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La velocidad se define como la velocidad que tiene un objeto en una dirección dada. [1] X Fuente de investigación En muchas situaciones comunes, para hallar la velocidad debemos utilizar la ecuación v = s/t, donde “v” es la velocidad, “s” es el desplazamiento desde la posición inicial del objeto y “t” es igual al tiempo transcurrido. Sin embargo, técnicamente esto solo da la velocidad promedio del objeto durante su recorrido. Mediante el cálculo, es posible determinar la velocidad de un objeto en cualquier momento durante su recorrido. Esto se conoce como velocidad instantánea y se define con la ecuación v = (ds)/(dt) o, en otras palabras, la derivada de la ecuación de la velocidad promedio del objeto. [2] X Fuente de investigación
Pasos
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Comienza con una ecuación para la velocidad en términos de desplazamiento. Para hallar la velocidad instantánea de un objeto, primero debemos tener una ecuación que nos diga su posición (en términos de desplazamiento) en un determinado punto en el tiempo. Esto significa que la ecuación debe tener la variable s en un lado aislada y t en el otro (no necesariamente aislada), de esta manera:
s = -1.5t 2 + 10t + 4
- En esta ecuación, las variables son:
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- Desplazamiento = s . La distancia que el objeto ha viajado desde su posición inicial. Por ejemplo, si un objeto se mueve 10 metros hacia adelante y 7 metros hacia atrás, su desplazamiento total es de 10 - 7 = 3 metros (no 10 + 7 = 17 metros).
- Tiempo = t . No hace falta explicarlo. Por lo general, se mide en segundos.
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- En esta ecuación, las variables son:
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Toma la derivada de la ecuación. La derivada de una ecuación es solo una ecuación diferente que te indica su pendiente en cualquier punto determinado en el tiempo. Para hallar la derivada de la fórmula de desplazamiento, diferencia la función con esta regla general para hallar las derivadas: Si y = a*x n , Derivada = a*n*x n-1 . Esta regla se aplica a todos los términos en el lado “t” de la ecuación.
- En otras palabras, comienza por el lado “t” de la ecuación, de izquierda a derecha. Cada vez que llegues a una “t”, resta 1 del exponente y multiplica todo el término por el exponente original. Todos los términos constantes (términos que no contienen “t”) desaparecerán debido a que se multiplican por 0. En realidad, este proceso no es tan difícil como parece; derivemos la ecuación en el paso anterior a modo de ejemplo:
s = -1.5t 2 + 10t + 4
(2)-1.5t (2-1) + (1)10t 1 - 1 + (0)4t 0
-3t 1 + 10t 0
-3t + 10
- En otras palabras, comienza por el lado “t” de la ecuación, de izquierda a derecha. Cada vez que llegues a una “t”, resta 1 del exponente y multiplica todo el término por el exponente original. Todos los términos constantes (términos que no contienen “t”) desaparecerán debido a que se multiplican por 0. En realidad, este proceso no es tan difícil como parece; derivemos la ecuación en el paso anterior a modo de ejemplo:
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Reemplaza la “s” con “ds/dt”. Para demostrar que nuestra ecuación nueva es una derivada de la primera, reemplazaremos “s” con la notación “ds/dt”. Técnicamente, esta notación significa “la derivada de s con respecto a “t”. Una forma más sencilla de pensar en esto es simplemente considerar que ds/dt es la pendiente de cualquier punto determinado en la primera ecuación. Por ejemplo, para hallar la pendiente de la línea hecha por s = -1.5t 2 + 10t + 4 en t = 5, simplemente le daremos un valor de “5” a “t” en su derivada.
- En nuestro ejemplo actual, nuestra ecuación final deberá verse de la siguiente manera:
ds/dt = -3t + 10
- En nuestro ejemplo actual, nuestra ecuación final deberá verse de la siguiente manera:
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Dale un valor a “t” para la nueva ecuación a fin de hallar la velocidad instantánea. Ahora que tienes la ecuación derivada, hallar la velocidad instantánea en cualquier punto del tiempo será fácil. Todo lo que necesitas hacer es elegir un valor para “t” y reemplazarlo en tu ecuación derivada. Por ejemplo, si queremos hallar la velocidad instantánea en t = 5, simplemente reemplazaríamos “5” por “t” en la derivada ds/dt = -3 + 10. Luego, resolveremos la ecuación de la siguiente manera:
ds/dt = -3t + 10
ds/dt = -3(5) + 10
ds/dt = -15 + 10 = -5 metros por segundo- Ten en cuenta que en el esquema utilizamos la etiqueta “metros por segundo”. Dado que lidiamos con el desplazamiento en términos de metros y con el tiempo en términos de segundos, y la velocidad en general es simplemente el desplazamiento a lo largo del tiempo, esta etiqueta es adecuada.
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Grafica el desplazamiento del objeto a través del tiempo. En la sección anterior, mencionamos que las derivadas son simplemente fórmulas que nos permiten hallar la pendiente en cualquier punto para la ecuación para la cual tomaste la derivada. De hecho, si representas el desplazamiento de un objeto con una línea en un gráfico, la pendiente de dicha línea en cualquier punto dado será igual a la velocidad instantánea del objeto en dicho punto .
- Para graficar el desplazamiento de un objeto, utiliza el eje “x” para representar el tiempo y el eje “y” para representar dicho desplazamiento. Luego, traza los puntos al darle valores a “t” en tu ecuación de desplazamiento, obtener los valores de “s” para tus respuestas y marcar los puntos t,s (x,y) en el gráfico.
- Ten en cuenta que el gráfico puede extenderse por debajo del eje “x”. Si la línea que representa el movimiento del objeto cae por debajo del eje “x”, representará el movimiento del objeto debajo de su punto de origen. Por lo general, el gráfico no se prolongará hasta por debajo del eje “y”, ¡así que no siempre medimos la velocidad para los objetos que se mueven hacia atrás en el tiempo!
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Elige un punto P y un punto Q que estén cerca de la pendiente en la línea. Para hallar la pendiente de una línea en un solo punto P, utilizamos un truco llamado “tomar un límite”. Esto involucra tomar dos puntos (P más Q, un punto cerca de ella) en la línea curvada y hallar la pendiente de la línea que los enlaza una y otra vez a medida que la distancia entre P y Q se acorta.
- Supongamos que nuestra línea de desplazamiento contiene los puntos (1,3) y (4,7). En este caso, si queremos encontrar la pendiente en (1,3), podemos establecer que (1,3) = P y (4,7) = Q .
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Encuentra la pendiente entre P y Q. La pendiente entre P y Q es la diferencia en los valores de “y” para P y Q sobre la diferencia en los valores de “x” para P y Q. En otras palabras, H = (y Q - y P )/(x Q - x P ) , donde H es la pendiente entre los dos puntos. En nuestro ejemplo, la pendiente entre P y Q es:
H = (y Q - y P )/(x Q - x P )
H = (7 - 3)/(4 - 1)
H = (4)/(3) = 1.33 -
Repite este paso varias veces, moviendo a Q cada vez más cerca de P. Tu objetivo es hacer que la distancia entre P y Q cada vez más pequeña hasta que se acerque a un solo punto. Mientras menor sea la distancia entre P y Q, más cerca estará la pendiente de los segmentos de línea diminutos a la pendiente en el punto P. Hagámoslo unas cuantas veces para nuestra ecuación, utilizando los puntos (2,4.8), (1.5,3.95) y (1.25,3.49) para Q y nuestro punto original de (1,3) para P:
Q = (2,4.8): H = (4.8 - 3)/(2 - 1)
H = (1.8)/(1) = 1.8
Q = (1.5,3.95): H = (3.95 - 3)/(1.5 - 1)
H = (.95)/(.5) = 1.9
Q = (1.25,3.49): H = (3.49 - 3)/(1.25 - 1)
H = (.49)/(.25) = 1.96 -
Estima la pendiente para un intervalo infinitamente pequeño sobre la línea. A medida que Q se acerca cada vez más a P, H se acercará más y más a la pendiente en el punto P. A la larga, en un intervalo infinitamente pequeño, H será igual a la pendiente en P. Debido a que no podemos medir o calcular un intervalo infinitamente pequeño, solo estimamos la pendiente en P una vez que esté libre de los puntos que hemos probado.
- En nuestro ejemplo, a medida que acercamos Q a P, obtenemos los valores de 1.8, 1.9 y 1.96 para H. Dado que estos números parecen acercarse a 2, podemos decir que 2 es una buena estimación para la pendiente en P.
- Recuerda que la pendiente en un punto determinado de una línea es igual a la derivada de la ecuación de la línea en ese punto. Dado que nuestra línea muestra el desplazamiento del objeto a lo largo del tiempo y, tal como lo vimos en la sección anterior, la velocidad instantánea de un objeto es la derivada de su desplazamiento en un punto determinado, podemos decir que 2 metros por segundo es una buena estimación para la velocidad instantánea en t = 1.
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Halla la velocidad instantánea en t = 4 dado que la ecuación de desplazamiento s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9. Esto es similar a nuestro ejemplo en la primera sección, excepto que lidiamos con una ecuación cúbica en lugar de una ecuación cuadrática, así que podemos resolverla de la misma manera.
- En primer lugar, tomaremos la derivada de nuestra ecuación:
s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9
s = (3)5t (3 - 1) - (2)3t (2 - 1) + (1)2t (1 - 1) + (0)9t 0 - 1
15t (2) - 6t (1) + 2t (0)
15t (2) - 6t + 2 - Luego, le daremos el valor a t (4):
s = 15t (2) - 6t + 2
15(4) (2) - 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 metros por segundo
- En primer lugar, tomaremos la derivada de nuestra ecuación:
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Utiliza una estimación gráfica para hallar la velocidad instantánea en (1,3) para la ecuación de desplazamiento s = 4t 2 - t. Para este problema, utilizaremos (1,3) como nuestro punto P, pero tendremos que hallar algunos otros puntos cercanos para usarlos como nuestros puntos Q. Así, solo es cuestión de hallar los valores para H y hacer una estimación.
- En primer lugar, hallemos los puntos de Q en t = 2, 1.5, 1.1 y en 1.01.
s = 4t 2 - t
t = 2: s = 4(2) 2 - (2)
4(4) - 2 = 16 - 2 = 14, entonces Q = (2,14)
t = 1.5: s = 4(1.5) 2 - (1.5)
4(2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5, entonces Q = (1.5,7.5)
t = 1.1: s = 4(1.1) 2 - (1.1)
4(1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, entonces Q = (1.1,3.74)
t = 1.01: s = 4(1.01) 2 - (1.01)
4(1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, entonces Q = (1.01,3.0704) - Luego, hallemos los valores de H:
Q = (2,14): H = (14 - 3)/(2 - 1)
H = (11)/(1) = 11
Q = (1.5,7.5): H = (7.5 - 3)/(1.5 - 1)
H = (4.5)/(.5) = 9
Q = (1.1,3.74): H = (3.74 - 3)/(1.1 - 1)
H = (.74)/(.1) = 7.3
Q = (1.01,3.0704): H = (3.0704 - 3)/(1.01 - 1)
H = (.0704)/(.01) = 7.04 - Dado que los valores de H parecen acercarse mucho a 7, podemos decir que 7 metros por segundo es una buena estimación para la velocidad instantánea en (1,3).
Anuncio - En primer lugar, hallemos los puntos de Q en t = 2, 1.5, 1.1 y en 1.01.
Consejos
- Para hallar la aceleración (el cambio en la velocidad a lo largo del tiempo), utiliza el método de la primera parte para obtener una ecuación derivada para la función de desplazamiento. Luego, toma otra derivada, pero esta vez, una de la ecuación derivada. Esto te dará una ecuación en la que debas hallar la aceleración en un momento dado. Todo lo que tienes que hacer es darle el valor para el tiempo.
- La ecuación que relaciona Y (desplazamiento) con X (tiempo) podría ser bastante simple, por ejemplo, Y= 6x + 3. En este caso, la pendiente es constante y no es necesario hallar una derivada para encontrarla, la cual es 6, de acuerdo con Y = mx + b un modelo básico para las gráficas lineales.
- El desplazamiento es como la distancia pero tiene una dirección establecida, lo que lo convierte en un vector y a la velocidad en una escala. El desplazamiento puede ser negativo mientras que la distancia siempre será positiva.
Referencias
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