\int _{0}^{\infty }f^{\prime }(t)e^{-st}\mathrm {d} t,\ \ u=e^{-st},\ \mathrm {d} v=f^{\prime }(t)\mathrm {d} t\\&=f(t)e^{-st}{\Big |}_{0}^{\infty }+s\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\mathrm {d} t\\&=sF(s)-f(0)\end{aligned}}$
- Debido a que la segunda derivada surge en muchas aplicaciones físicas, también se incluye la transformada de Laplace de una segunda derivada.
  - ${\mathcal {L}}\{f^{\prime \prime }(t)\}=s^{2}F(s)-sf(0)-f^{\prime }(0)$
- En general, resulta que la transformada de Laplace de la enésima derivada se da por el siguiente resultado. Este resultado es importante para resolver ecuaciones diferenciales a través de transformadas de Laplace.
  - ${\mathcal {L}}\{f^{(n)}(t)\}=s^{n}F(s)-\sum _{k=0}^{n-1}s^{n-k-1}f^{(k)}(0)$
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Parte 3

Parte 3 de 3:

Fórmulas en serie

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Determina la transformada de Laplace de una función periódica. Una función periódica es una función que satisface la propiedad $f(t)=f(t+nT)$ , en donde $T$ es el periodo de la función y $n$ es un número entero positivo. Las funciones periódicas aparecen en muchas aplicaciones en el procesamiento de señales y la ingeniería eléctrica. Con un poco de manipulación, se obtiene la siguiente respuesta:
- ${\begin{aligned}{\mathcal {L}}\{f(t)\}&=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\mathrm {d} t\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{nT}^{(n+1)T}f(t)e^{-st}\mathrm {d} t\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{T}f(t+nT)e^{-s(t+nT)}\mathrm {d} t\\&=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-snT}\int _{0}^{T}f(t)e^{-st}\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{1-e^{-sT}}}\int _{0}^{T}f(t)e^{-st}\mathrm {d} t\end{aligned}}$
- Se observa que la transformada de Laplace de una función periódica tiene relación con la transformada de Laplace de un ciclo de la función.
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Busca en línea la forma de calcular la transformada de Laplace del algoritmo natural. Esta integral no puede evaluarse usando el teorema fundamental de cálculo, ya que la antiderivada no puede expresarse en términos de funciones elementales. Encontrarás que existe una técnica que emplea la función gamma y sus diversas expansiones en serie para evaluar el logaritmo natural y sus potencias más altas. La presencia de la constante de Euler-Mascheroni $\gamma$ basta para insinuar que la integral debe evaluarse usando métodos en serie.
- ${\mathcal {L}}\{\ln t\}=-{\frac {\gamma +\ln s}{s}}$
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Evalúa la transformada de Laplace de la función sinc (desnormalizada). La función sinc $\operatorname {sinc} (t)={\frac {\sin t}{t}}$ es una función que se encuentra ampliamente en el procesamiento de señales y puede ser distinguible de las ecuaciones diferenciales como un equivalente a la función de Bessel esférica de orden cero del primer tipo $j_{0}(x)$ . Asimismo, la transformada de Laplace de esta función no puede computarse de la forma estándar. Se recurre a la transformación término por término, lo cual es permisible debido a que los términos individuales son funciones de potencia y, por ende, sus transformadas definitivamente convergen en el intervalo prescrito.
- Se empieza por escribir la serie Taylor de esta función.
  - ${\frac {\sin t}{t}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}t^{2n}}{(2n+1)!}}$
- Ahora, simplemente se transforma usando la transformada de Laplace de la función de potencia que ya conoces. Los factoriales se cancelan y, después de observar la expresión, reconoces la serie Taylor de la tangente inversa, la serie alternante que parece la serie Taylor para la función del seno pero sin los factoriales.
  - ${\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left\{{\frac {\sin t}{t}}\right\}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(2n+1)!}}{\frac {1}{s^{2n+1}}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}{\frac {1}{s^{2n+1}}}\\&=\tan ^{-1}{\frac {1}{s}}\end{aligned}}$
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