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Un triángulo isósceles tiene dos lados de la misma longitud, los cuales forman cada uno el mismo ángulo en sus puntos de intersección con la base del triángulo (el tercer lado) y se unen a una determinada distancia que se encuentra exactamente por encima del punto medio de la base. Puedes hacer la prueba formando un triángulo con una regla y dos lápices de la misma longitud: observarás que inclinar el triángulo hacia cualquier lado ocasiona que sea imposible juntar las puntas de los lápices. Estas propiedades te permiten calcular el área de un triángulo isósceles fácilmente con solo unos pocos datos.
Pasos
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Repasa el método para calcular el área de un paralelogramo. Cualquier forma que tenga cuatro lados en la que dos de ellos sean paralelos se considera un paralelogramo (por ejemplo, los cuadrados y los rectángulos). Para calcular el área, simplemente debes multiplicar la base por la altura (es decir, A = bh , donde b representa a la base y h representa a la altura, por su inicial en inglés). [1] X Fuente de investigación La base es el lado inferior de un paralelogramo si se lo coloca en posición horizontal y la altura es la distancia entre la base y el lado superior. Siempre asegúrate de medir la altura de forma perpendicular (es decir, a 90 grados) a la base.
- En el caso de los cuadrados y los rectángulos, los lados verticales se encuentran perpendiculares a la base, por lo que la altura es igual a la longitud de estos lados.
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Compara los triángulos con los paralelogramos. Estas formas tienen una relación muy simple, la cual puedes encontrar dibujando la diagonal de un paralelogramo y cortándolo por la mitad. Deberías obtener dos triángulos iguales. Del mismo modo, puedes pegar dos triángulos iguales el uno junto al otro para formar un paralelogramo. Por tanto, el área de un triángulo puede calcularse con la fórmula A = 1/2bh ; es decir, la mitad del área de su paralelogramo correspondiente.
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Encuentra la base del triángulo isósceles. Antes de poder calcular el área de un triángulo isósceles por medio de esta fórmula, debes determinar a qué se refiere exactamente con "base" y "altura". En primer lugar, la base es el lado del triángulo que tenga una longitud diferente de la de los otros dos.
- Por ejemplo, en un triángulo isósceles cuyos lados midan 5, 5 y 6 cm, el lado de 6 cm será la base.
- En el caso de un triángulo cuyos tres lados sean iguales (equilátero), la base puede ser cualquiera de los lados. Los triángulos equiláteros son un tipo de triángulo isósceles, por lo que se puede encontrar el área de la misma forma. [2] X Fuente de investigación
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Traza una línea entre la base del triángulo y el vértice del ángulo opuesto a ella. Esta línea debe ser perpendicular a la base y constituye la altura del triángulo, por lo que debes etiquetarla como h . Después de que hayas obtenido la longitud de esta línea, podrás calcular el área.
- En el caso de los triángulos isósceles, la línea desde la base hasta el vértice del ángulo opuesto a ella siempre la cruzará en el punto medio.
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Enfócate en una de las mitades del triángulo. La línea que dibujaste dividió el triángulo en dos triángulos rectángulos exactamente iguales, por lo que ahora debes identificar los tres lados de cada uno de ellos.
- Los lados más cortos miden la mitad de la longitud de la base; es decir, .
- El segundo lado más corto constituye la altura o h .
- La hipotenusa de cada uno de estos triángulos rectángulos corresponde a cada uno de los lados iguales del triángulo isósceles, a los cuales puedes etiquetar como l .
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Establece la fórmula para el teorema de Pitágoras . El teorema de Pitágoras sirve para encontrar el tercer lado de un triángulo rectángulo si conoces los otros dos: (lado 1) 2 + (lado 2) 2 = (hipotenusa) 2 . Si reemplazas en esta fórmula las variables establecidas anteriormente para cada uno de los lados del rectángulo, obtendrás: .
- Si bien el teorema de Pitágoras suele expresarse como , utilizar "lados" e "hipotenusa" para etiquetar los lados del triángulo evita la confusión con las variables (como usar b para la base).
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Encuentra el valor de h . Para utilizar la fórmula establecida anteriormente para el área de un triángulo, necesitas el valor de h , por lo que debes reorganizar la fórmula de la siguiente forma:
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.
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Reemplaza en la fórmula los valores que ya conozcas. Puedes aplicar esta fórmula a cualquier triángulo isósceles siempre y cuando conozcas las longitudes de los lados. Para ello, simplemente reemplaza la variable b por la longitud de la base y la variable l por la longitud de uno de los lados iguales para obtener el valor de h .
- Por ejemplo, en el caso de un triángulo isósceles cuyos lados midan 5, 5 y 6 cm, b = 6 y l = 5.
- Reemplaza estos valores en la fórmula:
cm.
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Reemplaza los valores de la base y la altura en la fórmula para el área. Después de obtener el valor de la altura, podrás utilizar la fórmula A = 1/2bh establecida en la primera parte de esta sección. Ahora, simplemente reemplaza los valores de b y h en la fórmula y, después de obtener el resultado, asegúrate de que las unidades estén al cuadrado.
- Siguiendo el ejemplo anterior, la base del triángulo isósceles de 5, 5 y 6 cm mediría 6 cm y la altura mediría 4 cm.
- A = 1/2bh
A = 1/2(6 cm)(4 cm)
A = 12 cm 2 .
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Prueba con este ejemplo más difícil. Los triángulos isósceles suelen ser más complicados que el del ejemplo, ya que la raíz cuadrada de la fórmula para la altura por lo general no produce un número entero. Por tanto, debes simplificar lo más posible la altura dejándola como un factor de la raíz cuadrada. Por ejemplo:
- ¿Cuál es el área de un triángulo cuyos lados midan 8 cm, 8 cm y 4 cm?
- Como ya hemos establecido, en un triángulo isósceles, la base b será el lado cuya longitud sea diferente.
- Para encontrar la altura, realiza el cálculo
. - Factoriza la raíz cuadrada para simplificarla: .
- Por tanto, el área
. - Puedes dejar la respuesta así o usar una calculadora para obtener un número decimal (en este caso, el área sería de aproximadamente 15,49 cm 2 ).
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Empieza con un lado y su ángulo correspondiente. Incluso si no tienes la longitud de uno de los lados de un triángulo isósceles, puedes usar los principios de trigonometría para encontrar el área. Por ejemplo, imagina un triángulo isósceles para el cual solo tengas la siguiente información: [3] X Fuente de investigación
- La longitud l de los dos lados iguales mide 10 cm.
- El ángulo θ que se forma por la unión de los dos lados iguales mide 120 grados.
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Divide el triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos iguales. Nuevamente, traza una línea perpendicular desde la base hasta el vértice del ángulo opuesto a ella para formar dos triángulos rectángulos iguales.
- Esta línea también dividirá el ángulo θ por la mitad, por lo que uno de los ángulos de cada uno de los triángulos rectángulos que obtengas medirá 1/2θ o (1/2)(120) = 60 grados.
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Usa la trigonometría para encontrar el valor de h . Las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente pueden aplicarse a los triángulos rectángulos que acabas de obtener. En nuestro ejemplo, como conoces la longitud de la hipotenusa y quieres encontrar la longitud de h , el cual es el lado adyacente al ángulo que sí conoces, puedes utilizar la fórmula para el coseno de un ángulo: lado adyacente/hipotenusa:
- cos(θ/2) = h / s
- cos(60º) = h / 10
- h = 10cos(60º)
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Encuentra el valor del tercer lado del triángulo. Después de encontrar el valor de h , aún deberás encontrar la longitud del tercer lado del triángulo (puedes llamarlo x ). Para ello, utiliza la fórmula para el seno de un ángulo: lado opuesto/hipotenusa:
- sin(θ/2) = x / s
- sin(60º) = x / 10
- x = 10sin(60º)
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Establece la relación entre x y la base del triángulo isósceles al que pertenece. Encontrarás que la base b del triángulo isósceles original está dividida en dos segmentos iguales, cada uno de los cuales mide x . Por tanto, la base mide 2 x .
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Reemplaza los valores de h y b en la fórmula para el área establecida anteriormente. Después de encontrar estos valores, puedes aplicar la fórmula estándar para el área: A = 1/2bh:
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- Para encontrar el resultado, puedes usar una calculadora científica (asegurándote de que esté configurada a grados sexagesimales). Esto te dará un área de aproximadamente 43,3 cm 2 . También puedes usar las mismas propiedades de la trigonometría para obtener una respuesta simplificada de A = 50sin(120º).
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Establece una fórmula universal. Después de familiarizarte con este procedimiento, puedes establecer una fórmula general para que no tengas que volver a realizar cada paso con cada triángulo cuya área quieras encontrar. Si repites el procedimiento sin ningún valor específico y simplificas por medio de las propiedades de la trigonometría, obtendrás lo siguiente: [4] X Fuente de investigación
- l es la longitud de uno de los dos lados iguales.
- θ es el ángulo que se forma en la unión de los dos lados iguales.
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Consejos
- Es mucho más fácil calcular el área de un triángulo rectángulo isósceles (es decir, un triángulo cuyos lados iguales formen un ángulo de 90 grados), ya que uno de los lados más cortos será la base y el otro será la altura. De esta forma, puedes simplificar la fórmula A = 1/2 b * h hasta obtener 1/2 l 2 , siendo l la longitud de uno de los lados más cortos.
- Recuerda que las raíces cuadradas siempre tienen dos respuestas, una negativa y una positiva. Sin embargo, en el contexto de la geometría, puedes ignorar la respuesta negativa, ya que un triángulo no puede tener una altura "negativa".
- Es posible que te encuentres con otros problemas de trigonometría que te den datos diferentes, como la longitud de la base, el valor de uno de los ángulos y el hecho de que el triángulo sea isósceles. En este caso, debes aplicar la misma metodología: dividir el triángulo en dos triángulos rectángulos iguales y utilizar las funciones trigonométricas para encontrar la altura.
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Referencias
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